Mga repetition code

Sisimulan natin ang aralin sa talakayan ng mga repetition code. Hindi nino-protektahan ng mga repetition code ang quantum information laban sa bawat uri ng error na maaaring mangyari sa mga qubit, pero nagsisilbi silang pundasyon ng 9-qubit Shor code, na makikita natin sa susunod na aralin, at kapaki-pakinabang din sila para ipaliwanag ang mga pangunahing konsepto ng error correction.

Klasikal na encoding at decoding

Ang mga repetition code ay napaka-simpleng halimbawa ng mga error correcting code. Ang ideya ay mapoprotektahan natin ang mga bit laban sa mga error sa pamamagitan ng paulit-ulit na pag-ulit ng bawat bit ng ilang beses.

Pag-aralan natin ang 3-bit repetition code, una sa konteksto ng klasikal na impormasyon. Ang code na ito ay nag-e-encode ng isang bit sa tatlo sa pamamagitan ng pag-uulit ng bit ng tatlong beses, kaya ang $0$ ay na-encode bilang $000$ at ang $1$ ay na-encode bilang $111.$

$$\begin{aligned} 0 & \mapsto 000\\ 1 & \mapsto 111 \end{aligned}$$

Kung walang mangyayaring mali, malinaw na maaari nating makilala ang dalawang posibilidad para sa orihinal na bit mula sa kanilang mga encoding. Ang punto ay kung nagkaroon ng error at nag-flip ang isa sa tatlong bit — ibig sabihin, nagbago ang 0 sa 1 o ang 1 sa 0 — maaari pa rin nating malaman kung ano ang orihinal na bit sa pamamagitan ng pagtukoy kung aling binary value ang lumabas ng dalawang beses. Katumbas nito, maaari tayong mag-decode sa pamamagitan ng pagkuha ng majority value (iyon ay, ang binary value na pinaka-madalas na lumabas).

$$a b c \mapsto \operatorname{majority}(a,b,c)$$

Syempre, kung 2 o 3 na bit ng encoding ang mag-flip, hindi na gagana nang tama ang decoding at maling bit ang mababawi, pero kung 1 lamang sa 3 bit ang mag-flip, magiging tama ang decoding. Ito ay karaniwang katangian ng mga error correcting code sa pangkalahatan: maaari silang magpahintulot ng pagwawasto ng mga error, pero hanggang sa isang limitasyon lamang.

Pagbababa ng ingay para sa binary symmetric channel

Para sa isang halimbawa ng sitwasyon kung saan mababawasan ang posibilidad ng pagkakamali gamit ang repetition code, ipagpalagay na ang ating layunin ay mag-communicate ng isang bit sa isang hypothetical na receiver, at kaya nating mag-transmit ng mga bit sa pamamagitan ng tinatawag na binary symmetric channel, na nag-fi-flip ng bawat bit na ipinapadala nito nang nakapag-iisa sa isang probabilidad na $p.$ Ibig sabihin, sa probabilidad na $1-p,$ natatanggap ng receiver ang alinmang bit na ipinadala sa channel, pero sa probabilidad na $p,$ nag-fi-flip ang bit at natatanggap ng receiver ang kabaligtaran na bit value.

Kaya, kung hindi natin gagamitin ang 3-bit repetition code at simpleng ipapadala ang bit sa channel, matatanggap ng receiver ang maling bit sa probabilidad na $p.$ Sa kabilang banda, kung ie-encode muna natin ang bit gamit ang 3-bit repetition code, at ipapadala ang bawat isa sa tatlong bit ng encoding sa channel, mag-fi-flip ang bawat isa sa kanila nang nakapag-iisa sa probabilidad na $p.$ Mas malaki na ngayon ang posibilidad ng bit-flip dahil tatlong bit na ang maaaring mag-flip sa halip na isa, pero kung isa lamang o wala sa mga bit ang mag-flip, magiging tama ang decoding ng receiver. Mananatili ang error pagkatapos ng decoding kung dalawa o higit pa sa mga bit ang mag-flip habang nasa transmisyon.

Ang probabilidad na mag-flip ang dalawang bit sa transmisyon ay $3p^2(1-p),$ na $p^2(1-p)$ para sa bawat isa sa tatlong pagpipilian ng bit na hindi mag-fi-flip, habang ang probabilidad na mag-flip ang lahat ng tatlong bit ay $p^3.$ Kaya ang kabuuang probabilidad ng dalawa o tatlong bit-flip ay

$$3 p^2 (1 - p) + p^3 = 3 p^2 - 2 p^3.$$

Para sa mga value ng $p$ na mas mababa sa isang-kalahati, nagbubunga ito ng pagbaba sa probabilidad na makuha ng receiver ang maling bit. Magkakaroon pa rin ng posibilidad ng error sa kasong ito, pero binabawasan ng code ang posibilidad. (Para sa mga value ng $p$ na mas malaki kaysa isang-kalahati, naman, talagang dinadagdagan ng code ang posibilidad na makuha ng receiver ang maling bit.)

