Mga Pauli na operasyon at observable

Ang mga Pauli matrix ay may sentral na papel sa stabilizer formalism. Sisimulan natin ang leksyon sa talakayan ng mga Pauli matrix, kasama na ang ilang pangunahing algebraic na katangian nito, at tatalakayin din natin kung paano maaaring ilarawan ng mga Pauli matrix (at tensor product ng mga Pauli matrix) ang mga sukat.

Mga pangunahing kaalaman sa Pauli operation

Narito ang mga Pauli matrix, kasama ang $2\times 2$ identity matrix at ang tatlong non-identity Pauli matrix.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Mga katangian ng Pauli matrix

Ang lahat ng apat na Pauli matrix ay parehong unitary at Hermitian. Ginamit natin ang mga pangalang $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ at $\sigma_z$ para tumukoy sa mga non-identity Pauli matrix kanina sa serye, pero karaniwan na gamitin ang malalaking titik na $X,$ $Y,$ at $Z$ sa konteksto ng error correction. Sinunod ang convention na ito sa nakaraang leksyon, at gagawin pa rin natin ito para sa natitirang mga leksyon.

Ang iba't ibang non-identity Pauli matrix ay anti-commute sa isa't isa.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Ang mga anti-commutation relation na ito ay simple at madaling i-verify sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga multiplikasyon, pero kritikal ang mga ito, sa stabilizer formalism at sa ibang lugar. Tulad ng makikita natin, ang mga minus sign na lumalabas kapag nababago ang pagkakasunod ng dalawang magkaibang non-identity Pauli matrix sa isang matrix product ay tumutugma nang eksakto sa pagtuklas ng mga error sa stabilizer formalism.

Mayroon din tayong mga multiplication rule na nakalista dito.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Ibig sabihin, ang bawat Pauli matrix ay ang sarili nitong inverse (na palagi itong totoo para sa anumang matrix na parehong unitary at Hermitian), at ang pagpaparami ng dalawang magkaibang non-identity Pauli matrix ay palaging $\pm i$ beses ng natitirang non-identity Pauli matrix. Sa partikular, hanggang sa isang phase factor, ang $Y$ ay katumbas ng $X Z,$ na nagpapaliwanag kung bakit nakatutok tayo sa mga $X$ at $Z$ na error at tila hindi nagpapakita ng interes sa mga $Y$ na error sa quantum error correction; Ang $X$ ay kumakatawan sa bit-flip, ang $Z$ ay kumakatawan sa phase-flip, kaya (hanggang sa isang global phase factor) ang $Y$ ay kumakatawan sa parehong mga error na nagaganap nang sabay-sabay sa iisang qubit.

Mga Pauli operation sa maramihang qubit

Ang apat na Pauli matrix ay kumakatawan sa mga operasyon (na maaaring maging mga error) sa isang qubit — at sa pamamagitan ng pag-tensor ng mga ito nang magkasama, nagtatamo tayo ng mga operasyon sa maramihang qubit. Bilang terminolohiya, kapag tinutukoy natin ang isang n-qubit Pauli operation, ibig sabihin nito ay isang tensor product ng anumang $n$ Pauli matrix, tulad ng mga halimbawang ipinapakita dito, kung saan ang $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Madalas, ang terminong Pauli operation ay tumutukoy sa isang tensor product ng mga Pauli matrix kasama ang isang phase factor, o minsan ay ilang partikular na phase factor lamang tulad ng $\pm 1$ at $\pm i.$ May magagandang dahilan para payagan ang mga ganitong phase factor mula sa mathematical na pananaw — pero, para panatilihing simple ang lahat hangga't maaari, gagamitin natin ang terminong Pauli operation sa kursong ito para tumukoy sa isang tensor product ng mga Pauli matrix nang walang posibilidad ng phase factor na iba sa 1.

Ang weight ng isang $n$-qubit Pauli operation ay ang bilang ng mga non-identity Pauli matrix sa tensor product. Halimbawa, ang unang halimbawa sa itaas ay may weight na $0,$ ang pangalawa ay may weight na $2,$ at ang pangatlo ay may weight na $6.$ Sa simpleng salita, ang weight ng isang $n$-qubit Pauli operation ay ang bilang ng mga qubit kung saan ito kumikilos nang hindi trivially. Karaniwan na ang mga quantum error correcting code ay idinisenyo upang matuklas at maiwasto ang mga error na kinakatawan ng mga Pauli operation hangga't ang kanilang weight ay hindi masyadong mataas.

Mga Pauli operation bilang generator

Minsan ay kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang mga koleksyon ng Pauli operation bilang mga generator ng mga set (mas tiyak, mga group) ng mga operasyon, sa algebraic na kahulugan na maaaring makilala mo kung pamilyar ka sa group theory. Kung hindi ka pamilyar sa group theory, okey lang — hindi ito mahalaga para sa leksyon. Ang pagkakilala sa mga pangunahing kaalaman ng group theory ay, gayunpaman, lubos na inirerekomenda para sa mga interesadong mag-explore ng quantum error correction nang mas malalim.

