Repetition code: muling tinitingnan

Susuriin natin muli ang 3-bit repetition code, ngunit sa pagkakataong ito ay ilalagay natin ito sa konteksto ng mga Pauli operations. Ito ang magiging unang halimbawa natin ng isang stabilizer code.

Mga Pauli observable para sa repetition code

Alalahanin na, kapag inilapat natin ang 3-bit repetition code sa mga qubit, ang isang qubit state vector na $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ ay nae-encode bilang

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

Ang anumang state na $\vert\psi\rangle$ na may ganitong anyo ay isang valid na 3-qubit encoding ng isang qubit state — ngunit kung mayroon tayong state na hindi natin sigurado, maaari nating i-verify na valid ang encoding sa pamamagitan ng pagsusuri sa sumusunod na dalawang equation.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Sinasabi ng unang equation na ang pag-apply ng mga $Z$ operation sa dalawang pinakakaliwang qubit ng $\vert\psi\rangle$ ay walang epekto, na ibig sabihin ay $\vert\psi\rangle$ ay isang eigenvector ng $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ na may eigenvalue na $1.$ Katulad ang pangalawang equation maliban na ang mga $Z$ operation ay inilapat sa dalawang pinakakanang qubit. Ang ideya ay, kung iniisip natin ang $\vert\psi\rangle$ bilang isang linear combination ng mga standard basis state, ang unang equation ay nagpapahiwatig na maaari lang tayong magkaroon ng mga hindi-zero na coefficient para sa mga standard basis state kung saan ang dalawang pinakakaliwang bit ay may even parity (o, katumbas nito, ay magkapantay), at ang pangalawang equation ay nagpapahiwatig na maaari lang tayong magkaroon ng mga hindi-zero na coefficient para sa mga standard basis state kung saan ang dalawang pinakakanang bit ay may even parity.

Katumbas nito, kung titingnan natin ang dalawang Pauli operation na $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ at $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ bilang mga observable at susukathin ang pareho gamit ang mga circuit na iminungkahi sa dulo ng nakaraang seksyon, tiyak na makakakuha tayo ng mga measurement outcome na katumbas ng mga $+1$ eigenvalue, dahil ang $\vert\psi\rangle$ ay isang eigenvector ng parehong observable na may eigenvalue na $1.$ Ngunit, ang pinasimpleng bersyon ng (pinagsanib na) circuit para sa independyenteng pagsukat ng parehong observable, na ipinapakita dito, ay wala itong iba kundi ang parity check circuit para sa 3-bit repetition code.

Ang dalawang equation sa itaas ay nagpapahiwatig na ang parity check circuit ay nag-o-output ng $00,$ na siyang syndrome na nagpapakita na walang nadetektang error.

Ang mga 3-qubit Pauli operation na $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ at $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ ay tinatawag na stabilizer generators para sa code na ito, at ang stabilizer ng code ay ang set na nabuo ng mga stabilizer generator.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Ang stabilizer ay isang pundamental na mahalagang mathematical object na kaugnay ng code na ito, at ang papel na ginagampanan nito ay tatalakayin habang nagpapatuloy ang aralin. Sa ngayon, obserbahan natin na maaari tayong gumawa ng ibang pagpipilian para sa mga generator at katumbas na parity check, lalo na sa pag-alis ng $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ bilang kapalit ng alinman sa mga generator na pinili natin, ngunit hindi mababago ang stabilizer at ang code mismo.

Error detection

Susuriin natin ngayon ang bit-flip detection para sa 3-bit repetition code, na nakatuon sa mga interaksyon at relasyon sa pagitan ng mga Pauli operation na kasangkot: ang mga stabilizer generator at ang mga error mismo.

Ipagpalagay na nag-encode tayo ng qubit gamit ang 3-bit repetition code, at nagkaroon ng bit-flip error sa pinakakaliwang qubit. Dahil dito, ang state na $\vert\psi\rangle$ ay na-transform ayon sa aksyon ng isang $X$ operation (o $X$ error).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

Maaaring matukoy ang error na ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga parity check para sa 3-bit repetition code, tulad ng tinalakay sa nakaraang aralin, na katumbas ng hindi-mapanirang pagsukat ng mga stabilizer generator na $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ at $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ bilang mga observable.