Pag-encode ng mga qubit

Ang 3-bit repetition code ay isang klasikal na error correcting code, pero maaari nating pag-aralan kung ano ang mangyayari kung susubukan nating gamitin ito para protektahan ang mga qubit laban sa mga error. Tulad ng makikita natin, hindi ito isang napaka-kahanga-hangang quantum error correcting code dahil ginagawa nitong mas posible ang ilang error. Gayunpaman, ito ang unang hakbang patungo sa Shor code, at magiging kapaki-pakinabang ito mula sa isang pedagohikal na pananaw.

Para maging malinaw, kapag tinutukoy natin ang 3-bit repetition code na ginagamit para sa mga qubit, nag-iisip tayo ng encoding ng qubit kung saan ang mga standard basis state ay inuulit ng tatlong beses, kaya ang isang single-qubit state vector ay na-encode tulad ng sumusunod.

$$\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle \mapsto \alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle$$

Madaling ipatupad ang encoding na ito gamit ang sumusunod na quantum circuit, na gumagamit ng dalawang initialized na workspace qubit at dalawang controlled-NOT gate.

Tandaan, lalo na, na ang encoding na ito ay hindi katulad ng pag-uulit ng quantum state ng tatlong beses, tulad ng isang qubit state vector na na-encode bilang $\vert\psi\rangle \mapsto \vert\psi\rangle\vert\psi\rangle\vert\psi\rangle.$ Hindi maaaring ipatupad ang ganitong encoding para sa isang hindi kilalang quantum state na $\vert\psi\rangle$ dahil sa no cloning theorem.

Mga bit-flip error

Ipagpalagay ngayon na nagkaroon ng error pagkatapos maisagawa ang encoding. Partikular, ipagpalagay nating nagkaroon ng $X$ gate, o sa madaling salita, bit-flip, sa isa sa mga qubit. Halimbawa, kung ang gitnang qubit ang nakaranas ng bit-flip, ang state ng tatlong qubit ay na-transform sa state na ito:

$$\alpha \vert 010\rangle + \beta \vert 101\rangle.$$

Syempre, hindi ito ang tanging uri ng error na maaaring mangyari — at makatuwiran din na kuwestyunin ang pagpapalagay na ang error ay may anyo ng isang perpekto, unitary na operasyon. Babalik tayo sa mga isyung ito sa huling bahagi ng aralin, at sa ngayon maaari nating tingnan ang ganitong uri ng error bilang isa lamang sa mga posibleng uri ng error (kahit ito ay isang pundamental na mahalagang uri).

Malinaw na makikita mula sa matematikal na ekspresyon para sa state sa itaas na ang gitnang bit ang naiiba sa loob ng bawat ket. Pero ipagpalagay na nasa ating pag-aari ang tatlong qubit at hindi natin alam ang kanilang state. Kung pinaghihinalaang nagkaroon ng bit-flip, isang opsyon upang ma-verify na nag-flip ang bit ay ang magsagawa ng standard basis measurement, na, sa kasong ito, magpapakita sa atin ng $010$ o $101$ na may probabilidad na $\vert\alpha\vert^2$ at $\vert\beta\vert^2,$ ayon sa pagkakasunod-sunod. Sa alinmang kaso, ang ating konklusyon ay nag-flip ang gitnang bit — pero, sa kasamaang-palad, mawawala ang orihinal na quantum state na $\alpha\vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Ito ang state na sinisikap nating protektahan, kaya ang pag-measure sa standard basis ay isang hindi kasiya-siyang opsyon.

Ang magagawa natin sa halip ay gamitin ang sumusunod na quantum circuit, na ipapasok ang encoded na state sa nangungunang tatlong qubit. Ang circuit na ito ay hindi mapanirang nino-measure ang parity ng mga standard basis state ng pinakamataas na dalawang qubit pati na rin ang pinakamababang dalawang qubit ng three-qubit encoding.

Sa pagpapalagay na isang bit lamang o wala ang nag-flip, madaling matukoy mula sa mga resulta ng measurement ang lokasyon ng bit-flip (o ang kawalan nito). Partikular, tulad ng inilalarawan ng sumusunod na apat na circuit diagram, ang resulta ng measurement na $00$ ay nagpapahiwatig na walang nagflip na bit, habang ang tatlong iba pang posibilidad ay nagpapahiwatig kung aling qubit ang nakaranas ng bit-flip.

