Ang kalikasan ng mga quantum state: hidden variables kumpara sa Bell's inequality

Para sa Qiskit in Classrooms module na ito, kailangang magkaroon ang mga estudyante ng gumaganang Python environment na may mga sumusunod na naka-install na pakete:

• qiskit v2.1.0 o mas bago
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 o mas bago
• qiskit-aer v0.17.0 o mas bago
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Para i-set up at i-install ang mga pakete sa itaas, tingnan ang gabay na I-install ang Qiskit. Para makapagpapatakbo ng mga trabaho sa mga tunay na quantum computer, kailangang mag-set up ng account ang mga estudyante sa IBM Quantum® sa pamamagitan ng pagsunod sa mga hakbang sa gabay na I-set up ang iyong IBM Cloud account.

Ang module na ito ay nasubukan at gumamit ng 12 segundo ng QPU time. Tantiya lamang ito. Maaaring mag-iba ang iyong aktwal na paggamit.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"numpy": "numpy", "qiskit": "qiskit", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Panoorin ang walkthrough ng module ni Dr. Katie McCormick sa ibaba, o mag-click dito para panoorin ito sa YouTube.

---

Background

Sa maraming kalkulasyon sa buong quantum mechanics, nagsisimula ka sa isang kilalang estado ng isang sistema, at ang estado na iyon ay karaniwang nalalaman sa pamamagitan ng isang pagsukat. Ngayon, nais nating sagutin ang tanong na, "Ano ang masasabi mo tungkol sa estado ng isang particle bago ang anumang pagsukat?" Ang isang halatang katanungan ay, "Paano natin malalaman, kung hindi tayo pinapayagang sumukat?"

Ang tanong na ito ay bumalik pa sa maagang panahon ng quantum mechanics. Ang mga pioneer sa larangan ay nahati sa mga grupo — si Einstein at marami pang iba ay nagsabi na ang isang particle ay nasa ilang hindi kilalang estado bago ang pagsukat. Ang iba, kapansin-pansin si Max Born, at kalaunan si Niels Bohr, ay gumawa ng mas radikal na pahayag, na nagsasabing ang estado ng isang particle ay tunay na hindi natutukoy ng kalikasan bago ang pagsukat, hindi lamang hindi alam ng mga tao. Ang pagsukat ay probabilistikong nagbabagsak ng particle sa isang tiyak na estado. Si Einstein, na hindi nasisiyahan sa paliwanag na ito, ay sikat na nagsabi nito, "Gott würfelt nicht," na halos isinalin bilang "Hindi naglalaro ng dais ang Diyos."

Sa loob ng mga dekada pagkatapos lumitaw ang hindi pagkakaayon na ito, marami ang nag-isip na maaaring hindi na ito masasagot kailanman, o na ito ay isang bagay ng pananaw. Pagkatapos, noong 1964, si John Bell, isang pisiko mula sa Hilagang Ireland, ay nagsulat ng papel kung saan pinag-aralan niya ang mga istatistika ng ilang mga eksperimento na maaaring sagutin ang tanong na ito nang tiyak. Ipinakita niya na sa isang partikular na pagsubok, nakakamit ng isa ang isang hanay ng mga istatistika mula sa mga tinukoy (ngunit hindi kilala) na mga quantum state, at isang iba't ibang hanay ng mga istatistika mula sa mga quantum state na hindi natutukoy ng kalikasan.

Noong panahon ng papel ni Bell, ang mga eksperimental na pagsubok ng mga istatistikang kasangkot ay hindi naa-access sa lahat maliban sa mga mananaliksik sa pinaka-unahan ng pisika. Ngunit ngayon, ginawa ng IBM Quantum na posible para sa mga estudyante sa buong mundo na gumamit ng mga tunay na quantum device, nang malayo sa pamamagitan ng cloud, at nang libre, para tuklasin ang kalikasan ng mga quantum state. Ito ang gagawin mo ngayon.

Setup ng thought experiment: entanglement ng spin

Mayroong mga proseso kung saan ang isang particle na walang spin ay nabubulok sa dalawang particle na bawat isa ay may spin. Dahil ang spin ay isang uri ng angular momentum, ang batas ng konserbasyon ng angular momentum ay nagmumungkahi na ang dalawang lumabas na particle ay dapat magkaroon ng mga spin na eksaktong anti-aligned. Katunayan, ito ay naobserbahan sa eksperimento.

Isang halimbawa: ang isang neutral na pi meson ay minsan ay nabubulok sa isang positron at isang elektron: $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ Huwag mag-alala kung hindi mo alam kung ano ang mga particle na iyon, at huwag mag-alala kung kilala mo sila nang husto at alam mong ang uri ng decay na ito ay medyo hindi malamang. Alam mo lang na kung ang isa sa mga lumabas na particle ay spin up, ang isa pa ay dapat na spin down, at kabaliktaran. Syempre, walang espesyal sa "up" at "down"; ang parehong anti-alignment ay naobserbahan kung ang mga pagsukat ay ginawa sa tinatawag nating $x$ o $y$. Ang decay na ito ay isang nakakahimok na konteksto para sa ating isaalang-alang, dahil maaari tayong maiwasan ang mga tanong tungkol sa kung anong mga pagsukat ang naganap sa nakaraan; ang positron at elektron ay hindi pa umiiral hanggang sa sandali ng decay.

Maaari tayong hayaan ang mga $\pi^0$ meson na mabulok at panoorin ang pagtalilis ng mga lumabas na particle sa ilalim ng impluwensya ng isang hindi pantay na magnetic field. Ang isang hindi pantay na field na ginagamit para italilis ang mga spin ay madalas na tinatawag na Stern-Gerlach device, na pinangalanan sa mga mananaliksik na unang gumamit nito para (aksidenteng) mangalap ng ebidensya ng pag-iral ng quantum mechanical spin. Tandaan na ang kwento dito ay mas kumplikado kaysa sa orihinal na eksperimento dahil ang elektron at positron ay may charge din (hindi tulad ng mga silver atom sa Stern Gerlach na eksperimento). Ngunit alam natin kung paano gumagalaw ang mga charged particle sa isang magnetic field, at maaari nating ibawas ang epektong iyon. Sa sumusunod, ipagpalagay natin na ang mga talilis na ginagamit sa ating mga kalkulasyon ay dahil sa spin ng mga particle at hindi sa charge. Dahil dito, para sa ating mga layunin, hindi mahalaga kung sinong observer ang nakakakuha ng positron at sinong observer ang nakakakuha ng elektron. Ang eksperimental na setup ay ganito:

Habang ang meson ay nabubulok, ang isang elektron ay napalabas sa isang direksyon, at isang positron sa kabilang dako. Ang bawat isa sa dalawang particle na ito ay maglalakbay sa isang hindi pantay na magnetic field, na nagdudulot ng pagtalilis nito alinman sa direksyon ng magnetic field, o kasalungat ng magnetic field.

