Pormalismong matematikal

Kapag ang gawain ay matutunan ang Pauli noise para sa isang set ng mga Clifford gate, karaniwang technique sa pagsusuri ang pagsubaybay kung paano nagbabago ang bawat indibidwal na Pauli operator sa isang sequence ng mga paglalapat ng gate (sa ilalim ng palagay na Clifford ang mga gate at Pauli channel ang noise, ang isang Pauli ay laging mamamapa sa isa pang Pauli hanggang sa isang scalar na function ng noise). Malinaw na ang ebolusyon ng anumang state sa ilalim ng ganoong sequence ay maaaring makuha sa pamamagitan ng linear combination ng mga ganoong trajectory, ngunit sa ilalim ng palagay na lagi nating inihahanda ang state sa isang Pauli eigenstate, at laging sinusukat at pinoproseso ang mga resulta para kalkulahin ang expectation value ng isang Pauli operator, ang ugnayan ng expectation value at ng mga parameter ng noise model ay laging nakadepende sa iisang trajectory lang. Sumusunod ito sa simpleng katotohanang ang initial state ay isang linear combination ng mga Pauli operator, ang bawat gate at noise model ay nagmamapa ng mga Pauli sa mga Pauli at pinapanatili ang kanilang orthogonality, at ang huling expectation value ay “pumipili” lang ng isa sa mga Pauli sa huling decomposition bago ang measurement.

Lumilitaw ang ganitong uri ng pangangatwiran sa maraming magkakatulad na linya ng pananaliksik sa noise learning, kabilang sa literatura ng Pauli gate-set learning [1, 2], sa literatura ng ACES [3], at sa literatura ng cycle benchmarking [4]. Lalo pang pinalawak ang pangangatwirang ito sa [5] para isama ang mga Clifford-MCM gate (isang Clifford gate na sinusundan ng projective mid-circuit measurement). Ang package na ito ay pinakamalapit na sumusunod sa [1, 5]. Bagaman hindi tahasang pinangalanan, ginagamit namin ang Pattern Transfer Graph (PTG) formalism para ilarawan kung paano nagbabago ang mga Pauli operator sa mga learning circuit, na nagbibigay ng direktang representasyon ng data ng mga path sa graph.

Ang sumusunod ay pagbabalik-aral sa ilang pangunahing konseptong matematikal mula sa literatura. Pangunahing layunin nitong pagsama-samahin ang notasyon, at magsilbing konseptuwal na sanggunian sa dokumentasyon para sa natitirang bahagi ng package.

1. Batayang kaalaman

1.1 Notasyon

Para sa $K \in \mathbb{N}$, hayaang $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Para sa isang finite set $S \subset \mathbb{N}$ ng mga qubit index, hayaang $\mathcal{P}^S$ ang kumakatawan sa set ng mga unphased na Pauli operator na kumikilos sa mga qubit na iyon. Tandaan na iniisip natin ang mga elemento ng $\mathcal{P}^S$ bilang mga function na nagmamapa ng $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, kaya para sa anumang $P \in \mathcal{P}^S$ at $T \subseteq S$, ang $P|_T$ ay tumutukoy sa restriction ng $P$ sa qubit subset na $T$. Kaugnay nito, para sa mga disjoint set na $S, T$, at $P \in \mathcal{P}^S$ at $Q \in \mathcal{P}^T$, ang $P \otimes Q$ ay tumutukoy sa elemento ng $\mathcal{P}^{S \cup T}$ kung saan $P \otimes Q |_S = P$ at $P \otimes Q |_T = Q$. Nakakatulong ang notasyong ito para maiwasan ang tahasang pakikitungo sa mga ordering ng subsystem, at para madaling ilarawan ang mga restriction.

Para sa mga finite subset na $M \subset \mathbb{N}$, tinutukoy natin ang $\mathbb{Z}_2^M$ bilang set ng mga bit string na ang mga elemento ay naka-index ayon sa $M$. Gaya ng nasa itaas, iniisip natin ang mga elemento bilang mga function na nagmamapa ng $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, para madali nating mailarawan ang mga substring sa pamamagitan ng mga restriction ng index set.

Panghuli, para sa isang matrix na $X$, ginagamit natin ang $| X \rangle\!\rangle$ para tukuyin ang vectorization nito. Dahil sa limitadong paraan ng paggamit natin sa notasyong ito, hindi talaga kailangang pumili ng partikular na vectorization convention. Para sa isang classical bit string na $m$, ginagamit natin ang shorthand na $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Mga quantum instrument

Ang isang quantum operation na gumagawa ng mga classical bit na $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (halimbawa, ang resulta ng measurement) ay karaniwang imomodelo bilang isang linear map na may anyong:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

kung saan ang set na $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ ay completely positive, at ang $\sum_m \mathcal{E}_m$ ay trace-preserving. Ang set ng mga completely positive map na $\{\mathcal{E}_m\}$ na tumutupad sa mga katangiang ito ay tinatawag na quantum instrument. Ang unitary gate ay espesyal na kaso ng instrument na may iisang elemento lang na isang unitary operation.

