Threshold theorem

Ang huling paksa ng talakayan para sa araling ito ay isang napakahalagang theorem na kilala bilang ang threshold theorem. Narito ang isang medyo impormal na pahayag ng theorem na ito.

Theorem

Ang threshold theorem: Ang isang quantum circuit na may sukat na $N$ ay maaaring ipatupad nang may mataas na katumpakan sa pamamagitan ng isang maingay na quantum circuit, basta ang posibilidad ng error sa bawat lokasyon sa maingay na circuit ay nasa ibaba ng isang nakatakda, hindi-zero na threshold value na $p_{\text{th}} > 0$. Ang sukat ng maingay na circuit ay lumalaki nang $O(N \log^c(N))$ para sa isang positibong constant na $c$.

Sa simpleng salita, sinasabi nito na kung mayroon tayong anumang quantum circuit na may $N$ na gates, kung saan ang $N$ ay maaaring kasing laki ng gusto natin, posible itong ipatupad nang may mataas na katumpakan gamit ang isang maingay na quantum circuit, basta ang antas ng ingay ay nasa ibaba ng isang partikular na threshold value na hindi nakasalalay sa N. Bukod pa rito, hindi ito masyadong mahal, sa kahulugang ang sukat ng kinakailangang maingay na circuit ay nasa order ng $N$ beses ang ilang constant na kapangyarihan ng logarithm ng $N$.

Upang ipahayag ang theorem nang mas pormal, kailangan maging tiyak tungkol sa noise model, na hindi gagawin sa araling ito. Maaari itong patunayan, halimbawa, para sa independent stochastic noise model na binanggit kanina, kung saan ang mga error ay nagaganap nang malaya sa bawat posibleng lokasyon sa circuit na may posibilidad na mahigpit na mas maliit kaysa sa threshold value, ngunit maaari rin itong patunayan para sa mas pangkalahatang noise models kung saan maaaring may mga ugnayan sa pagitan ng mga error.

Ito ay isang teoretikal na resulta, at ang pinaka-karaniwang paraan ng pagpapatunay nito ay hindi kinakailangang nauuwi sa isang praktikal na diskarte, ngunit napakalaki pa rin ng praktikal na kahalagahan nito. Sa partikular, itinatag nito na walang pundamental na hadlang sa pagsasagawa ng mga quantum computation gamit ang mga maingay na bahagi; basta ang error rate para sa mga bahaging ito ay nasa ibaba ng threshold value, maaari itong gamitin upang bumuo ng maaasahang quantum circuits ng anumang sukat. Ang alternatibong paraan upang ipahayag ang kahalagahan nito ay ang obserbasyon na, kung hindi totoo ang theorem, mahirap isipin na ang large-scale quantum computing ay magiging katotohanan.

Maraming teknikal na detalye ang kasama sa mga pormal na patunay ng (pormal na pahayag ng) theorem na ito, at ang mga detalyeng iyon ay hindi ipapahayag dito — ngunit ang mahahalagang ideya ay maaari pa ring ipaliwanag sa isang intuitive na antas. Upang gawing simple ang paliwanag na ito, isipin natin na gumagamit tayo ng $7$-qubit Steane code para sa error correction. Ito ay isang hindi praktikal na pagpipilian para sa isang aktwal na pisikal na implementasyon — tulad ng ipapakita ng isang napakaliit na threshold value na $p_{\text{th}}$ — ngunit mabuti ito upang maiparating ang mga pangunahing ideya. Ang paliwanag na ito ay magiging medyo walang ingat din tungkol sa noise model, na may pagpapalagay na ang isang error ay tumatama sa bawat lokasyon sa isang fault-tolerant na implementasyon nang malaya na may posibilidad na $p$.

Ngayon, kung ang posibilidad na $p$ ay mas malaki kaysa sa reciprocal ng $N$, ang sukat ng circuit na nilalayon nating ipatupad, malaki ang tsansa na ang isang error ay tatama sa isang lugar. Kaya, maaari tayong subukang patakbuhin ang isang fault-tolerant na implementasyon ng circuit na ito, sumusunod sa reseta na binalangkas sa aralin. Maaari nating itanong ang tanong na iminungkahi kanina: Nagpapabuti ba ito o nagpapalala?

Kung ang posibilidad na $p$ ng isang error sa bawat lokasyon ay masyadong malaki, ang ating mga pagsisikap ay hindi makakatulong at maaaring pati na rin magpalala ng bagay, tulad ng $9$-qubit Shor code na hindi nakakatulong kung ang error probability ay mas mataas sa humigit-kumulang 3.23%. Sa partikular, ang fault-tolerant na implementasyon ay mas malaki nang malaki kaysa sa ating orihinal na circuit, kaya marami pang mga lokasyon kung saan maaaring tumama ang mga error.

Gayunpaman, kung ang $p$ ay sapat na maliit, magtatagumpay tayong bawasan ang error probability para sa lohikal na computation na ating isinasagawa. (Sa isang pormal na patunay, kailangan tayong maging maingat sa puntong ito: ang mga error sa lohikal na computation ay hindi kinakailangang tumpak na mailalarawan ng orihinal na noise model. Ito nga ang nag-uudyok na gumamit ng mas mahigpit na noise models kung saan ang mga error ay maaaring hindi malaya — ngunit isasantabi natin ang detalyeng ito para sa kapakanan ng paliwanag na ito.)