Kung mayroon tayong pinagkukunan ng maraming meson, maaari tayong mangalap ng mga istatistika dito. Kung ang isang observer sa kaliwa at isa sa kanan (tawaging Lucas at Rihanna, ayon sa pagkakabanggit) ay palaging sumusukat sa parehong axis, ang mga istatistikang ito ay hindi magiging kawili-wili: sa bawat pagkakataon na sumukat ang isa ng up, ang isa pa ay sumusukat ng down; sa bawat pagkakataon na sumukat ang isa patungo sa pahina, ang isa pa ay susukat palabas ng pahina, at iba pa. Gayunpaman, kung ang mga manlalaro ay malaya na sumukat ng spin sa anumang direksyon na gusto nila, maaari tayong makahanap ng mas kawili-wiling bagay.

Ang eksperimentong inilarawan sa itaas, kung saan ang mga particle ay lumipad na may spin angular momentum na sinusukat ng dalawang observer, ay unang iminungkahi nina Einstein, Podolsky, at Rosen (EPR) sa papel na ito, at ito ay minsan tinutukoy bilang isang "EPR experiment".

Ang ating mga opsyon

Muling sabihin natin ang dalawang makasaysayang pananaw, para sa kalinawan:

Opsyon 1 (Einstein): Ang dalawang spin (ang elektron at positron) ay natutukoy, sa kahulugan na ang resulta ng anumang pagsukat sa anumang axis ay paunang natukoy ng kalikasan, kahit hindi natin alam kung ano ito. Maaaring isipin ito bilang mga spin na may ilang tunay, malinaw na tinukoy na oryentasyon sa espasyo, na hindi kilala sa atin, ngunit umiiral. O maaaring isipin ito bilang isang hanay ng impormasyon o mga instruksyon na tumutukoy sa mga resulta ng mga pagsukat sa kahabaan ng $x$, $y$, $z$, o anumang sa pagitan. Ang pagsukat ng spin ng positron (sabihin sa kahabaan ng z) ay pinipilit itong mag-orient at mag-align sa direksyon ng z o -z. Ito ay walang causal na impluwensya sa spin ng elektron, kahit na alam natin na ang spin ng elektron ay nagsimulang salungat sa spin ng positron, kaya kung ang spin ng positron ay nasukat na maging sa kahabaan ng +z, ang spin ng elektron ay nasukat sa kahabaan ng -z. Bukod sa paunang kondisyon ng mga instruksyon na nagpapanatili ng angular momentum (ang mga spin na anti-aligned), walang koneksyon sa pagitan ng dalawang spin. Ang opsyong ito ay minsan tinatawag na "hidden variables", tulad ng: ang mga projection sa iba't ibang axis ay natutukoy, ngunit nakatago mula sa atin.

Opsyon 2 (Born): Ang parehong spin ay hindi natutukoy sa kanilang mga paunang estado… hindi lamang hindi kilala, kundi pisikal na hindi natukoy, nang walang tiyak na oryentasyon o mga instruksyon sa mga resulta ng eksperimento, hanggang hindi sila nasusukat. Ang pagsukat ng spin ng positron ay "nagbabagsak" ng espasyo ng lahat ng posibilidad pababa sa isang solong natukoy na estado, alinman sa kahabaan ng +z o -z na axis. Ang pagsukat na ito ng positron ay pinipilit ang spin ng elektron na mag-collapse din sa isang malinaw na tinukoy na projection sa kahabaan ng z, eksaktong kasalungat ng positron. Ang epektong ito ay nagaganap na nakakalat sa buong espasyo sa pagitan ng positron at elektron. Ito ay tinatawag na "spooky action at a distance," ngunit maaari itong mas hindi-dramatikong tawaging "non-local physics."

Suriin ang iyong pag-unawa

Maganda sana kung matutukoy natin sa eksperimento ang pagkakaiba ng mga opsyon nina Einstein at Born. Ano ang ilang mga eksperimento na magbibigay ng parehong mga resulta, alinmang opsyon ang totoo? May maiisip ka bang eksperimento na magbibigay ng magkaibang resulta para sa dalawang opsyon?

Tandaan: Magiging napaka-impressive kung makakabuo ka ng isang eksperimento na magbibigay ng magkaibang resulta para sa mga opsyon nina Einstein at Born; umabot ng ilang dekada sa mga tao upang makabuo ng isa.

Sagot

Sa pananatili sa eksperimentong inilarawan hanggang ngayon (ibig sabihin, walang net spin sa positron at electron na anti-aligned), ang pagsukat ng parehong spin sa kahabaan ng $\pm x$, $\pm y$, o $\pm z$ ay palaging magbibigay ng magkasalungat na sign dahil sa conservation of angular momentum, hindi alintana kung aling opsyon ang tama. Ang pagsukat sa spin ng isang particle (halimbawa, ang electron) sa isang direksyon (halimbawa, $+z$) ay nangangahulugang ang spin ng ibang particle, ang positron, ay masusukat sa kahabaan ng $-z$. Kung sa halip ay susukatin mo ang spin ng positron sa direksyong $x$, magiging pantay ang posibilidad na lumabas itong $+x$ o $-x$. Maaaring ito ay dahil ganito ang sinasabi ng mga nakatagong instruksyon (opsyon 1 ni Einstein) o dahil ang probability distribution ng spin ng positron ay nagba-update pagkatapos ng pagsukat ng spin ng electron, at ang bagong probability distribution ay tugma sa isang 50-50 na paghahati sa pagitan ng $\pm x$ (opsyon 2 ni Born). Ang mga puntong ito ay ipinapaliwanag nang mas detalyado sa ibaba.

Bahagyang naiiba lang ang sagot kung isasaalang-alang mo ang decay ng isang particle na may spin-1, kung saan ang dalawang lumalabas na particle (tulad ng positron at electron) ay dapat magkaroon ng mga spin na aligned, sa halip na anti-aligned. Kung ang isa ay nasukat sa kahabaan ng $+y$, ang pagsukat sa kabilang particle sa $y$ axis ay dapat ding magbigay ng $+y$, at iba pa. Tulad ng dati, maaari itong magmula sa alinman sa dalawang opsyon.

Ang natitirang bahagi ng araling ito ay nakalaan sa isang eksperimento na maaaring makapagtangi sa pagitan ng mga opsyon nina Einstein at Born, kaya't hindi na tayo babagsak sa mas maraming detalye dito. Gayunpaman, bahagi ng tricky ay ang pagsukat sa dalawang particle sa magkaibang direksyon (tulad ng $x$ at $z$, o kahit na anumang direksyon sa pagitan ng tradisyonal na Cartesian axes). Ang natitira ay nagmumula sa maingat na pagsasaalang-alang sa eksaktong probabilidad ng pagkuha ng magkaibang resulta batay sa mga prediksyon ng quantum mechanics at ng mga classical information tulad ng sa hidden variables.

Sa alinmang opsyon, kung ang dalawang tagamasid, sina Lucas at Rihanna, ay susukat sa kahabaan ng parehong axis, aasahan natin na makakakuha sila ng anti-aligned na mga spin, anuman ang totoong opsyon. Upang makita kung bakit, isaalang-alang ang mga diagram sa ibaba.

