Iba pang pamilya ng code

Mahigit 25 taon na ang lumipas mula nang matuklasan ang toric code, at napakaraming pananaliksik na ang nagawa sa quantum error correcting codes mula noon — kasama na ang pagtuklas ng ibang topological quantum codes na inspirado ng toric code, pati na rin ang mga code na batay sa iba't ibang ideya. Imposibleng ilista dito ang lahat ng kilalang quantum error correcting code constructions — pero bahagya nating tatalakayin ang ilang kapansin-pansing halimbawa.

Mga surface code

Lumalabas na hindi talaga kailangan ng toric code na magkaroon ng periodic boundaries. Ibig sabihin, maaaring i-cut ang isang bahagi lang ng toric code at ipatag ito sa isang dalawang-dimensyonal na ibabaw, sa halip na torus, para makakuha ng quantum error correcting code — basta maayos na natukoy ang mga stabilizer generator sa mga gilid. Ang tinatawag natin sa resultang ito ay surface code.

Halimbawa, narito ang isang diagram ng surface code, kung saan ang lattice ay pinutol na may tinatawag na rough edges sa itaas at ibaba at smooth edges sa mga gilid. Ang mga edge case para sa mga stabilizer generator ay tinutukoy sa natural na paraan: ang mga Pauli operation sa "nawawalang" qubits ay tinanggal na lang.

Ang mga surface code na ganito ay nag-e-encode ng isang qubit lamang, hindi dalawa tulad ng toric code. Ang mga stabilizer generator ay nagbibigay ng minimal generating set sa kasong ito, nang hindi na kailangang mag-alis ng isa sa bawat uri tulad ng sa toric code. Ngunit, sa kabila ng mga pagkakaibang ito, ang mahahalagang katangian ng toric code ay minana. Partikular na, ang mga nontrivial na hindi natutukoy na error para sa code na ito ay tumutugma sa mga chain ng errors na umaabot mula sa kaliwang gilid hanggang sa kanang gilid (para sa mga chain ng $X$ errors) o mula itaas hanggang ibaba (para sa mga chain ng $Z$ errors).

Maaari rin itong i-cut ang mga gilid ng surface code nang pahilis para makakuha ng tinatawag na rotated surface codes. Ang pangalang ito ay hindi nagmula sa anumang makabuluhang pag-ikot ng mga code mismo, kundi dahil ang mga diagram ay nakarotate (ng 45 degrees). Halimbawa, narito ang isang diagram ng rotated surface code na may distance na 5.

Para sa ganitong uri ng diagram, ang mga itim na tile (kasama ang mga may bilog na sulok sa mga gilid) ay nagpapahiwatig ng $X$ stabilizer generators, kung saan ang mga $X$ operation ay inilapat sa (dalawa o apat na) vertices ng bawat tile, habang ang mga puting tile ay kumakatawan sa $Z$ stabilizer generators. Ang mga rotated surface code ay may katulad na katangian sa (hindi rotated) na mga surface code, ngunit mas matipid pagdating sa bilang ng mga qubit na ginagamit.

Mga color code

Ang mga color code ay isa pang kawili-wiling klase ng mga code, na napapabilang din sa pangkalahatang kategorya ng topological quantum codes. Bahagya lang itong tatalakaying dito.

Isang paraan upang maunawaan ang mga color code ay ang tingnan ang mga ito bilang geometric na generalisasyon ng 7-qubit Steane code. Dahil dito, balikan natin ang 7-qubit Steane code, at ipagpalagay na ang pitong qubit ay pinangalanan at inayos gamit ang numbering convention ng Qiskit bilang $(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0).$ Alalahanin na ang mga stabilizer generator para sa code na ito ay ganito.

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

Kapag iniugnay natin ang pitong qubit na ito sa mga vertices ng sumusunod na graph, makikita natin na ang mga stabilizer generator ay eksaktong tumutugma sa mga mukha na binuo ng mga gilid ng graph.

Ibig sabihin, para sa bawat mukha, mayroong parehong $Z$ stabilizer generator at $X$ stabilizer generator na nontrivially kumikilos sa mga qubit na nasa mga vertices ng mukha na iyon. Ang 7-qubit Steane code ay nagtataglay ng geometric locality, kaya sa prinsipyo ay hindi na kailangang ilipat ang mga qubit sa malalayong distansya para masukat ang mga stabilizer generator. Ang katotohanan na ang mga $Z$ at $X$ stabilizer generator ay laging nontrivially kumikilos sa eksaktong parehong mga set ng qubits ay maganda rin para sa mga dahilang may kaugnayan sa fault-tolerant quantum computation, na siyang paksa ng susunod na aralin.

Ang mga color code ay quantum error correcting codes (CSS codes, mas tiyak) na ginageneralize ang pangunahing pattern na ito, maliban na maaaring magkakaiba ang mga underlying graph. Halimbawa, narito ang isang graph na may 19 vertices na gumagana. Tinutukoy nito ang isang code na nag-e-encode ng isang qubit sa 19 qubits at may distance na 5 (ibig sabihin, ito ay isang $[[19,1,5]]$ stabilizer code).

Maaari itong gawin sa maraming iba pang graph, kasama ang mga pamilya ng graph na lumalaki at may kawili-wiling estruktura.

Ang mga color code ay nagngangalang ganito dahil isa sa mga kinakailangang kondisyon sa mga graph na nagtatukoy sa kanila ay ang mga mukha ay maaaring three-colored — ibig sabihin, ang bawat mukha ay maaaring italaga ng isa sa tatlong kulay sa paraang walang dalawang magkadikit na mukha ng parehong kulay (tulad ng sa nakaraang diagram). Ang mga kulay ay hindi talaga mahalaga para sa kahulugan mismo ng code — palaging may $Z$ at $X$ stabilizer generators para sa bawat mukha, anuman ang kulay nito — ngunit ang mga kulay ay mahalaga sa pag-aaral kung paano gumagana ang mga code.

Iba pang mga code

Ang quantum error correction ay isang aktibo at mabilis na umuunlad na larangan ng pananaliksik. Ang mga interesadong magsaliksik nang mas malalim ay maaaring kumonsulta sa Error Correction Zoo, na naglilista ng maraming halimbawa at kategorisasyon ng mga quantum error correcting code.

Halimbawa: Ang gross code

Ang gross code ay isang kamakailan lamang na natuklasang $[[144,12,12]]$ stabilizer code. Ito ay katulad ng toric code, maliban na ang bawat stabilizer generator ay nontrivially kumikilos sa dalawang karagdagang qubit, bahagya na mas malayo mula sa tile o vertex para sa generator na iyon (kaya ang bawat stabilizer generator ay may weight na 6). Ang kalamangan ng code na ito ay kaya nitong i-encode ang 12 qubits, kumpara sa dalawa lamang para sa toric code.