2. Mga noisy na Clifford-MCM-reset gate

Ipinapalagay ng formalism na ginagamit sa package na ito na ang bawat gate sa gate set na kakarakterisahin ay binubuo ng sumusunod na sequence ng mga operasyon sa $K$ qubit:

1. Isang Clifford operation sa lahat ng qubit.

2. Isang mid-circuit projective measurement sa kahabaan ng $Z$ sa ilang subset ng mga qubit na $M \subseteq [K]$.

3. Isang mid-circuit reset sa $Z$ ground state sa ilang subset ng mga qubit na $R \subseteq [K]$.

Ito ay isang pangkalahatang klase ng mga operasyon na kinabibilangan ng mga unitary Clifford gate, measurement, state preparation, at anumang kombinasyon ng mga nabanggit. Tandaan na ipinapalagay nating ang measurement at reset ay laging nasa kahabaan ng $Z$-axis para sa bawat qubit. Bagaman hindi ito mahigpit na kinakailangan, karaniwang katangian ito ng maraming quantum computing modality, at nagbibigay-daan sa mas pinasimpleng mga representasyon at pagsusuri.

Gaya ng inilatag sa [5, 6] para sa kasong walang reset, kung may partikular na twirling strategy na inilapat sa isang noisy na instance ng ganoong gate, ang kilos ng resultang operasyon ay maaaring imodelo sa matematika bilang isang uniform Pauli instrument. Ibig sabihin, sa notasyon ng quantum instrument, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, kung saan ang $G$ ay ang Clifford unitary, at:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

kung saan ang bawat $\Lambda_{a,b}$ ay isang sub-normalized na Pauli channel sa mga hindi sinukat na qubit na $N = [K] \setminus M$. Ipinahihiwatig ng pagiging quantum instrument nito na ang $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ ay trace-preserving din. Ilang tala:

• Ang paunang untwirled na noise ay imomodelo na kinabibilangan ng parehong “quantum” at “classical” na error: mga maling operasyon sa mga quantum register, pati na mga pagkakamali sa pag-ulat ng halaga ng measurement.

• Ang noise map na $\Lambda_{a,b}$ ay independent sa measurement outcome na $m$.

Sa madaling salita, ang isang termino sa nabanggit na sum ay kumakatawan sa pagmamasid ng measurement outcome na $m$ noong ang sinukat na state ay $| m + b \rangle$ (isang misclassification kung $b \neq 0$), at noong ang output state sa measurement register ay $| m + a \rangle$ (ang “maling” state kapag $a \neq 0$). Sabay na ine-encode ng map na $\Lambda_{a,b}$ ang kilos sa mga hindi sinukat na qubit (na nakasalalay sa kilos ng measurement) at ang probability ng partikular na kilos ng measurement (sa pamamagitan ng normalization).

Tandaan na hindi natin dito inaalala ang mga detalye ng twirling strategy: sapat na na may ganoong strategy para ilagay ang channel sa nabanggit na anyo. Tandaan din na may mga “mas pinong” twirling strategy na maaaring higit pang magtakda ng limitasyon sa anyo ng mga Pauli channel [7]; gayunpaman, kinukuha natin ang nabanggit na anyo bilang pinakapangkalahatang matematikal na representasyon na isinasaalang-alang.

Sa Lemma 1 ng [5], ipinapakita na ang $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ ay maaaring isulat muli bilang:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

para sa ilang real number na $\lambda_{x,y}^Q$, na tinatawag na mga fidelity ng instrument.

Medyo diretso ang pagdaragdag ng reset sa larawang ito. Ang isang noisy na reset operation sa mga qubit na $R \subset [K]$ ay maaaring imodelo ayon sa decomposition:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

Tahasang ginagamit ng nabanggit na anyo ang palagay na ang reset ay nasa kahabaan ng $Z$-axis para sa bawat qubit. Ang noise sa operasyon ay naka-encode sa mga reset fidelity na $\lambda_r$, na ini-index lang ayon sa mga qubit subset.

Ang katumbas ng Equation (1) na may reset operation sa dulo ay makukuha sa simpleng pag-compose nito sa Equation (2). Ang composition na ito, pagkatapos ng ilang pagpapasimple, ay nagbibigay ng:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Ipinapahiwatig ng decomposition na ito na ang bilang ng mga fidelity na $\lambda^Q_{x, y}$ ay

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Isaalang-alang ang mga limiting case: (1) Kung walang measurement o reset, $M = R = \emptyset$, at ang expression ay nagbibigay ng $4^K$, ang bilang ng mga phase-less na Pauli operator sa $K$ qubit. (2) Para sa $M = \emptyset$ at $R=[K]$, nagbibigay ito ng $2^K$, na siyang bilang ng mga subset ng $[K]$. Panghuli, (3) para sa $M = [K]$ at $R = \emptyset$, nagbibigay ito ng $4^K$. Tandaan na maaaring nakakagulat ito sa una: sa karaniwang learning, ang measurement at reset ay karaniwang itinuturing na may parehong bilang ng mga fidelity: $2^K$. Gayunpaman, dito, ang all-measurement gate sa kontekstong ito ay hindi ituturing na terminal na measurement, kundi isang MCM, at dahil dito, kasama rin ang mga fidelity na tumutugma sa mga non-identity na output ng measurement (gaya ng $y \neq 0$ sa Equation (3)).