Mahalaga, ang state ng nangungunang tatlong qubit ay hindi nag-co-collapse sa alinman sa mga kaso, na nagbibigay-daan sa atin na iwasto ang isang bit-flip error kung nagkaroon man — sa pamamagitan lamang ng paglalapat ng parehong bit-flip muli gamit ang isang $X$ gate. Ang sumusunod na talahanayan ay nagbubuod ng mga state na nakukuha natin mula sa isang bit-flip o wala, ang mga resulta ng measurement (na tinatawag na syndrome sa konteksto ng error correction), at ang pagwawasto na kailangan para makabalik sa orihinal na encoding.

State	Syndrome	Correction
$\alpha\vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle$	$00$	$\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}$
$\alpha\vert 001\rangle + \beta \vert 110\rangle$	$01$	$\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes X$
$\alpha\vert 010\rangle + \beta \vert 101\rangle$	$11$	$\mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I}$
$\alpha\vert 100\rangle + \beta \vert 011\rangle$	$10$	$X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}$

Muli, isinasaalang-alang lamang natin ang posibilidad na isang bit-flip o wala ang nagkaroon. Hindi ito gagana nang tama kung nagkaroon ng dalawa o tatlong bit-flip, at hindi pa rin natin isinasaalang-alang ang iba pang posibleng error bukod sa mga bit-flip.

Mga phase-flip error

Sa quantum na konteksto, ang mga bit-flip error ay hindi lamang ang mga error na kailangan nating pangalagaan. Halimbawa, kailangan din nating mag-alala tungkol sa mga phase-flip error, na inilarawan ng mga $Z$ gate. Katulad ng mga bit-flip error, maaari nating isipin ang mga phase-flip error bilang isa pang posibilidad ng error na maaaring makaapekto sa isang qubit.

Gayunpaman, tulad ng makikita natin sa huling bahagi ng aralin, na tungkol sa tinatawag na discretization of errors para sa mga quantum error correcting code, ang pagtuon sa mga bit-flip error at phase-flip error ay lumalabas na makatuwiran. Partikular, ang kakayahang itama ang isang bit-flip error, isang phase-flip error, o parehong mga error nang sabay-sabay ay awtomatikong nagpapahiwatig ng kakayahang itama ang anumang quantum error sa isang qubit.

Sa kasamaang-palad, ang 3-bit repetition code ay hindi nagpoprotekta laban sa mga phase-flip sa lahat. Halimbawa, ipagpalagay na ang isang qubit state na $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ ay na-encode gamit ang 3-bit repetition code, at nagkaroon ng phase-flip error sa gitnang qubit. Nagbubunga ito ng state na

$$(\mathbb{I} \otimes Z \otimes \mathbb{I}) ( \alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 000\rangle - \beta \vert 111\rangle,$$

na eksaktong state ang makukuha natin mula sa pag-encode ng qubit state na $\alpha\vert 0\rangle - \beta\vert 1\rangle.$ Tunay nga, ang isang phase-flip error sa alinman sa tatlong qubit ng encoding ay may parehong epekto, na katumbas ng isang phase-flip error na nangyayari sa orihinal na qubit bago ang encoding. Sa pagpapalagay na ang orihinal na quantum state ay isang hindi kilalang state, wala nang paraan upang matukoy na nagkaroon ng error, dahil ang resultang state ay isang ganap na valid na encoding ng ibang qubit state. Partikular, ang pagpapatakbo ng error detection circuit mula kanina sa state na $\alpha \vert 000\rangle - \beta \vert 111\rangle$ ay tiyak na magbubunga ng syndrome na $00,$ na maling nagpapahiwatig na walang mga error na nangyari.

Samantala, tatlong qubit na ngayon sa halip na isa ang maaaring makaranas ng mga phase-flip error. Kaya, sa isang sitwasyon kung saan ang mga phase-flip error ay inaakala na nangyayari nang nakapag-iisa sa bawat qubit na may ilang nonzero na probabilidad na $p$ (katulad ng binary symmetric channel maliban na para sa mga phase-flip sa halip na mga bit-flip), ang code na ito ay talagang nagpapataas ng posibilidad ng isang phase-flip error pagkatapos ng decoding para sa maliliit na value ng $p.$ Para maging mas tiyak, magkakaroon tayo ng phase-flip error sa orihinal na qubit pagkatapos ng decoding tuwing may kakaibang bilang ng mga phase-flip error sa tatlong qubit ng encoding, na nangyayari sa probabilidad na

$$3 p (1 - p)^2 + p^3.$$

Ang value na ito ay mas malaki kaysa $p$ kapag $0<p<1/2,$ kaya ang code ay nagpapataas ng probabilidad ng isang phase-flip error para sa mga value ng $p$ sa saklaw na ito.