Ipinapakita ng figure sa itaas ang opsyon ni Einstein. Ang mga direksyon ng mga spin ay magkasalungat at natukoy na. Kung susukatin natin sa kahabaan ng $z$ axis, ang isa ay magiging kahabaan ng $+z$, at ang isa naman ay $-z$. Wala tayong dahilan upang ipagpalagay na ang positron ay kahabaan ng $+z$, at ang electron ay $-z$; ang larawan ay ipinapakita lamang na ang mga spin ay masusukat na magkasalungat na direksyon. Sa katunayan, ang isang ibinigay na spin ay hindi kailangang talagang magkaroon ng component ng spin nito sa direksyong sa huli ay susukatin, sa kaso ng opsyon ni Einstein. Ang pinakamahinang pahayag ng opsyon ni Einstein ay may ilang set ng mga instruksyon na nakaimbak sa spin na tumutukoy kung ano ang magiging mga resulta ng pagsukat kapag sinukat sa kahabaan ng anumang axis. Hindi natin kailangang isipin na ang mga instruksyong ito ay nasa anyo ng isang simpleng vector (tingnan ang diagram sa ibaba); babalikan natin ito, mamaya.

Ipinapakita ng figure sa ibaba ang opsyon ni Born, kung saan ang mga direksyon ng mga spin ng positron at electron ay kumakalat sa isang distribution ng probabilidad at walang tiyak na direksyon. Huwag masyadong bigyang-kahulugan ang hugis ng distribution. Ang bawat spin ay maaaring talagang magkaroon ng non-zero na probabilidad na tumuro sa anumang direksyon hangga't magkasalungat sila sa isa't isa; ipinakita lamang natin sila bilang mga fraction ng bilog upang mavisual na maidistingo natin sila para sa talakayan. Tandaan na sa kaso ng opsyon ni Born, totoo pa rin na dapat panatilihin ang conservation ng angular momentum. Kaya kung ang isang alon ng probabilidad ay "nag-collapse" upang ang spin ay tumuro sa kahabaan ng $+z$, ang isa naman ay tuturo sa kahabaan ng $-z$ at malilihis sa kabaligtarang direksyon. Magmumukhang magkatulad ang mga opsyon.

Ngunit ano ang mangyayari kapag ang mga tagamasid na L at R ay maaaring sumukat sa kahabaan ng alinman sa tatlong axes, na ang bawat pares ay 120 degrees ang layo, tulad ng ipinapakita sa Figures 4 & 5. Ang bawat tagamasid ay maaaring magpasya nang random kung saang axis nila susukatin ang spin (a, b, o c). Hindi kailangan ng dalawa na sumukat sa kahabaan ng parehong axis. Kapag sumukat ang bawat tagamasid, maaaring makahanap sila ng positive projection sa kanilang napiling axis, o maaaring makahanap sila ng negative projection. Halimbawa, maaaring sukatin nina Lucas at Rihanna ang +a at -b o +b at +c. Tandaan na kung sakaling piliin nilang sukatin sa kahabaan ng parehong axis, kailangan nilang makakuha ng magkasalungat na sign sa kanilang mga projection: +a at -a, +b at -b, o +c at -c; hindi sila pareho na makahahanap, halimbawa, ng +a. Sa susunod na seksyon, gagawin natin kung paano kalkulahin ang probabilidad na makakuha sina Lucas at Rihanna ng parehong sign sa kanilang mga sinukat na axis (++ o --) at magkasalungat na sign (+-) o (-+).

Ang dalawang figure sa itaas ay naglalarawan ng mga posibleng interpretasyon ng hidden-variables sa bagong, three-axis measurement scenario na ito. Ibig sabihin, alinman sa mga spin ay natukoy na, bilang mga vector, o may set ng physical na instruksyon na sa isang paraan ay naka-embed sa sistema kung kaya't ang mga resulta ng lahat ng posibleng pagsukat ay pre-determined na, kahit na hindi ito malaman ng mga experimenter bago ang pagsukat. Ang alternatibo ay ipinapakita sa ibaba. May umiiral na probability distribution ng mga resulta, at ang distribution na ito ay maaaring magsabi sa atin ng ilang bagay tungkol sa posibilidad ng magkaibang resulta ng pagsukat, ngunit ang mga resulta ay hindi determinado ng kalikasan bago ang pagsukat.

Maaari nating itanong sa ating sarili, "Gaano kadalas dapat makahanap ang dalawang manlalaro ng parehong sign ng projection ng spin?" Ibig sabihin, hindi man natin ire-record kung saang axis nila pinili na sukatin; sine-record lang natin kung nakahanap sila ng parehong sign o magkaibang sign. Hindi malinaw kung ang mga opsyon nina Einstein at Born ay magbibigay ng parehong resulta sa mas kumplikadong measurement scheme na ito. Ngunit dapat maging malinaw mula sa Figures 4 at 5 na $posible$ na magkaroon ng pagkakaiba. Para sa kasong ipinapakita sa opsyon ni Einstein, ang pagsukat ng projection ng spin ng $e+$ sa axis $a$ ay tiyak na magbibigay ng $+a$, at ang projection ng spin ng $e-$ sa axis $b$ ay magbibigay ng $-b$ (bagaman bahagya lamang). Ngunit sa opsyon ni Born, malawak ang mga posibilidad. Totoo na napananatili pa rin ang angular momentum. Ngunit dahil ang dalawang magnetic field ay hindi nakaorient sa kahabaan ng parehong axis, pinipilit natin ang mga particle sa isang sitwasyon kung saan dapat silang mag-collapse sa magkaibang axes (sa pamamagitan ng mga interaksyon sa field). Sa susunod na seksyon, gagamitin natin ang quantum mechanics upang tukuyin kung ano dapat ang mga probabilidad, batay sa opsyon ni Born, na makakakuha sina Lucas at Rihanna ng parehong sign sa kanilang mga sinukat na axis (++ o --), at ang mga probabilidad na makakakuha sila ng magkasalungat na sign (+- o -+).

Mga Hula

Ano ang hula ng opsyon ni Einstein (hidden variables)?

Kung tama ang opsyon ni Einstein, ang bawat pares ng $e+$ at $e-$ ay magtataglay ng hanay ng mga vector component sa kanilang mga spin. Halimbawa, maaaring ang electron ay may mga component na $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$, at sa ganitong kaso ang positron ay dapat na magkaroon ng mga component na $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$. Ang tinutukoy natin dito ay ang sign ng projection sa bawat axis, hindi ang magnitude. Isipin natin na pinahintulutan natin ang napakalaking bilang $N$ ng mga ganitong decay na maganap, at nagkolekta tayo ng mga sukat para mapuno ang talahanayan sa ibaba.

Populasyon	Particle 1	Particle 2
$N_1$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_2$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_3$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_4$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$
$N_5$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_6$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_7$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_8$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$

Para sa bawat kaso sa talahanayan sa itaas, mayroon 9 na posibleng pagpipilian para sa mga axis nina Lucas at Rihanna: $aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$, at $cc$. Batay sa talahanayang ito, ang posibilidad na magsukat ang dalawang obserbador ng parehong sign para sa rows 1 at 8 ay zero. Para sa rows 2–7, mayroong 4 na paraan para makuha ang parehong sign, na ipapakita lamang natin para sa row 2:

Parehong sign: $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Magkaibang sign: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Kaya kung tama ang opsyon ni Einstein bilang tamang interpretasyon ng mga quantum state, ang kabuuang posibilidad na isinama sa lahat ng posibleng populasyon, na makuha nina Lucas at Rihanna ang parehong sign ng spin projection sa kanilang mga random na piniling axis ay: $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ Kung saan naaabot ang pagkakapantay-pantay kapag $N_1=N_8=0$ lamang.