Sa wakas, mahalagang tandaan na ang anumang twirling strategy na nagbibigay ng anyo sa Equation (1) sa kasong walang reset ay maaari ding ilapat nang pantay na mahusay sa kasong may non-trivial na reset, sa tulong ng simpleng pagbabago. Ang posibleng problema ay maaaring mangailangan ang ganoong twirling strategy ng mga operasyon sa mga sinukat na qubit pagkatapos ng measurement. Samakatuwid, kung ang isang qubit ay sinukat at ni-reset, tila kailangan ng implementasyon ng strategy na maglagay ng mga operasyon sa loob ng gate sa pagitan ng measurement at reset. Gayunpaman, dahil sa likas ng reset, walang epekto ang anumang ganoong operasyon, at maaari na lang itong lagpasan habang nakukuha pa rin ang parehong ninanais na istruktura.

3. Pormalismo ng path

Gaya ng inilarawan sa panimula, ang lahat ng learning algorithm para sa Pauli-type na noise sa mga Clifford gate ay nakabatay sa pagsubaybay kung paano nagbabago ang mga indibidwal na Pauli sa isang circuit, habang nakakakuha ng mga noise fidelity factor sa daan. Kaya ang mga expectation value ng isang circuit na binubuo ng ganoong mga gate ay simpleng nauugnay sa mga produkto ng pinagbabatayang mga fidelity ng mga indibidwal na gate, at sa ganitong paraan ay mahuhulaan ang mga parameter ng modelo sa pamamagitan ng pag-invert ng anumang sparse na parameter-to-fidelity mapping na ipinapalagay.

Sa [1], sa konteksto ng mga unitary gate set, pormal itong inilalatag bilang Pattern Transfer Graph (PTG): isang directed graph na naglalarawan sa lahat ng posibleng eksperimentong binubuo ng mga elemento ng gate set at mga layer ng single-qubit Clifford gate (na ipinapalagay na perpekto, o “libre”, na mga operasyon). Pinalawak ito sa [5] para isama ang mga gate set na may mid-circuit measurement. Sa parehong kaso, ang bawat eksperimento ay inilalarawan sa pamamagitan ng pagsubaybay sa iisang Pauli operator sa circuit, sa ilalim ng palagay na may partikular na observable na kinakalkula sa bawat measurement site. Dito, hindi natin direktang rerepasuhin ang mga konstruksyon ng graph o path; gayunpaman, inilalahad natin ang mga kinakailangang katotohanan para bigyang-katwiran ang mga ito sa sarili nating notasyon at kasama ang mga reset.

Bagaman maaaring intuitive ang pagsubaybay sa iisang Pauli operator sa circuit sa kaso ng unitary gate set, hindi ito gaanong halata sa mas pangkalahatang kaso ng Clifford-MCM-reset, dahil sa non-deterministic na likas ng measurement. Binabawi ng sumusunod na proposisyon ang larawang ito kahit sa mas pangkalahatang kaso [5]:

Proposisyon 1

Para sa anumang $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$, at $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$, totoo na:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Sa madaling salita, kung kakalkulahin natin ang expectation value na $Z^{x + y|_M}$ sa classical register na inilalabas ng MCM, ang “Heisenberg picture” na ebolusyon ng isang observable sa Clifford-MCM-reset gate ay nagmamapa ng $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Ang katotohanang ito lang ay nagbibigay-daan sa pagbawi ng PTG-like na pagsusuri lampas sa kaso ng unitary gate set: sa isang partikular na post-processing ng mga resulta ng measurement, kahit ang mga gate na may measurement at reset ay maaaring ituring na deterministikong nagmamapa ng isang Pauli operator sa isa pa.

Bago patunayan ito, isusulat natin ang Equation (3) sa mas nagpapahiwatig na paraan. Tandaan na para sa $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$, totoo na $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, at dahil dito (sa super operator notation) mayroon tayong:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

kung saan inilapat natin ang Equation (3) at pinagsama ang mga termino, at ginagamit natin ang subscript na $M$ para ipahiwatig ang classical measurement result register, na tinatrato natin sa itaas sa katulad na notasyon ng mga quantum register.

Patunay. Totoo na:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Panghuli, pansinin na $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, kaya ang huling termino sa itaas ay bumabagsak sa iisang terminong $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, na nagbibigay ng ninanais na resulta.

Tingnan ang [5] para sa pagpapatuloy mula rito: ang depinisyon ng PTG, mga path sa PTG, at ang patunay na ang anumang wastong nadefine na path ay tumutugma sa isang eksperimento.

Mga Sanggunian

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.