Binagong repetition code para sa mga phase-flip error

Napansin natin na ang 3-bit repetition code ay ganap na hindi nakakaalam ng mga phase-flip error, kaya tila hindi ito kapaki-pakinabang para harapin ang ganitong uri ng error. Maaari naman nating baguhin ang 3-bit repetition code sa isang simpleng paraan upang matukoy nito ang mga phase-flip error. Ang pagbabagong ito ay gagawing hindi na ito makakaalam ng mga bit-flip error — pero, tulad ng makikita natin sa susunod na bahagi, maaari nating pagsamahin ang 3-bit repetition code kasama ang binagong bersyon na ito upang makuha ang Shor code, na maaaring itama ang parehong bit-flip at phase-flip error.

Narito ang binagong bersyon ng encoding circuit mula sa itaas, na makakadetekta na ngayon ng mga phase-flip error. Napakasimple ng pagbabago: ilalapat lamang natin ang isang Hadamard gate sa bawat qubit pagkatapos isagawa ang dalawang controlled-NOT gate.

Ang isang Hadamard gate ay nagko-convert ng $\vert 0\rangle$ state sa $\vert + \rangle$ state, at ng $\vert 1\rangle$ state sa $\vert - \rangle$ state, kaya ang net effect ay ang single qubit state na $\alpha\vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ ay na-encode bilang

$$\alpha \vert {+}\,{+}\,{+} \rangle + \beta \vert {-}\,{-}\,{-} \rangle$$

kung saan $\vert {+}\,{+}\,{+} \rangle = \vert + \rangle \otimes \vert + \rangle \otimes\vert + \rangle$ at $\vert {-}\,{-}\,{-} \rangle = \vert - \rangle \otimes \vert - \rangle \otimes\vert - \rangle.$

Ang isang phase-flip error, o katumbas nito ang isang $Z$ gate, ay nag-fi-flip sa pagitan ng mga state na $\vert + \rangle$ at $\vert - \rangle,$ kaya ang encoding na ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa pagtukoy (at pagwawasto) ng mga phase-flip error. Partikular, ang error-detection circuit mula kanina ay maaaring baguhin tulad ng sumusunod.

Sa madaling salita, kukuha tayo ng circuit mula kanina at maglalagay lamang ng mga Hadamard gate sa nangungunang tatlong qubit sa simula at dulo. Ang ideya ay ang unang tatlong Hadamard gate ay nagko-convert ng mga $\vert + \rangle$ at $\vert - \rangle$ state pabalik sa mga $\vert 0\rangle$ at $\vert 1\rangle$ state, nagaganap ang parehong mga parity check tulad ng dati, at pagkatapos ang pangalawang layer ng mga Hadamard gate ay nagko-convert ng state pabalik sa mga $\vert + \rangle$ at $\vert - \rangle$ state upang mabawi ang ating encoding. Para sa sanggunian sa hinaharap, tandaan natin na ang phase-flip detection circuit na ito ay maaaring gawing simple tulad ng sumusunod.

Inilalarawan ng sumusunod na apat na circuit diagram kung paano gumagana ang ating binagong bersyon ng 3-bit repetition code, kasama ang encoding step at error detection step, kapag nagkaroon ng isang phase-flip error o wala. Ang gawi ay katulad ng ordinaryong 3-bit repetition code para sa mga bit-flip.

Narito ang katulad na talahanayan sa naunang isa, ngayon ay isinasaalang-alang ang posibilidad ng isang phase-flip error o wala.

State	Syndrome	Correction
$\alpha\vert {+}\,{+}\,{+} \rangle + \beta \vert {-}\,{-}\,{-}\rangle$	$00$	$\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}$
$\alpha\vert {+}\,{+}\,{-}\rangle + \beta \vert {-}\,{-}\,{+}\rangle$	$01$	$\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes Z$
$\alpha\vert {+}\,{-}\,{+}\rangle + \beta \vert {-}\,{+}\,{-}\rangle$	$11$	$\mathbb{I}\otimes Z\otimes\mathbb{I}$
$\alpha\vert {-}\,{+}\,{+} \rangle + \beta \vert {+}\,{-}\,{-}\rangle$	$10$	$Z\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}$

Sa kasamaang-palad, ang binagong bersyon na ito ng 3-bit repetition code ay hindi na makakapagtama ng mga bit-flip error. Pero hindi pa lahat ay nawala. Tulad ng iminumungkahi natin kanina, magagawa nating pagsamahin ang dalawang code na nakita natin sa isang code — ang 9-qubit Shor code — na makakapagtama ng parehong bit-flip at phase-flip error, at sa katunayan, ng anumang error sa isang qubit.