Suriin ang iyong pag-unawa

Para sa row 2 ng talahanayan sa itaas, inilista natin ang lahat ng posibleng paraan para makakuha sina Lucas at Rihanna ng parehong sign sa kanilang mga sukat, at lahat ng paraan na maaari nilang makuha ang magkaibang sign. Ulitin ito para sa ikatlong row.

Sagot

Parehong sign: $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

Magkaibang sign: $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

Ang talahanayan sa itaas ay tumutukoy sa mga "populasyon", ibig sabihin ay hindi natin alam kung ilan ang bawat uri ng mga tagubilin na ginagawa ng kalikasan, kung tama ang hidden-variables na pagtrato. Ipakita na kahit ano pa ang distribusyon ng $N_1$ hanggang $N_8$, ang posibilidad ng pagkuha ng parehong sign mula sa mga sukat ay palaging mas mababa o katumbas ng 4/9.

Sagot

Magsimula tayo sa pag-aakala ng patuloy na bilang ng kabuuang measurement trial, kung kaya't ang $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ ay pare-pareho. Pansinin na sa espesyal na kaso kung saan $N_1=N_8=0$, nababawasan ang ekspresyon sa

$$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

Ngayon, ipagpalagay na ang alinman sa $N_1 \neq 0$ o $N_8 \neq 0$. Kung ganoon,

$$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

Ang kabuuan ng lahat ng trial, $N_tot$, ay pareho pa rin ng dati. Ngunit dahil tumaas ang $N'_1$ o $N'_8$ mula sa 0, ang kabuuan ng $N'_2$ hanggang $N'_7$ ay kinakailangang mas mababa kaysa dati. Sa partikular, ang kabuuan ng $N'_2$ hanggang $N'_7$ ay mas mababa sa $N_{tot}$. Kaya naman

$$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

Pinagsama ang lahat ng posibleng kaso, mayroon tayong $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Pangkalahatang-ideya

Sa pagtrato sa itaas, isinaalang-alang natin ang mga sukat sa mga tiyak na axis. Siyempre, maaaring gumawa ng mga sukat sa anumang axis. Tawagan natin ang dalawang spin vector ng dalawang particle na $\vec{a}$ at $\vec{b}$. Hayaan ang $\lambda$ na maging ilang hidden variable kung kaya't ang isang estado ng two-particle system ay tumutugma sa isang malinaw na halaga ng $lambda$. Hayaan ang $\rho(\lambda)$ na maging probability density sa $\lambda$. Sa huli, pinili natin ang mga simbolo $A(\vec{a},\lambda)$ at $B(\vec{b},\lambda)$ bilang ang paunang natukoy na resulta ng isang sukat na ginawa sa alinmang particle (A o B), batay sa spin vector at ang hidden variable. Mahalagang pansinin na ang $A$ ay independyente sa $\vec{b}$ at ang $B$ ay independyente sa $\vec{a}$. Maaari na ngayong magtanong ng anumang bilang ng mga tanong na may kaugnayan sa mga korrelasyon sa pagitan ng mga sukat sa A at B. Sa partikular, maaaring magtanong tungkol sa inaasahang halaga na ibinibigay ng

$$E(\vec{a},\vec{b})\equiv\int{d\lambda \rho(\lambda)A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)}$$

Batay sa ilang karaniwang mga pagpapalagay tungkol sa mga halagang ito, gaya ng $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$, at normalisasyon sa $\rho(\lambda)$, maaaring ipakita na ang mga korrelasyon sa pagitan ng dalawang particle ay sumusunod sa relasyon na

$$|E(\vec{a},\vec{b})-E(\vec{a},\vec{d})|+|E(\vec{c},\vec{d})+E(\vec{c},\vec{b})|\leq 2,$$

kung saan ang $\vec{a}$ at $\vec{b}$ ay ang mga spin state ng iyong sistema at ang $\vec{c}$ at $\vec{d}$ ay mga reference spin state (anumang iba pang posibleng spin state ng sistema). Isa ito sa isang buong klase ng mga kawalan ng pagkakapantay-pantay na kilala na ngayon bilang "Bell inequalities". Hindi natin gagamitin ang pangkalahatang anyo na ito dito. Sa halip, magtutuon tayo sa isang tiyak na eksperimental na setup, para maimapa natin ang setup na iyon sa isang quantum circuit.

Ano ang hula ng opsyon ni Born (non-deterministic quantum mechanics)?

Pipili si Lucas ng ilang axis at mahahanap niya ang spin ng isang particle na nasa alinman sa positibo o negatibong direksyon. Anuman ang makuha niya, i-orient natin ang ating mga axis para ang $z$ axis ay ang direksyong iyon. Pagkatapos ay maaari tayong isulat ang paunang estado pagkatapos ng pagkasira ng meson at bago ang anumang sukat bilang

$$|\psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R)$$

Susukatin ni Rihanna ang spin ng kanyang particle sa ilang ibang direksyon sa anggulo na $\theta$ kaugnay kay Lucas. Ang spin operator sa ilang arbitrary na direksyon $\hat{n}$ ay ibinibigay ng

$$\hat{S}_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix}$$

Ang mga eigenstate ng operator na ito ay

$$|+\rangle_{\hat{n}}=\cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle \\ |-\rangle_{\hat{n}}=\sin(\theta/2)|0\rangle-\cos(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle$$

Suriin ang iyong pag-unawa

I-verify na ang $|+\rangle_{\hat{n}}$ ay isang eigenstate ng operator na $\hat{S}_{\hat{n}}$ sa itaas, at hanapin ang eigenvalue.

Sagot

$$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Gamit ang $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ at $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$, mayroon tayo

$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Pinapatunayan nito na ang $|+\rangle_{\hat{n}}$ ay isang eigenstate at ang kaukulang eigenvalue ay $\frac{\hbar}{2}$.

Ang posibilidad na susukatin ni Lucas ang spin na nasa positibong direksyon sa axis na kanyang pinili $|+\rangle$ $at$ na susukatin din ni Rihanna ang positibong spin sa kanyang piniling direksyon $|+\rangle_{\hat{n}}$ ay

$$P_{++}=\left|\left(_L\langle+|_{R,\hat{n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$ $$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(|+\rangle_L|-\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\vphantom{p}_R\langle-|\right) |-\rangle_R \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Suriin ang iyong pag-unawa

Gawin ang parehong bagay para sa $P_{--}$. I-verify na katumbas din ito ng $\frac{1}{2}\sin^2(\theta)$.

Sagot

$$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Pinagsama ang mga resultang ito, nalaman natin na ang posibilidad na ang mga sign ng dalawang sinukat na axis ay magkapareho ay $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Suriin ang iyong pag-unawa

Ano ang maaari mong gawin para ma-verify ang matematika ng resultang ito? Para linawin, hindi ka namin hinahanap na i-verify pa na tumutugma ito sa kalikasan, kundi siguraduhin lamang na walang nagkamali sa lahat ng matematika.

Sagot

(1) Gawin ang parehong kalkulasyon para sa $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ para ma-verify ang conservation of probability.