Magsimula tayo sa unang stabilizer generator. Ang state na $\vert\psi\rangle$ ay naapektuhan ng isang $X$ error sa pinakakaliwang qubit, at ang layunin natin ay maunawaan kung paano naiimpluwensyahan ng error na ito ang pagsukat ng stabilizer generator na ito bilang observable. Dahil ang $X$ at $Z$ ay anti-commute, samantalang ang bawat matrix ay commute sa identity matrix, mula rito ay ang $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ ay anti-commute sa $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}.$ Samantala, dahil ang $\vert\psi\rangle$ ay isang valid na encoding ng isang qubit, ang $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ ay kumikilos nang trivially sa $\vert\psi\rangle.$

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Samakatuwid, ang $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ ay isang eigenvector ng $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ na may eigenvalue na $-1.$ Kapag isinagawa ang pagsukat na kaugnay ng observable na $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ sa state na $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle,$ tiyak na ang outcome ay ang katumbas ng eigenvalue na $-1.$

Maaaring ilapat ang katulad na pangangatuwiran sa pangalawang stabilizer generator, ngunit sa pagkakataong ito ang error ay commute sa stabilizer generator sa halip na anti-commute, kaya ang outcome para sa pagsukat na ito ay ang katumbas ng eigenvalue na $+1.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Ang napapansin natin sa pagsusuri ng mga equation na ito ay, anuman ang ating orihinal na state na $\vert\psi\rangle,$ ang nasirang state ay isang eigenvector ng parehong stabilizer generator, at kung ang eigenvalue ay $+1$ o $-1$ ay natutukoy kung ang error ay commute o anti-commute sa bawat stabilizer generator. Para sa mga error na kinakatawan ng mga Pauli operation, palaging isa sa dalawa ito, dahil ang anumang dalawang Pauli operation ay commute o anti-commute. Samantala, ang aktwal na state na $\vert\psi\rangle$ ay hindi gumaganap ng mahalagang papel, maliban sa katotohanan na ang mga stabilizer generator ay kumikilos nang trivially sa state na ito.

Dahil dito, hindi na natin kailangang alalahanin pa ang tungkol sa specific na naka-encode na state na ginagamit natin. Ang mahalaga lang ay kung ang error ay commute o anti-commute sa bawat stabilizer generator. Lalo na, ito ang mga kaugnay na equation para sa partikular na error na ito para sa code na ito.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

Narito ang isang talahanayan na may isang hilera para sa bawat stabilizer generator at isang kolumna para sa bawat error. Ang entry sa talahanayan ay alinman sa $+1$ o $-1$ depende kung ang error at ang stabilizer generator ay commute o anti-commute. Kasama lang sa talahanayan ang mga kolumna para sa mga error na katumbas ng isang bit-flip, pati na rin ang walang error, na inilalarawan ng identity na na-tensor sa sarili nito nang tatlong beses. Maaari tayong magdagdag ng mas maraming kolumna para sa iba pang mga error, ngunit sa ngayon ay magtutuon lang tayo sa mga error na ito.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

Para sa bawat error sa talahanayan, ang katumbas na kolumna ay nagpapakita kung paano binabago ng error na iyon ang anumang encoding sa isang $+1$ o $-1$ eigenvector ng bawat stabilizer generator. Katumbas nito, inilalarawan ng mga kolumna ang syndrome na makukuha natin mula sa mga parity check, na katumbas ng mga hindi-mapanirang pagsukat ng mga stabilizer generator bilang mga observable. Siyempre, ang talahanayan ay may mga entry na $+1$ at $-1$ sa halip na $0$ at $1$ — at karaniwang iniisip ang isang syndrome bilang isang binary string sa halip na isang kolumna ng mga entry na $+1$ at $-1$ — ngunit maaari rin nating isipin ang mga vector na ito na may mga entry na $+1$ at $-1$ bilang mga syndrome upang direktang maiugnay ang mga ito sa mga eigenvalue ng mga stabilizer generator. Sa pangkalahatan, ang mga syndrome ay nagsasabi sa atin ng isang bagay tungkol sa anumang error na naganap, at kung alam natin na isa sa apat na posibleng error na nakalista sa talahanayan ang naganap, ang syndrome ay nagpapakita kung alin ito.

