Klasikal na impormasyon

Katulad ng ginawa natin sa nakaraang aralin, magsisimula tayo rito sa isang talakayan ng klasikal na impormasyon. Muli, ang probabilistik at quantum na paglalarawan ay magkakatulad sa matematika, at ang pag-unawa kung paano gumagana ang matematika sa pamilyar na konteksto ng klasikal na impormasyon ay nakatutulong sa pag-unawa kung bakit ganoon ang paglalarawan ng quantum information.

Mga klasikal na estado gamit ang Cartesian product

Magsisimula tayo sa pinaka-pangunahing antas — ang mga klasikal na estado ng maraming sistema. Para sa kasimplihan, magsisimula muna tayo sa dalawang sistema, at pagkatapos ay palalawigin ito sa higit sa dalawa.

Sa partikular, hayaan ang $\mathsf{X}$ na isang sistema na may klasikal na state set na $\Sigma,$ at hayaan ang $\mathsf{Y}$ na isang pangalawang sistema na may klasikal na state set na $\Gamma.$ Pansinin na, dahil tinukoy natin ang mga set na ito bilang mga klasikal na state set, ang ating pagpapalagay ay parehong may katapusan at hindi walang laman ang $\Sigma$ at $\Gamma$. Maaaring $\Sigma = \Gamma,$ ngunit hindi ito kinakailangan — at anuman ang kaso, magiging kapaki-pakinabang na gumamit ng iba't ibang pangalan para sa mga set na ito para sa kalinawan.

Ngayon isipin na ang dalawang sistema, $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y},$ ay nakalagay nang magkatabi, na ang $\mathsf{X}$ ay nasa kaliwa at ang $\mathsf{Y}$ ay nasa kanan. Kung gugustuhin natin, maaari nating tingnan ang dalawang sistemang ito na parang bumubuo sila ng iisang sistema, na maaari nating itawag na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ o $\mathsf{XY}$ ayon sa ating kagustuhan. Isang natural na katanungan tungkol sa compound na sistemang ito $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay, "Ano ang mga klasikal na estado nito?"

Ang sagot ay ang set ng mga klasikal na estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay ang Cartesian product ng $\Sigma$ at $\Gamma,$ na ang set na tinukoy bilang

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{at}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

Sa simpleng salita, ang Cartesian product ay ang eksaktong konsepto sa matematika na sumasaklaw sa ideya ng pagtingin sa isang elemento ng isang set at isang elemento ng pangalawang set nang magkasama, na parang bumubuo sila ng isang elemento ng iisang set. Sa kasong ito, ang sabihing ang $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nasa klasikal na estado $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ ay nangangahulugang ang $\mathsf{X}$ ay nasa klasikal na estado $a\in\Sigma$ at ang $\mathsf{Y}$ ay nasa klasikal na estado $b\in\Gamma;$ at kung ang klasikal na estado ng $\mathsf{X}$ ay $a\in\Sigma$ at ang klasikal na estado ng $\mathsf{Y}$ ay $b\in\Gamma,$ kung gayon ang klasikal na estado ng joint system $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay $(a,b).$

Para sa higit sa dalawang sistema, ang sitwasyon ay natural na nagpapalawak. Kung ipagpalagay na ang $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$ ay mga sistema na may mga klasikal na state set na $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n,$ ayon sa pagkakasunod, para sa anumang positibong integer na $n,$ ang klasikal na state set ng $n$-tuple na $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n),$ na itinuturing bilang iisang joint system, ay ang Cartesian product

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

Syempre, malaya tayong gumamit ng anumang pangalan para sa mga sistema, at ayusin ang mga ito ayon sa ating kagustuhan. Sa partikular, kung mayroon tayong $n$ na sistema tulad ng sa itaas, maaari tayong pumili na pangalanan ang mga ito bilang $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ at ayusin ang mga ito mula kanan papunta sa kaliwa, upang ang joint system ay maging $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Sumusunod sa parehong pattern para sa pagpapangalan ng mga kaugnay na klasikal na estado at mga klasikal na state set, maaari tayong tumukoy ng isang klasikal na estado

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

ng compound na sistemang ito. Sa katunayan, ito ang ordering convention na ginagamit ng Qiskit sa pagpapangalan ng maraming qubit. Babalikan natin ang convention na ito at kung paano ito nagkokonekta sa mga quantum circuit sa susunod na aralin, ngunit sisimulan na nating gamitin ito ngayon para masanay.

Kadalasan ay maginhawa na isulat ang isang klasikal na estado ng anyo $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ bilang isang string na $a_{n-1}\cdots a_0$ para sa brevity, lalo na sa napaka-karaniwang sitwasyon na ang mga klasikal na state set na $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ ay kaugnay ng mga set ng simbolo o karakter. Sa kontekstong ito, ang terminong alpabeto ay karaniwang ginagamit para tumukoy sa mga set ng mga simbolo na ginagamit para bumuo ng mga string, ngunit ang mathematical na depinisyon ng isang alpabeto ay eksakto katulad ng depinisyon ng isang klasikal na state set: ito ay isang set na may katapusan at hindi walang laman.