(2) Suriin ang isang kilalang kaso. Ilagay ang $\theta = 0$. Kung ganoon, ang $P_{\text{same}}$ ay tumutugma sa sitwasyon kung saan sinusukat ng dalawang obserbador ang kanilang spin sa parehong axis, na lalabag sa conservation of angular momentum. Kaya inaasahan mo na ang posibilidad na iyon ay zero, at talagang ilalagay ang $\theta = 0$ ay nagbubunga ng $\sin^2(0/2) = 0$.

(3) Suriin ang ibang kilalang kaso. Subukan ang $\theta = \pi$. Ano ang dapat mong makuha? Mag-ingat sa $\frac{1}{2}$ na iyon.

Partikular tayong nag-sketch ng kaso kung saan ang mga axis ay nasa $120\deg$ kaugnay ng isa't isa. Tandaan, anumang direksyon ($\pm a$, $\pm b$, o $\pm c$) ang makuha ni Lucas, tinatawag natin iyon na $z$. Pagkatapos, random na pipili si Rihanna na sumukat sa alinman sa $\pm a$, $\pm b$, o $\pm c$. Kung ang kanyang pagpili ay kapareho ng sa kay Lucas (maliban sa isang sign), kung gayon pareho silang sumusukat sa $z$, at ang posibilidad na susukatin din ni Rihanna ang $+z$ ay zero. Dapat itong mangyari 1/3 ng oras, dahil ang pagpili ng axis ni Rihanna ay independyente sa pagpili ni Lucas. Para sa anumang ibang pagpili, si Rihanna ay susukat sa isang axis na alinman sa $120\deg = 2\pi/3$ radians mula sa $z$ (1/3 ng oras) o $240\deg = 4\pi/3$ radians mula sa $z$ (1/3 ng oras). At siyempre, sa alinmang axis na iyon, ang spin ay maaaring masukat na nasa positibo o negatibong direksyon. Binibigyan tayo nito ng kabuuang posibilidad na makuha nina Lucas at Rihanna ang parehong sign:

$$P_{\text{same}} = \frac{1}{3}\left( 0 + \sin^2(\pi/3) + \sin^2(2\pi/3) \right) = \frac{1}{3}\left( 0 + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2}$$

Wow

Ipinakita lamang natin na

$$(P_\text{same})_\text{max, Einstein}<(P_\text{same})_\text{max, Born}.$$

Huminto tayo sandali at pag-isipan.

Ang mga opsyon nina Einstein at Born ay tila palaging magbubunga ng parehong resulta, dahil nagkaiba lamang sila sa kanilang paglalarawan ng nangyayari bago ang sukat. At gayunpaman, sa pagpapalagay na may mga tagubilin na paunang natukoy ang sign ng spin measurement sa ilang mga axis, nakakuha tayo ng limitasyon sa posibilidad para sa mga sukat na magbunga ng parehong sign $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Pagkatapos ay ipinalagay natin ang mga probability distribution gaya ng sa quantum mechanics... at nakakuha ng ibang halaga para sa $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. Ang hula mula sa quantum mechanics ay mas mataas kaysa sa pinahihintulutan ng hidden variables na pagtrato. Kaya maaari tayong gumawa ng eksperimento at alamin kung ang mga quantum mechanical state ay tinutukoy ng kalikasan bago ang sukat, o kung tunay na nasa probabilistic superposition sila ng mga posibleng estado.

Ang eksperimentong ito ay ginawa na ng maraming beses gamit ang maraming iba't ibang pisikal na sistema, kadalasan ay mga photon. Maraming maingat na pagsasaalang-alang, gaya ng mga bias sa sukat, ang timing (sabay-sabay) ng mga sukat, at marami pang iba. Sa nakalipas na mga dekada, ang mga alalahanin tungkol sa mga subtlety na ito ay unti-unting nawala na. Patuloy pa ring isinasagawa ang mga pagsubok habang natututo tayo ng higit pa tungkol sa katotohanan, ngunit mayroon na ngayong malawak na kasunduan na ang sagot na makukuha mo dito, gamit ang IBM® quantum computers, ay tama.

Subukan gamit ang tunay na quantum computers!

Kasunod ng ating paglalarawan sa itaas, tukuyin natin ang direksyon ng pagsukat ni Lucas bilang $+z$. Ito ay maginhawa kahit sa algebraic approach, ngunit lalo itong maginhawa para sa quantum computation, dahil ang karaniwang sinusukat ay ang projection ng qubit sa kahabaan ng $z$. Gusto nating gumawa ng quantum circuit na magbibigay sa atin ng parehong probability conditions gaya ng nasa itaas para sa $P_{++}$. Malaya tayong mag-orient ng ating plane nang sa gayon $\phi=0$, at makukuha natin ang

$$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$

Kailangan nating malaman ang ilang bagay tungkol sa mga IBM quantum computer, upang gabayan ang ating diskusyon. Una, ang mga qubit ay nagsisimulang naka-initialize sa $|0\rangle = |+\rangle_z$ state. Gaya ng nabanggit dati, kapag ginawa ang mga pagsukat, ito ay sa kahabaan ng $z$ axis. Kaya ang layunin ay tukuyin kung anong mga operator ang maaari nating ipasok sa pagitan ng measurement basis states $\langle 0|\langle 0|$ at ng mga initial states ng mga qubit $|0\rangle |0\rangle$ upang makuha ang komplikadong expression sa itaas. Para dito, kakailanganin nating balikan ang ilang basic gates sa quantum computing.

$X$ gate: Katumbas ng NOT operation. Single-qubit gate.

$$X|0\rangle = |1\rangle,\\X|1\rangle=|0\rangle$$ $$X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Sa Qiskit, ang paggawa ng circuit na may $X$ gate ay ganito ang hitsura:

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

$H$ Hadamard gate: Gumagawa ng superposition state. Single-qubit gate.

$$H|0\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle+|1\rangle\right),$$ $$H|1\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle-|1\rangle\right)$$ $$H=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Ang circuit na may Hadamard gate ay ginagawa nang ganito:

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

CNOT Controlled-NOT gate: Ang gate na ito ay gumagamit ng dalawang qubit: isang control at isang target. Sinusuri nito ang state ng control qubit na hindi nagbabago. Ngunit kung ang control qubit ay nasa state na $|1\rangle$, binabago ng gate ang state ng target qubit; kung ang state ng control qubit ay $|0\rangle$ walang binabago. Sa notation sa ibaba, ipagpalagay na ang unang qubit ay ang control, at ang pangalawa ay ang target.

$$CNOT|00\rangle = |00\rangle, \\ CNOT|01\rangle = |01\rangle \\ CNOT|10\rangle = |11\rangle \\ CNOT|11\rangle = |10\rangle$$

Medyo naiiba ang hitsura ng CNOT gate sa isang circuit, dahil nangangailangan ito ng dalawang qubit. Ganito ito ipinatutupad:

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Tandaan na ang unang qubit na nakalista sa qc.cx(0,1) ay ang control, at ang pangalawa ay ang target. Sa diagram, ang target ay ang may "+" sign o cross dito.