Sa mas detalyadong paliwanag, upang maganap ang isang lohikal na error sa orihinal na circuit, hindi bababa sa dalawang error ang dapat mahulog sa parehong code block sa fault-tolerant na implementasyon, dahil ang Steane code ay maaaring magwasto ng anumang solong error sa isang code block. Isinasaalang-alang na mayroong maraming iba't ibang paraan upang magkaroon ng dalawa o higit pang mga error sa parehong code block, posible na maipakita na ang posibilidad ng isang lohikal na error sa bawat lokasyon sa orihinal na circuit ay hindi hihigit sa $C p^2$ para sa ilang nakatakda, positibong tunay na bilang na $C$ na nakasalalay sa code at sa mga gadget na ginagamit natin, ngunit, higit sa lahat, hindi sa $N$, ang sukat ng orihinal na circuit. Kung ang $p$ ay mas maliit kaysa sa $1/C$, na siyang bilang na maaari nating gamitin bilang ating threshold value na $p_{\text{th}}$, nangangahulugan ito ng pagbaba ng error.

Gayunpaman, maaaring masyado pa ring mataas ang bagong error rate na ito para gumana nang tama ang buong circuit. Ang natural na gagawin sa puntong ito ay pumili ng mas mahusay na code at mas mahusay na mga gadget upang ibaba ang error rate sa isang punto kung saan ang implementasyon ay malamang na gumana. Sa teoretikal na aspeto, ang isang simpleng paraan upang ipakita na ito ay posible ay ang pag-concatenate. Ibig sabihin, maaari nating isipin ang fault-tolerant na implementasyon ng orihinal na circuit na parang anumang ibang quantum circuit, at pagkatapos ay ipatupad ang bagong circuit na ito nang fault-tolerantly, gamit ang parehong pamamaraan. Maaari nating ulitin ito nang paulit-ulit, kahit ilang beses na kailangan upang bawasan ang error rate sa isang antas na nagpapahintulot sa orihinal na computation na gumana.

Upang magkaroon ng pangkalahatang ideya kung paano bumababa ang error rate sa pamamaraang ito, tingnan natin kung paano ito gumagana para sa ilang iterasyon. Tandaan na ang isang mahigpit na pagsusuri ay kailangang isaalang-alang ang iba't ibang teknikal na detalyeng nilalaktawan natin dito.

Nagsisimula tayo sa error probability na $p$ para sa mga lokasyon sa orihinal na circuit. Sa pagpapalagay na ang $p < p_{\text{th}} = 1/C$, ang lohikal na error rate ay maaaring bounded ng $Cp^2 = (Cp) p$ pagkatapos ng unang iterasyon. Sa pamamagitan ng pagtrato sa fault-tolerant na implementasyon bilang anumang ibang circuit, at pagpapatupad nito nang fault-tolerantly, nakakakuha tayo ng hangganan sa lohikal na error rate na

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

Ang isa pang iterasyon ay nagbabawas pa ng error bound, sa

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

Ang pagpapatuloy sa ganitong paraan para sa kabuuang $k$ na iterasyon ay humahantong sa isang lohikal na error rate (para sa orihinal na circuit) na bounded ng

$$(Cp)^{2^k - 1} p,$$

na doubly exponential sa $k$.

Ibig sabihin nito na hindi natin kailangan ng napakaraming iterasyon upang gawing napakaliit ang error rate. Samantala, ang mga circuit ay lumalaki sa sukat sa bawat antas ng concatenation, ngunit ang sukat ay lumalaki lamang nang singly exponential sa bilang ng mga antas na $k$. Ito ay dahil, sa bawat antas ng fault-tolerance, ang sukat ay lumalaki ng hindi hihigit sa isang factor na tinutukoy ng pinakamataas na sukat ng mga gadget na ginagamit. Kapag pinagsama-sama ang lahat, at ang isang angkop na pagpili para sa bilang ng mga antas ng concatenation ay ginawa, nakukuha natin ang threshold theorem.

Kaya, ano ang threshold value sa katotohanan? Ang sagot ay nakasalalay sa code at sa mga gadget na ginagamit. Para sa Steane code kasama ang magic state distillation, ito ay napakaliit at malamang na hindi makakamit sa praktika. Ngunit, gamit ang surface codes at state of the art na mga gadget, ang threshold ay tinantiya na nasa order ng 0.1% hanggang 1%.

Habang natutuklasan ang mga bagong code at pamamaraan, makatuwirang asahan na tataas ang threshold value, habang sabay na bababa ang antas ng ingay sa mga aktwal na pisikal na bahagi. Ang pag-abot sa punto kung saan ang mga large-scale quantum computation ay maaaring maipatupad nang fault-tolerantly ay hindi magiging madali, at hindi mangyayari sa isang gabi. Ngunit, ang theorem na ito, kasama ang mga pagsulong sa quantum codes at quantum hardware, ay nagbibigay sa atin ng optimismo habang patuloy tayong nagsisikap na maabot ang pinakamataas na layunin ng pagbuo ng isang large-scale, fault-tolerant quantum computer.

Survey pagkatapos ng kurso

Binabati kita sa pagkumpleto ng kursong ito! Maglaan ng sandali upang tulungan kaming mapabuti ang aming kurso sa pamamagitan ng pagsagot sa sumusunod na mabilis na survey. Gagamitin ang iyong feedback upang mapahusay ang aming mga nilalaman at karanasan ng gumagamit. Salamat!