Superdense coding

Ang superdense coding ay isang protocol na, sa ilang paraan, ay nakakamit ang layuning kabaligtaran ng teleportation. Sa halip na pinapayagan ang pagpapadala ng isang qubit gamit ang dalawang classical bits ng komunikasyon (sa gastos ng isang e-bit ng entanglement), pinapayagan nito ang pagpapadala ng dalawang classical bits gamit ang isang qubit ng quantum communication (muli, sa gastos ng isang e-bit ng entanglement).

Sa mas detalyadong paglalahad, mayroon tayong isang nagpadala (Alice) at isang tumatanggap (Bob) na nagbabahagi ng isang e-bit ng entanglement. Ayon sa mga kasunduan sa aralin, nangangahulugan ito na hawak ni Alice ang isang qubit $\mathsf{A},$ hawak ni Bob ang isang qubit $\mathsf{B},$ at magkasamang ang pares $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ay nasa estado $\vert\phi^+\rangle.$ Nais ni Alice na ipadala kay Bob ang dalawang classical bits, na tatawagin nating $c$ at $d,$ at gagawin niya ito sa pamamagitan ng pagpapadala ng isang qubit.

Makatuwiran na ituring ang gawa na ito bilang hindi gaanong kagiliw-giliw kaysa sa nagagawa ng teleportation. Ang pagpapadala ng mga qubit ay malamang na magiging mas mahirap kaysa sa pagpapadala ng mga classical bits sa mahabang panahon kaya ang pag-trade ng isang qubit ng quantum communication para sa dalawang bits ng classical communication, sa gastos pa ng isang e-bit, ay mukhang hindi masyadong sulit. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugang ang superdense coding ay hindi kawili-wili, dahil tiyak na kawili-wili ito.

Ayon sa tema ng aralin, isa sa mga dahilan kung bakit kawili-wili ang superdense coding ay ipinakikita nito ang isang kongkretong at (sa konteksto ng information theory) medyo kapansin-pansing paggamit ng entanglement. Isang sikat na teorema sa quantum information theory, kilala bilang Holevo's theorem, ang nagpapahiwatig na kung wala ang isang shared entangled state, imposibleng makipag-komunikasyon ng higit sa isang bit ng classical information sa pamamagitan ng pagpapadala ng isang qubit. (Mas pangkalahatan ang Holevo's theorem kaysa dito. Ang tumpak nitong pahayag ay teknikal at nangangailangan ng paliwanag, ngunit ito ay isa sa mga kahihinatnan nito.) Kaya, sa pamamagitan ng superdense coding, ang shared entanglement ay epektibong nagbibigay-daan sa pagdoble ng classical information-carrying capacity ng pagpapadala ng mga qubit.

Protocol

Ang sumusunod na quantum circuit diagram ay naglalarawan ng superdense coding protocol:

Sa salita, narito ang ginagawa ni Alice:

1. Kung $d=1,$ nagsasagawa si Alice ng $Z$ gate sa kanyang qubit $\mathsf{A}$ (at kung $d=0$ ay hindi niya ito ginagawa).

2. Kung $c=1,$ nagsasagawa si Alice ng $X$ gate sa kanyang qubit $\mathsf{A}$ (at kung $c=0$ ay hindi niya ito ginagawa).

Pagkatapos ay ipadala ni Alice ang kanyang qubit $\mathsf{A}$ kay Bob.

Ang ginagawa ni Bob kapag natanggap niya ang qubit $\mathsf{A}$ ay magsagawa muna ng controlled-NOT gate, na ang $\mathsf{A}$ ang control at ang $\mathsf{B}$ ang target, at pagkatapos ay mag-apply siya ng Hadamard gate sa $\mathsf{A}.$ Susunod ay susukatin niya ang $\mathsf{B}$ para makuha ang $c$ at ang $\mathsf{A}$ para makuha ang $d,$ gamit ang standard basis measurements sa dalawang kaso.

Pagsusuri

Ang ideya sa likod ng protocol na ito ay medyo simple: Epektibong pinipili ni Alice kung aling Bell state ang nais niyang ibahagi kay Bob, ipinapadala niya kay Bob ang kanyang qubit, at sinusukat ni Bob para malaman kung aling Bell state ang pinili ni Alice.

Ibig sabihin, unang nagbabahagi sila ng $\vert\phi^+\rangle,$ at depende sa mga bits $c$ at $d,$ iniiwan ni Alice ang estadong ito nang walang pagbabago o inililipat ito sa isa sa ibang mga Bell state sa pamamagitan ng pag-apply ng $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ o $XZ$ sa kanyang qubit $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Ang mga aksyon ni Bob ay may sumusunod na mga epekto sa apat na Bell states:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Maaaring suriin ito nang direkta, sa pamamagitan ng pagkukuwenta ng mga resulta ng mga operasyon ni Bob sa mga estadong ito nang isa-isa.

Kaya, kapag nagsasagawa si Bob ng kanyang mga sukat, nagagawa niyang matukoy kung aling Bell state ang pinili ni Alice. Ang pag-verify na gumagana nang tama ang protocol ay isang bagay ng pagsusuri ng bawat kaso:

• Kung $cd = 00,$ ang estado ng $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ kapag natanggap ni Bob ang $\mathsf{A}$ ay $\vert \phi^+\rangle.$ Binabago niya ang estadong ito sa $\vert 00\rangle$ at nakukuha ang $cd = 00.$

• Kung $cd = 01,$ ang estado ng $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ kapag natanggap ni Bob ang $\mathsf{A}$ ay $\vert \phi^-\rangle.$ Binabago niya ang estadong ito sa $\vert 01\rangle$ at nakukuha ang $cd = 01.$

• Kung $cd = 10,$ ang estado ng $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ kapag natanggap ni Bob ang $\mathsf{A}$ ay $\vert \psi^+\rangle.$ Binabago niya ang estadong ito sa $\vert 10\rangle$ at nakukuha ang $cd = 10.$

• Kung $cd = 11,$ ang estado ng $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ kapag natanggap ni Bob ang $\mathsf{A}$ ay $\vert \psi^-\rangle.$ Binabago niya ang estadong ito sa $-\vert 11\rangle$ at nakukuha ang $cd = 11.$ (Ang negative-one phase factor ay walang epekto dito.)