$R_y(\theta)$ Rotation Y gate: Ini-rotate ang state sa paligid ng y-axis. Ito ay isang single-qubit gate.

$$R_y(\theta)|0\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)|1\rangle,\\R_y(\theta)|0\rangle = -\sin(\theta/2)|0\rangle+\cos(\theta/2)|1\rangle$$ $$R_y(\theta)=\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}$$

Sa wakas, ang mga rotation gate ay ipinatutupad sa pamamagitan ng pagtukoy sa uri ng gate, ang dami ng rotation, at ang qubit kung saan inilalagay ang gate, sa ganoong pagkakasunod-sunod:

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

Ang pangalan ng gate na ry ay tumutukoy sa axis kung saan nangyayari ang rotation. Ang unang argument na $\pi/2$ ay tumutukoy sa dami ng rotation, at ang pangalawang argument ay tumutukoy sa qubit kung saan ilalagay ang gate.

Suriin ang iyong pag-unawa

Gamit ang syntax na ipinakilala o na-refresh sa itaas, gumawa ng anumang quantum circuit na kinabibilangan ng apat na magkakaibang uri ng quantum gate.

Sagot

Mayroon, siyempre, napakaraming posibilidad. Narito ang isang halimbawa:

qc=QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi/2,0)
qc.cx(1,0)
qc.x(1)
qc.h(0)
qc.cx(0,1)
qc.draw("mpl")

Mula sa pisikal na eksperimento patungong quantum circuits

Mula sa mga operasyon ng mga gate na ito, makikita natin, halimbawa, na ang mga ket sa mga expression para sa $P_{++}$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$$

ay malamang na kinabibilangan ng isang Hadamard gate para sa superposition, at isang CNOT gate para lumikha ng entanglement.

Gagamitin na natin ngayon ang H, X, at CNOT gate para i-transform ang $|0\rangle_L|0\rangle_R$ sa $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|0\rangle_R\right)$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}CNOT_{LR}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|1\rangle_R\right)$$

Dito ang $CNOT_{LR}$ ay nangangahulugang isang CNOT gate na gumagamit ng L bilang control at R bilang target. Maaari na nating i-factor out ang bahagi ng R ng estado:

$$\text{CNOT}_{LR}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L-|1\rangle_L\right)|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L|1\rangle_L|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R$$

Nakasulat na natin ngayon ang ket nang buo bilang mga quantum gate na gumagana sa default na panimulang estado ng mga qubit.

Maaari na nating gamitin ang $R_y(\theta)$ na kumikilos sa $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ para makuha ang bra sa expression para sa $P_{++}$.

$$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(\cos(\theta/2)\langle0|+\sin(\theta/2)\langle1|\right)$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(|0\rangle \cos(\theta/2)+|1\rangle \sin(\theta/2)\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|\left(R_{y,R}(\theta)|0\rangle_R\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)$$

Pinagsama ang mga resultang ito, maaari nating isulat ang posibilidad na $P_{++}$ bilang

$$p_{++}=\left|\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R\right|^2$$

Nagbibigay ito sa atin ng malinaw na mga tagubilin kung paano buuin ang ating quantum circuit. Mag-a-apply tayo ng X, H, CNOT at $R_y$ gate sa mga qubit na kumakatawan sa mga quantum state ng mga partikula na sinusukat nina Lucas at Rihanna, at magsasagawa ng mga pagsukat para makuha ang posibilidad.

Inirerekomenda ng IBM Quantum na harapin ang mga problema sa quantum computing gamit ang isang balangkas na tinatawag naming Qiskit patterns. Binubuo ito ng mga sumusunod na hakbang.

• Hakbang 1: I-map ang iyong problema sa isang quantum circuit
• Hakbang 2: I-optimize ang iyong circuit para sa pagpapatakbo sa tunay na quantum hardware
• Hakbang 3: Isagawa ang iyong trabaho sa IBM quantum computers gamit ang Runtime Primitives
• Hakbang 4: I-post-process ang mga resulta

Sa esensya, lahat ng trabahong ginawa natin sa itaas ay hakbang 1. Buuin na natin ang resultang circuit gamit ang Qiskit!

Hakbang 1: Pag-map ng ating mga resulta sa isang quantum circuit

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a
# histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Tandaan na 1/3 ng oras, ang axis na pipiliin ni Rihanna ay $2\pi/3$ radians ang layo mula sa kay Lucas, 1/3 ng oras ay $4 \pi/3$ radians ang layo, at 1/3 ng oras, magkapareho sila ng pipiliing axis. Kaya kailangan nating gumawa ng 3 quantum circuits para sa tatlong sitwasyong ito, at pagsamahin ang mga resulta. Ipapaliwanag natin nang maingat ang una, at ang dalawa pang natitira ay isasaad na lang natin.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two
# classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's)
# as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and
# store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

Ang code sa ibaba ay mabilis na nagtatayo ng tatlong circuits sa mas maayos na paraan. Pansinin na ang tanging pagkakaiba sa pagitan ng tatlong circuits ay kung gaano kalayo natin iina-ikot ang dalawang qubits sa paligid ng $y$ axis.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Gagamitin natin ngayon ang isang Qiskit reference primitive na tinatawag na StatevectorSampler. Ang sampler ay isang primitive na dinisenyo para i-sample ang lahat ng posibleng estado ng isang sistema at ibalik ang mga probabilidad (o sa ilang kaso, quasiprobabilities) ng pagkuha ng bawat estado. Maaari tayong tumukoy ng bilang ng "shots", at tingnan ang "counts" para sa bawat estado.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Kapag tiningnan natin ang mga counts mula sa bawat circuit, makikita nating halos magkapareho ang dalawa sa kanila, at medyo iba naman ang ikatlo.

plot_histogram(counts_list)

Gumawa tayo ng listahan ng mga posibleng kinalabasan at idagdag ang lahat ng counts ng bawat estado mula sa tatlong circuits para makuha ang kabuuang mga probabilidad.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Maaari na nating i-print ang kabuuang counts para sa bawat kinalabasan, at i-plot ang histogram.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Suriin ang iyong pag-unawa

Ang larawan sa itaas ba ay naaayon sa mga kinalabasan na hiniula ng hidden variables at determinismo? O naaayon ito sa probabilistikong (at non-local) quantum mechanics?

Sagot

Naaayon ito sa probabilistikong at non-local quantum mechanics. Ang pagtrato gamit ang hidden variables ay hinula na ang probabilidad ng pagkuha ng parehong tanda ay mas mababa sa o katumbas ng 4/9. Hinula naman ng quantum mechanics ang probabilidad na 50%. Inilalarawan ng histogram sa itaas ang probabilidad ng 00 o 11 na katumbas ng 49.97%. Napakalapit ito sa hula ng probabilistikong quantum mechanics, ngunit higit sa lahat, mas mataas ito kaysa sa pinahihintulutang hanay sa pagtrato gamit ang hidden variables.

Pinapatunayan ba nito ang anumang bagay tungkol sa kalikasan?

Sagot

Hindi! Gumagamit tayo ng simulator! Iyon ay isang computer na na-program na kumilos ayon sa mga batas ng probabilistikong quantum mechanics. Kung magmumungkahi tayo ng isang panuntunan, at pagkatapos ay mag-program ng computer na sundin ang panuntunan na iyon, ang kakayahan nitong sundin ang panuntunan ay hindi patunay na tama ang panuntunan! Ang tanging paraan upang mapatunayan ito ay ang gumamit ng tunay na quantum computer!