Mga syndrome

Ang mga encoding para sa 3-bit repetition code ay mga 3-qubit state, kaya sila ay mga unit vector sa isang 8-dimensional na complex vector space. Ang apat na posibleng syndrome ay epektibong hinahati ang 8-dimensional na espasyong ito sa apat na 2-dimensional na subspace, kung saan ang mga quantum state vector sa bawat subspace ay palaging nagdudulot ng parehong syndrome. Ang sumusunod na diagram ay nagpapakita nang partikular kung paano hinihati ang 8-dimensional na espasyo ng dalawang stabilizer generator.

Ang bawat stabilizer generator ay hinahati ang espasyo sa dalawang subspace na may pantay na dimensyon, katuwiran ang espasyo ng mga $+1$ eigenvector at ang espasyo ng mga $-1$ eigenvector para sa observable na iyon. Halimbawa, ang mga $+1$ eigenvector ng $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ ay mga linear combination ng mga standard basis state kung saan ang dalawang pinakakaliwang bit ay may even parity, at ang mga $-1$ eigenvector ay mga linear combination ng mga standard basis state kung saan ang dalawang pinakakaliwang bit ay may odd parity. Katulad ang sitwasyon para sa isa pang stabilizer generator, maliban na para sa isang ito, ang dalawang pinakakanang bit ang pinag-uusapan sa halip na ang dalawang pinakakaliwang bit.

Ang apat na 2-dimensional na subspace na katumbas ng apat na posibleng syndrome ay madaling ilarawan sa kasong ito, dahil sa katotohanan na ito ay isang napakasimpleng code. Lalo na, ang subspace na katumbas ng syndrome na $(+1,+1)$ ay ang espasyong na-span ng $\vert 000\rangle$ at $\vert 111\rangle$, na siyang espasyo ng mga valid na encoding (kilala rin bilang code space), at sa pangkalahatan ang mga espasyo ay na-span ng standard basis na ipinapakita sa katumbas na mga parisukat.

Ang mga syndrome ay nagpapartisyon din sa lahat ng 3-qubit Pauli operation sa 4 na koleksyon na may pantay na laki, depende sa kung aling syndrome ang magiging resulta ng operasyong iyon (bilang isang error). Halimbawa, ang anumang Pauli operation na commute sa parehong stabilizer generator ay nagdudulot ng syndrome na $(+1,+1),$ at sa gitna ng 64 posibleng 3-qubit Pauli operation, mayroon nang eksakto 16 sa kategoryang ito (kasama ang $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z,$ at $X\otimes X\otimes X$ halimbawa), at gayundin para sa iba pang 3 syndrome.

Ang parehong mga katangiang ito — na ang mga syndrome ay nagpapartisyon sa state space kung saan nakatira ang mga encoding at lahat ng Pauli operation sa espasyong ito sa mga koleksyon na may pantay na laki — ay totoo sa pangkalahatan para sa mga stabilizer code, na tiyak na ibibigay natin sa susunod na seksyon.

Kahit na ito ay isang uri ng karagdagang paalala sa puntong ito, sulit na banggitin na ang mga Pauli operation na commute sa parehong stabilizer generator, o katumbas ang mga Pauli operation na nagdudulot ng syndrome na $(+1,+1),$ ngunit hindi mismo proportional sa mga elemento ng stabilizer, ay kumikilos tulad ng mga single-qubit Pauli operation sa naka-encode na qubit (ibig sabihin, ang logical qubit) para sa code na ito. Halimbawa, ang $X\otimes X \otimes X$ ay commute sa parehong stabilizer generator, ngunit hindi mismo proportional sa anumang elemento sa stabilizer, at tunay ngang ang epekto ng operasyong ito sa isang encoding ay katumbas ng isang $X$ gate sa logical qubit na naka-encode.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

Muli, ito ay isang phenomenon na nag-gegeneral sa lahat ng stabilizer code.