Ipagpalagay na ang $P_1, \ldots, P_r$ ay mga $n$-qubit Pauli operation. Kapag tinutukoy natin ang set na nabuo ng $P_1, \ldots, P_r,$ ibig sabihin nito ay ang set ng lahat ng matrice na maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga matrix na ito nang magkasama, sa anumang kombinasyon at sa anumang pagkakasunod na gusto natin, bawat isa ay kukuha ng maraming beses hangga't gusto natin. Ang notasyong ginagamit para tumukoy sa set na ito ay $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

Halimbawa, ang set na nabuo ng tatlong non-identity Pauli matrix ay ganito.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

Maaari itong ma-reason sa pamamagitan ng mga multiplication rule na nakalista kanina. May 16 na magkaibang matrix sa set na ito, na karaniwang tinatawag na Pauli group.

Para sa pangalawang halimbawa, kung aalisin natin ang $Y,$ makakakuha tayo ng kalahati ng Pauli group.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Narito ang isang huling halimbawa (sa ngayon), kung saan sa pagkakataong ito ay mayroon tayong $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

Sa kasong ito, nakakakuha lang tayo ng apat na elemento, dahil nagco-commute ang $X\otimes X$ at $Z\otimes Z$:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Mga Pauli observable

Ang mga Pauli matrix, at ang mga $n$-qubit Pauli operation sa pangkalahatan, ay unitary, kaya isinasalarawan nila ang mga unitary na operasyon sa mga qubit. Pero sila rin ay mga Hermitian matrix, at sa kadahilanang ito ay nagsasalarawan sila ng mga sukat, tulad ng ipapaliwanag ngayon.

Mga observable na Hermitian matrix

Isaalang-alang muna ang isang arbitrary na Hermitian matrix $A.$ Kapag tinutukoy natin ang $A$ bilang isang observable, nag-uugnay tayo sa $A$ ng isang tiyak na natatanging projective measurement. Sa mga salita, ang mga posibleng kinalabasan ay ang mga natatanging eigenvalue ng $A,$ at ang mga projection na nagbibigay-kahulugan sa sukat ay ang mga nagpo-project sa mga espasyo na sinasaklaw ng mga kaukulang eigenvector ng $A.$ Kaya, ang mga kinalabasan para sa ganitong sukat ay maaaring maging mga tunay na numero — pero dahil ang mga matrix ay mayroon lamang natapos na bilang ng mga eigenvalue, magkakaroon lamang ng natapos na bilang ng iba't ibang kinalabasan ng sukat para sa isang partikular na pagpili ng $A.$

Sa mas detalyadong paraan, ayon sa spectral theorem, posibleng isulat ang

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

para sa mga natatanging tunay na eigenvalue na $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ at mga projection na $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ na nagsasatisfy ng

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

Ang ganitong expression ng isang matrix ay natatangi hanggang sa pagkakasunod ng mga eigenvalue. Isa pang paraan ng pagsasabi nito ay, kung iginigiit natin na ang mga eigenvalue ay nakaayos sa bumababang halaga na $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ may isang paraan lamang ng pagsulat ng $A$ sa form sa itaas.

Batay sa expression na ito, ang sukat na inuugnay natin sa observable na $A$ ay ang projective measurement na inilarawan ng mga projection na $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ at ang mga eigenvalue na $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ ay naiintindihang mga kinalabasan ng sukat na naaayon sa mga projection na ito.

Mga sukat mula sa Pauli operation

Tingnan natin kung ano ang hitsura ng mga sukat ng ganitong uri para sa mga Pauli operation, simula sa tatlong non-identity Pauli matrix. Ang mga matrix na ito ay may mga spectral decomposition tulad ng sumusunod.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Ang mga sukat na tinukoy ng $X,$ $Y,$ at $Z,$ na itinuturing bilang mga observable, ay samakatuwid ang mga projective measurement na tinukoy ng mga sumusunod na set ng mga projection, ayon sa pagkakasunod.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

Sa lahat ng tatlong kaso, ang dalawang posibleng kinalabasan ng sukat ay ang mga eigenvalue na $+1$ at $-1.$ Ang mga ganitong sukat ay karaniwang tinatawag na $X$-measurement, $Y$-measurement, at $Z$-measurement. Naranasan natin ang mga sukat na ito sa leksyong "General measurements" ng "General formulation of quantum information," kung saan lumitaw ang mga ito sa konteksto ng quantum state tomography.

Siyempre, ang $Z$-measurement ay mahalagang isang standard basis measurement at ang $X$ measurement ay isang sukat na may kaugnayan sa plus/minus basis ng isang qubit — pero, tulad ng inilarawan dito ang mga sukat na ito, tinatanggap natin ang mga eigenvalue na $+1$ at $-1$ bilang aktwal na mga kinalabasan ng sukat.