Hakbang 2: I-optimize ang iyong quantum circuit para sa pagtakbo sa tunay na hardware

Kahit na gumamit tayo ng simulator para i-debug ang ating code, gusto talaga nating mapatakbo ito sa tunay na hardware. Kasi naman, ang simulator ay nagpapanggap lang na quantum mechanical, batay sa mga equation na nasa itaas. Kung sinasabi ng simulator na tama ang mga equation na iyon, hindi ito masyadong makapagkukumbinsi sa atin. Gusto nating malaman ng isang tunay na quantum computer kung ano ang nangyayari! Kaya pipiliin natin ang quantum computer na gagamitin natin. Minsan mahalaga na pumili ng espesipikong device na may mga katangiang gusto mo, pero madalas ay gusto lang nating gamitin ang device na pinaka-bakante.

May code sa ibaba para sa pag-save ng iyong mga kredensyal sa unang paggamit. Tiyaking burahin ang impormasyong ito mula sa notebook pagkatapos itong i-save sa iyong environment, para hindi ma-aksidenteng ibahagi ang iyong mga kredensyal kapag ibinabahagi mo ang notebook. Tingnan ang Set up your IBM Cloud account at Initialize the service in an untrusted environment para sa karagdagang gabay.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform',
# instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Hakbang 3: Patakbuhin ang iyong job sa mga IBM quantum computer gamit ang Runtime primitives

Ngayon na na-optimize na natin ang ating mga circuit para tumakbo sa tunay na quantum hardware, at na-debug na ang ating code gamit ang mga simulator, handa na tayong mag-ipon ng mga estadistika mula sa isang tunay na quantum computer, at resolbahin ang hindi pagkakasundo sa pagitan ni Einstein at Born.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex
# Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning
# repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted
# time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check
# of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances
# in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

[None, None, None]

Hakbang 4: Post-process at pagsusuri

Sandali lang tayong huminto at balikan ang mga natutunan natin: Gamit ang hidden-variables na pagtrato, at ang 3 offset na mga axes, nakakuha tayo ng hadlang sa probabilidad na magreresulta ang mga sukat sa parehong sign na $P_{same,hv} =4/9$. Pagkatapos ay nag-assume tayo ng mga probability distribution ayon sa quantum mechanics at nakakuha ng ibang halaga para sa probabilidad na iyon: $P_{same,gm} = 1/2$. Ang hula ng quantum mechanics ay mas mataas kaysa sa pinapahintulutan ng hidden-variables na pagtrato. Kaya malalaman natin sa pamamagitan ng eksperimento kung ang mga quantum mechanical na estado ay tinutukoy ng kalikasan bago ang pagsukat, o kung tunay na naroroon ang mga ito sa isang probabilistikong superposition ng mga posibleng estado.

Dinisenyo natin ang ating mga quantum circuit na may apat na posibleng resulta na naaayon sa pagsukat nina Lucas at Rihanna ng isang sign ng spin projection o ang iba pa: 00, 01, 10, at 11. Sa mga kaso ng 00 at 11, sinusukat nina Lucas at Rihanna ang parehong sign, at sa mga kaso ng 01 at 10, sinusukat nila ang magkasalungat na mga sign. Nakikita natin na sa napakagandang approximation, ang tsansa na makuha nina Lucas at Rihanna ang parehong sign ay humigit-kumulang 50%, tiyak na mas malaki kaysa sa $4/9$. Ibig sabihin nito ay walang hanay ng mga hidden variable na maaaring magpaliwanag sa distribusyong iyon ng mga probabilidad, at ang hidden-variables na pagtrato ay hindi tugma sa eksperimento.

May iba't ibang interpretasyon ng mga resulta ng quantum mechanical na eksperimento, at maraming subtlety sa mga setup ng eksperimento na muling sinusuri paminsan-minsan. Pero hanggang ngayon, ang mga prinsipyo ng quantum mechanics at ang probabilistikong interpretasyon ng mga quantum state ay tumpak na naglalarawan ng mga resulta. Mukhang tama pala si Max Born.

Sandali pa lang nating pag-isipan ang kahalagahan nito. Dalawang particle ang lumabas mula sa isang decay event, at ang dalawang particle ay naglalakbay sa magkaibang direksyon, posibleng matagal na panahon. Ang kanilang mga spin ay wala sa anumang malinaw na tinukoy na estado, at wala silang dalang mga hidden-variable na instruksyon para matukoy ang mga resulta ng mga susunod na sukat. Ngunit ang isang sukat ng isa (halimbawa, sa $+z$) ay kinakailangang tinutukoy ang resulta ng isang eksperimento sa spin ng kabilang particle sa direksyon na $z$ (kailangan itong maging $-z$). Ibig sabihin nito ay ang ilang bagay tungkol sa pisika ng isang particle ay tinutukoy ng ginagawa sa kabilang particle, posibleng malayo. Ito ay isa sa mga sitwasyong nagdulot sa mga tao na ilarawan ang realidad bilang "non-local".

Dalawang particle tulad ng mga inilalarawan natin ay sa ilang paraan ay "konektado" sa kahulugan na ang mga sukat sa isa ay maaaring makaapekto sa isa pa. Tinutukoy natin ang ganitong mga particle bilang "entangled". Ang Entanglement ay higit pa sa simpleng mga correlation. Halimbawa, maaari tayong gumawa ng klasikal na makina na naglalabas ng magnet sa isang panig na may hilaga na nakaturo pataas at isang magnet sa kabilang panig na nakaturo pababa. Ang ganitong mga magnet ay maaaring maging perpektong anti-correlated. Ngunit ang isang sukat ng isa ay walang gagawin sa isa pa. Sa quantum mechanical entanglement, ang particle A ay maaaring nasa hindi tinukoy na estado (o isang halo ng maraming estado), at maaari nating matukoy ito sa isang tinukoy na estado sa pamamagitan ng mga sukat sa isang ganap na kaibang particle (sabihin, B). Wala sa klasikal na mundo ang katulad niyon.

Kadalasan itong nagdudulot ng isang bagong mundo ng mga tanong at posibilidad. Ang ilang mga ideyang itinaas nito ay totoo, tulad ng paggamit ng entanglement para mag-compute, tulad ng sa mga quantum computer! Ang ilan ay mapanlinlang na kaakit-akit, ngunit lumalabas na nabigo, tulad ng pagtatangkang gamitin ang entanglement para magpadala ng impormasyon nang mas mabilis kaysa sa liwanag. Hinihikayat namin kang itanong ang lahat ng tanong na pumupunta sa iyo, at basahin kung paano siniyasat ng iba ang mga penomenong ito. May isang buong mundo ng quantum mechanics na naghihintay na tuklasin, ngunit narito lang ang ilang mapagkukunan na maaari mong tingnan:

Mga IBM Quantum course:

• Quantum computing in practice
• Basics of quantum information

Mga kawili-wiling papel sa quantum mechanics:

• Einstein Podolsky and Rosen paradox
• John Bell's original paper from 1964
• 2019 paper on catching and reversing a "quantum jump" mid-transition

Ilang instructional resources sa quantum mechanics:

• Quantum I course materials mula sa University of Colorado.

