Mga variational algorithm

Bago magsimula, pakisagutan ang maikling pre-course survey na ito, na mahalaga para makatulong sa pagpapabuti ng aming mga nilalaman at karanasan ng gumagamit.

Sinasaklaw ng kursong ito ang mga detalye ng mga variational algorithm at near-term hybrid quantum-classical na mga algorithm batay sa variational theorem ng quantum mechanics. Maaaring gamitin ng mga algorithm na ito ang utility na ibinibigay ng mga kasalukuyang non-fault-tolerant na quantum computer, na ginagawa silang mga ideal na kandidato para makamit ang quantum advantage.

Sa buong kurso, tatalakayin natin ang:

• Bawat hakbang sa workflow ng disenyo ng variational algorithm
• Mga trade-off na kaugnay ng bawat hakbang
• Paano gamitin ang Qiskit Runtime primitives para ma-optimize ang bilis at katumpakan

Habang ang kursong ito ay nilalayon bilang panimulang lugar para sa mga mananaliksik at developer na tuklasin ang utility ng mga quantum computer, huwag mag-atubiling tuklasin ang teoretikal at pundasyon na kaalaman sa quantum computing sa pangkalahatan sa Basics of Quantum Information and Computation (available din bilang isang serye ng mga YouTube video).

Simplified hybrid workflow

Ang mga variational algorithm ay may ilang modular na bahagi na maaaring pagsamahin at ma-optimize batay sa mga pagsulong ng algorithm, software, at hardware. Kasama dito ang isang cost function na naglalarawan ng isang tiyak na problema na may set ng mga parameter, isang ansatz para ipahayag ang search space gamit ang mga parameter na ito, at isang optimizer para paulit-ulit na tuklasin ang search space. Sa bawat iteration, sinusuri ng optimizer ang cost function gamit ang kasalukuyang mga parameter at pinipili ang mga parameter ng susunod na iteration hanggang sa mag-converge ito sa isang optimal na solusyon. Ang hybrid na katangian ng pamilyang ito ng mga algorithm ay nagmumula sa katotohanan na ang mga cost function ay sinusuri gamit ang mga quantum na resources at na-optimize sa pamamagitan ng mga klasikal na resources.

1. I-initialize ang problema: Ang mga variational algorithm ay nagsisimula sa pamamagitan ng pag-initialize ng quantum computer sa isang default state $|0\rangle$, pagkatapos ay i-transform ito sa ilang nais na (non-parametrized) na estado $|\rho\rangle$, na tatawagin nating reference state.

   Ang transformation na ito ay kinakatawan ng pagpapatupad ng isang unitary reference operator $U_R$ sa default state, tulad na $U_R|0\rangle = |\rho\rangle$.

2. Ihanda ang ansatz: Para magsimulang paulit-ulit na i-optimize mula sa default state $|0\rangle$ patungo sa target state $|\psi(\vec\theta)\rangle$, dapat nating tukuyin ang isang variational form $U_V(\vec\theta)$ para kumatawan sa isang koleksyon ng mga parametrized na estado para tuklasin ng ating variational algorithm.

   Tinutukoy natin ang anumang partikular na kombinasyon ng reference state at variational form bilang ansatz, tulad na: $U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R$. Ang mga ansatze ay magiging anyo ng mga parametrized quantum circuit na kayang dalhin ang default state $|0\rangle$ sa target state $|\psi(\vec\theta)\rangle$.

   Sa kabuuan, magkakaroon tayo ng:

   $$\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}$$

3. Suriin ang cost function: Maaari nating i-encode ang aming problema sa isang cost function $C(\vec\theta)$ bilang linear na kombinasyon ng mga Pauli operator, na pinapatakbo sa isang quantum system. Habang maaari itong maging impormasyon tungkol sa isang pisikal na sistema, tulad ng enerhiya o spin, maaari rin tayong mag-encode ng mga non-physical na problema. Maaari nating gamitin ang mga Qiskit Runtime primitive para matugunan ang ingay gamit ang error suppression at mitigation habang sinusuri ang ating cost function.

4. I-optimize ang mga parameter: Ang mga evaluation ay dinadala sa isang klasikal na computer, kung saan sinusuri ng isang klasikal na optimizer ang mga ito at pinipili ang susunod na set ng mga value para sa mga variational parameter. Kung mayroon tayong pre-existing na optimal na solusyon, maaari nating itakda ito bilang isang initial point $\vec\theta_0$ para i-bootstrap ang ating optimization. Ang paggamit ng initial state $|\psi(\vec\theta_0)\rangle$ na ito ay maaaring makatulong sa ating optimizer na mahanap ang isang valid na solusyon nang mas mabilis.