Ang parehong pamamaraan ay maaaring sundin para sa mga Pauli operation sa $n\geq 2$ qubit, bagama't dapat igiit na mayroon pa ring dalawang posibleng kinalabasan lamang para sa mga sukat na inilarawan sa ganitong paraan: $+1$ at $-1,$ na siyang tanging posibleng eigenvalue ng mga Pauli operation. Ang dalawang kaukulang projection ay magkakaroon ng rank na mas mataas sa isa sa kasong ito. Mas tiyak, para sa bawat non-identity na $n$-qubit Pauli operation, ang $2^n$ dimensional na state space ay palaging nahahati sa dalawang subspace ng mga eigenvector na may pantay na dimensyon, kaya ang dalawang projection na nagbibigay-kahulugan sa kaukulang sukat ay magkakaroon ng rank na $2^{n-1}.$

Ang sukat na inilarawan ng isang $n$-qubit Pauli operation, itinuturing bilang isang observable, ay samakatuwid ay hindi katulad ng isang sukat na may kaugnayan sa isang orthonormal basis ng mga eigenvector ng operasyong iyon, ni hindi rin katulad ng independiyenteng pagsukat ng bawat isa sa mga kaukulang Pauli matrix nang independiyente, bilang mga observable, sa $n$ qubit. Ang parehong mga alternatibo ay mangangailangan ng $2^n$ posibleng kinalabasan ng sukat, pero dito ay mayroon lamang tayong dalawang posibleng kinalabasan na $+1$ at $-1.$

Halimbawa, isaalang-alang ang 2-qubit Pauli operation na $Z\otimes Z$ bilang isang observable. Maaari tayong epektibong kumuha ng tensor product ng mga spectral decomposition para makakuha ng isa para sa tensor product.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

Ibig sabihin, mayroon tayong $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ para sa

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

kaya ito ang dalawang projection na nagbibigay-kahulugan sa sukat. Kung, halimbawa, susukatin natin ang isang $\vert\phi^+\rangle$ Bell state nang hindi nagsira gamit ang sukat na ito, magiging sigurado tayo na makukuha ang kinalabasan na $+1,$ at ang estado ay mananatiling hindi nagbago dahil sa sukat. Sa partikular, ang estado ay hindi mag-co-collapse sa $\vert 00\rangle$ o $\vert 11\rangle.$

Nondestructive na implementasyon sa pamamagitan ng phase estimation

Para sa anumang $n$-qubit Pauli operation, maaari nating isagawa ang sukat na nauugnay sa observable na iyon nang hindi nagsisira gamit ang phase estimation.

Narito ang isang circuit batay sa phase estimation na gumagana para sa anumang Pauli matrix $P,$ kung saan ang sukat ay isinasagawa sa itaas na qubit. Ang mga kinalabasan na $0$ at $1$ ng standard basis measurement sa circuit ay naaayon sa mga eigenvalue na $+1$ at $-1,$ tulad ng karaniwang mayroon tayo para sa phase estimation na may isang control qubit. (Tandaan na ang control qubit ay nasa ibaba sa diagram na ito, samantalang sa leksyong "Phase estimation and factoring" ng "Fundamentals of quantum algorithms" ang mga control qubit ay iginuhit sa itaas.)

Ang katulad na pamamaraan ay gumagana para sa mga Pauli operation sa maramihang qubit. Halimbawa, ang sumusunod na circuit diagram ay naglalarawan ng isang nondestructive measurement ng $3$-qubit Pauli observable na $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ para sa anumang pagpili ng $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

Ang diskarteng ito ay nagge-generalize sa mga $n$-qubit Pauli observable, para sa anumang $n,$ sa natural na paraan. Siyempre, kailangan lamang nating isama ang mga controlled-unitary gate para sa mga non-identity tensor factor ng mga Pauli observable kapag isinasagawa ang mga ganitong sukat; ang mga controlled-identity gate ay simpleng mga identity gate at maaaring kaya ay aalisin. Ibig sabihin nito na ang mas mababang weight na Pauli observable ay nangangailangan ng mas maliliit na circuit na ipatupad sa pamamagitan ng diskarteng ito.

Pansinin na, anuman ang $n,$ ang mga phase-estimation circuit na ito ay may isang control qubit lamang, na naaayon sa katotohanan na mayroon lamang dalawang posibleng kinalabasan ng sukat para sa mga sukat na ito. Ang paggamit ng mas maraming control qubit ay hindi magpapahayag ng karagdagang impormasyon dahil perpekto na ang mga sukat na ito gamit ang isang control qubit. (Isang paraan upang makita ito ay direkta mula sa pangkalahatang pamamaraan para sa phase estimation: ang assumption na $U^2 = \mathbb{I}$ ay nagpapawalang-saysay sa anumang karagdagang control qubit na higit sa una.)

Narito ang isang partikular na halimbawa, ng isang nondestructive na implementasyon ng isang $Z\otimes Z$ measurement, na may kaugnayan sa paglalarawan ng 3-bit repetition code bilang isang stabilizer code na makikita natin sa lalong madaling panahon.

Sa kasong ito, at para sa mga tensor product ng higit sa dalawang $Z$ observable sa pangkalahatan, ang circuit ay maaaring pasimplehin.

Kaya, ang sukat na ito ay katumbas ng nondestructive na pagsukat ng parity (o XOR) ng mga standard basis state ng dalawang qubit.