Ilang educational research sa quantum mechanics:

• Review of student difficulties in upper-level quantum mechanics ni C. Singh at E. Marshman

Mga Tanong

Maaaring humiling ang mga guro ng mga bersyon ng mga notebook na ito na may mga susi sa sagot at gabay sa paglalagay sa karaniwang mga kurikulum sa pamamagitan ng pagsagot sa mabilis na survey na ito tungkol sa kung paano ginagamit ang mga notebook.

Mga mahahalagang konsepto:

• May makasaysayang hindi pagkakasundo kung ang mga quantum state ay basta hindi alam o hindi tinutukoy ng kalikasan bago ang pagsukat, kung ang quantum mechanics ay deterministic o probabilistic.

• Ang mga hidden variable at samakatuwid ang lokal na realismo ay hindi tugma sa mga obserbasyon ng quantum mechanics. Ibig sabihin, ang mga correlation na naobserbahan sa quantum mechanics ay hindi maipaliwanag ng mga malinaw na tinukoy na variable na hindi lang natin alam.

• Ang quantum mechanics ay probabilistic.

• Ang Entanglement ay tunay at nasusukat.

• Ang Entanglement ay hindi lang mga correlation.

• Maaari tayong mag-map ng mga tunay na senaryo sa mundo sa mga quantum computer.

• Ang mga hidden variable ay tumutukoy sa mga dami na tinukoy ng kalikasan, ngunit hindi alam ng mga tao; hindi sila umiiral sa kontekstong ito.

Mga T/F na tanong:

1. T/F Nagtaltalan si Albert Einstein na ang quantum mechanics ay hindi kumpleto, bilang isang teorya, dahil naglalarawan lang ito ng mga probabilidad ng mga resulta, at hindi ang pinagbabatayan na mekanismo na tumutukoy sa mga resulta na iyon.

2. T/F Ang "hidden variables" ay tumutukoy sa ideya na ang dalawang quantum mechanical na particle ay maaaring maging entangled.

3. T/F Ang anumang dalawang correlated na sistema ay quantum mechanically entangled.

4. T/F Ang quantum mechanical entanglement ay mahalaga para makuha ang tamang matematika, ngunit hindi mo ito makikita sa isang eksperimento.

5. T/F Sa karamihan ng mga kaso, hindi maaaring sabihin ng quantum mechanics ang eksaktong resulta ng isang eksperimento, ang mga probabilidad lang na maaaring masukat ang ilang mga resulta.

6. T/F Sa quantum mechanics, sa ilalim ng ilang kondisyon, ang estado ng particle A ay maaaring maapektuhan ng estado ng particle B, kahit na ang mga particle A at B ay hindi magkadikit at hindi nagpapalitan ng anumang particle.

7. T/F Maaari nating i-map ang mga tunay na eksperimento sa mundo sa mga quantum circuit.

Mga MC na tanong:

1. Ipagpalagay na ang isang spin-0 na particle ay nag-decay sa dalawang spin-1/2 na particle A at B. Ginawa ang isang sukat sa particle A na nagpapakita na ang spin nito ay may projection sa $+z$. Ang particle B ngayon ay

   • a. tiyak na may spin projection sa $-z$

   • b. tiyak na may spin projection sa $-x$

   • c. tiyak na may spin projection sa $-y$

   • d. tiyak na may negatibong spin projection sa anumang axis na sinukat.

2. Ang isang spin-0 na particle ay nag-decay sa dalawang spin-1/2 na particle A at B. Kung ang particle A ay nasukat na may projection sa $+z$, alin sa mga sumusunod na projection ang posible para sa isang sukat ng particle B? Bilugan ang lahat ng naaangkop.

   • a. $+x$

   • b. $-x$

   • c. $+y$

   • d. $-y$

   • e. $+z$

   • f. $-z$

3. Ipagpalagay na ang isang spin-0 na particle ay nag-decay sa dalawang spin-1/2 na particle A at B. Ano ang pinakamahusay na naglalarawan ng estado ng particle A bago ang anumang sukat.

   • a. Ang spin ng particle A ay nasa $+z$.

   • b. Ang spin ng particle A ay nasa $-z$.

   • c. Ang spin ng particle A ay nasa $+x$.

   • d. Ang spin ng particle A ay tinukoy sa ilang direksyon, ngunit hindi sa iba.

   • e. Ang oryentasyon ng spin ng particle A ay hindi tinutukoy ng kalikasan bago ang anumang sukat.

4. Alin sa mga sumusunod ang totoo tungkol sa Hadamard gate? Piliin ang lahat ng naaangkop.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$

   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$

   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$

   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. Alin sa mga sumusunod ang totoo tungkol sa X gate? Piliin ang lahat ng naaangkop.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$

   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$

   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$

   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$

   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. Alin sa mga sumusunod ang isang two-Qubit gate?

   • a. X

   • b. $R_y(\theta)$

   • c. H

   • d. CNOT

7. Ipagpalagay na ang isang qubit ay nasa estado na $|0\rangle$. Ano ang probabilidad na masukat ito na nasa estado na $|1\rangle$?

   • a. Eksaktong 100% sa isang noise-free simulator, malapit sa 100% sa isang tunay na quantum computer

   • b. Malapit sa 100% sa isang noise-free simulator, eksaktong 100% sa isang tunay na quantum computer

   • c. Eksaktong 0% sa isang noise-free simulator, malapit sa 0% sa isang tunay na quantum computer

   • d. Malapit sa 0% sa isang noise-free simulator, eksaktong 0% sa isang tunay na quantum computer

Mga tanong para sa talakayan:

1. Ang mga Kaibigan A, B, at C ay nagtatalakayin ng mga resulta mula sa lab na ito, kaugnay ng Bell's Inequality. Partikular, tinitingnan nila ang imahe na nagpapakita na ang quantum mechanical na probabilidad ng pagsukat ng parehong sign sa mga axes ay mas malaki kaysa sa pinapahintulutan ng isang hidden-variables na pagtrato: $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. Sinabi ng Kaibigan A, "Ibig sabihin nito ay hindi natin alam ang mga spin state bago ang isang sukat." Sinabi ng Kaibigan B, "Hindi, higit pa iyon doon. Ibig sabihin nito ay hindi pa nakaturo ang mga spin sa isang partikular na direksyon, bago ang sukat. Kahit pa, ang spin state ay maaaring kahit papaano ay tinutukoy o naka-store sa ibang paraan." Sinabi ng Kaibigan C, "Hindi, mas higit pa iyon doon. Ibig sabihin nito ay ang susunod na spin state ay hindi pa naipagpasya ng kalikasan bago ang sukat." Sino sa kanila ang sang-ayon mo, at bakit?

2. Ipaliwanag kung paano ipinapahiwatig ng mga quantum mechanical na penomena tulad ng entanglement na ang realidad ay non-local.

3. Anong karagdagang mga eksperimento ang gusto mong gawin para makumbinsi ang iyong sarili sa mga resultang nakuha dito?

4. Maaari bang tuklasin ang Bell's inequality gamit lamang ang 3 pantay na pagitan na axes na $a$, $b$, at $c$? Maaari ba itong gawin sa ibang bilang ng axes? Ano ang magiging hitsura nito? Magbibigay pa rin ba ito ng pagkakaiba sa mga probabilidad na hinuhulaan ng hidden variables kumpara sa probabilistic quantum mechanics?