5. I-adjust ang mga ansatz parameter gamit ang mga resulta, at patakbuhin muli: Ang buong proseso ay inuulit hanggang sa matugunan ang mga finalization criteria ng klasikal na optimizer, at isang optimal na set ng mga parameter value na $\vec\theta^*$ ay ibabalik. Ang iminungkahing solution state para sa aming problema ay magiging $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle$.

Variational theorem

Ang isang karaniwang layunin ng mga variational algorithm ay ang mahanap ang quantum state na may pinakamababa o pinakamataas na eigenvalue ng isang tiyak na observable. Isang pangunahing insight na gagamitin natin ay ang variational theorem ng quantum mechanics. Bago talakayin ang buong pahayag nito, tuklasin muna natin ang ilang mathematical na intuisyon sa likod nito.

Mathematical na intuisyon para sa enerhiya at ground states

Sa quantum mechanics, ang enerhiya ay nasa anyo ng isang quantum observable na karaniwang tinutukoy bilang Hamiltonian, na itatanda natin ng $\hat{\mathcal{H}}$. Isaalang-alang natin ang spectral decomposition nito:

$$\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|$$

kung saan ang $N$ ay ang dimensionality ng space ng mga estado, ang $\lambda_{k}$ ay ang $k$-th eigenvalue o, sa pisika, ang $k$-th na antas ng enerhiya, at ang $|\phi_k\rangle$ ay ang kaukulang eigenstate: $\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle$, ang inaasahang enerhiya ng isang sistema sa (normalized) na estado $|\psi\rangle$ ay magiging:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}$$

Kung isasaalang-alang natin na ang $\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k$, mayroon tayong:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}$$

Dahil ang $\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1}$ ay isang orthonormal na basis, ang probabilidad ng pagsukat ng $|\phi_{k} \rangle$ ay $p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2$, at ang kabuuan ng lahat ng probabilidad ay tulad na $\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1$. Sa madaling salita, ang inaasahang enerhiya ng anumang sistema ay mas mataas kaysa sa pinakamababang enerhiya o ground state energy:

$$\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.$$

Ang argumento sa itaas ay naaangkop sa anumang valid na (normalized) quantum state $|\psi\rangle$, kaya't ganap na posible na isaalang-alang ang mga parametrized na estado $|\psi(\vec\theta)\rangle$ na nakasalalay sa isang parameter vector $\vec\theta$. Dito pumapasok ang bahaging "variational". Kung isasaalang-alang natin ang isang cost function na ibinigay ng $C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle$ at nais na i-minimize ito, ang minimum ay palaging magsasatisfy ng:

$$\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.$$

Ang minimum na value ng $C(\vec\theta)$ ang magiging pinakamalapit na maabot sa $\lambda_0$ gamit ang mga parametrized na estado $|\psi(\vec\theta)\rangle$, at ang pagkakapantay-pantay ay maaabot lamang kung mayroong isang parameter vector $\vec\theta^*$ na tulad na $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle.$

Variational theorem ng Quantum Mechanics

Kung ang (normalized) na estado $|\psi\rangle$ ng isang quantum system ay nakasalalay sa isang parameter vector $\vec\theta$, kung gayon ang pinakamainam na approximation ng ground state (ibig sabihin, ang eigenstate $|\phi_0\rangle$ na may minimum na eigenvalue na $\lambda_0$) ay ang nagmi-minimize ng expectation value ng Hamiltonian $\hat{\mathcal{H}}$:

$$\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0$$

Ang dahilan kung bakit ang variational theorem ay nakasaad sa mga tuntunin ng energy minima ay dahil may kasamang bilang ng mga mathematical na pagpapalagay:

• Para sa mga pisikal na dahilan, dapat may finite na lower bound sa enerhiya $E \geq \lambda_0 > -\infty$, kahit para sa $N\rightarrow\infty$.
• Ang mga upper bound ay karaniwang hindi umiiral.

Gayunpaman, sa matematika, walang espesyal sa Hamiltonian $\hat{\mathcal{H}}$ lampas sa mga pagpapalagay na ito, kaya ang theorem ay maaaring pangkalahatain sa ibang mga quantum observable at ang kanilang mga eigenstate basta't sumusunod sila sa parehong mga limitasyon. Tandaan din na kung ang mga finite upper bound ay umiiral, ang parehong mga mathematical na argumento ay maaaring gawin para sa pagmaximize ng mga eigenvalue sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga lower bound ng mga upper bound.

Buod

Sa araling ito, natutunan mo ang mataas na antas na pananaw ng mga variational algorithm. Sa mga susunod na aralin, tatalakayin natin ang bawat hakbang nang mas detalyado, pati na rin ang mga kaugnay na trade-off.