Halimbawa, ipagpalagay na ang $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$ ay mga bit, kaya ang mga klasikal na state set ng mga sistemang ito ay parehong lahat.

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

Mayroon nang $2^{10} = 1024$ na mga klasikal na estado ng joint system na $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0),$ na siyang mga elemento ng set na

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

Nakasulat bilang mga string, ganito ang hitsura ng mga klasikal na estadong ito:

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

Para sa klasikal na estado $0000000110,$ halimbawa, makikita natin na ang $\mathsf{X}_1$ at $\mathsf{X}_2$ ay nasa estado $1,$ habang ang lahat ng ibang sistema ay nasa estado $0.$

Mga probabilistik na estado

Alalahanin mula sa nakaraang aralin na ang isang probabilistik na estado ay nag-uugnay ng probabilidad sa bawat klasikal na estado ng isang sistema. Kaya, ang isang probabilistik na estado ng maraming sistema — na itinuturing nang sama-sama bilang iisang sistema — ay nag-uugnay ng probabilidad sa bawat elemento ng Cartesian product ng mga klasikal na state set ng mga indibidwal na sistema.

Halimbawa, ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay parehong mga bit, kaya ang kanilang kaugnay na mga klasikal na state set ay $\Sigma = \{0,1\}$ at $\Gamma = \{0,1\},$ ayon sa pagkakasunod. Narito ang isang probabilistik na estado ng pares $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

Ang probabilistik na estadong ito ay isa kung saan ang parehong $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga random na bit — ang bawat isa ay $0$ na may probabilidad na $1/2$ at $1$ na may probabilidad na $1/2$ — ngunit ang mga klasikal na estado ng dalawang bit ay palaging magkapareho. Ito ay isang halimbawa ng isang korrelasyon sa pagitan ng mga sistemang ito.

Pag-order ng mga Cartesian product state set

Ang mga probabilistik na estado ng mga sistema ay maaaring irepresenta ng mga probability vector, tulad ng tinalakay sa nakaraang aralin. Sa partikular, ang mga entry ng vector ay kumakatawan sa mga probabilidad para sa sistema na maging nasa mga posibleng klasikal na estado ng sistemang iyon, at ang pag-unawa ay may isang sulat-tugma sa pagitan ng mga entry at ng set ng mga klasikal na estado na napili na.

Ang pagpili ng ganitong sulat-tugma ay epektibong nangangahulugang nagpapasya ng isang pag-order ng mga klasikal na estado, na kadalasang natural o tinutukoy ng isang karaniwang convention. Halimbawa, ang binary na alpabeto $\{0,1\}$ ay natural na inorder na ang $0$ ay una at ang $1$ ay pangalawa, kaya ang unang entry sa isang probability vector na kumakatawan sa isang probabilistik na estado ng isang bit ay ang probabilidad nito na maging nasa estado $0,$ at ang pangalawang entry ay ang probabilidad nito na maging nasa estado $1.$

Wala sa mga ito ang nagbabago sa konteksto ng maraming sistema, ngunit mayroon itong isang desisyong gagawin. Ang klasikal na state set ng maraming sistema nang sama-sama, na itinuturing nang kolektibo bilang iisang sistema, ay ang Cartesian product ng mga klasikal na state set ng mga indibidwal na sistema — kaya dapat tayong magpasya kung paano ioorder ang mga elemento ng mga Cartesian product ng mga klasikal na state set.

Mayroon kaming isang simpleng convention na sinusundan para gawin ito, na ang magsimula sa anumang mga pag-order na mayroon na para sa mga indibidwal na klasikal na state set, at pagkatapos ay iorder ang mga elemento ng Cartesian product nang alphabetically (pasunod sa alpabeto). Isa pang paraan ng pagsasabi nito ay ang mga entry sa bawat $n$-tuple (o, katumbas, ang mga simbolo sa bawat string) ay itinuturing na parang may kahalagahan na bumababa mula kaliwa papunta sa kanan. Halimbawa, ayon sa convention na ito, ang Cartesian product na $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ ay inorder na ganito:

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

Kapag ang mga $n$-tuple ay nakasulat bilang mga string at inorder sa ganitong paraan, makikita natin ang mga pamilyar na pattern, tulad ng $\{0,1\}\times\{0,1\}$ na inorder bilang $00, 01, 10, 11,$ at ang set na $\{0,1\}^{10}$ na inorder tulad ng nakasulat nang mas maaga sa aralin. Bilang isa pang halimbawa, ang pagtingin sa set na $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$ bilang isang set ng mga string, makukuha natin ang dalawang digit na mga numero mula $00$ hanggang $99,$ inorder nang numerically. Malinaw na hindi ito isang pagkakataon; ang ating decimal na sistema ng numero ay gumagamit ng eksakto sa ganitong uri ng pag-order sa alpabeto, kung saan ang salitang alphabetical ay dapat na maunawaan na may malawak na kahulugang kinabibilangan ng mga numeral bilang karagdagan sa mga titik.

Bumabalik sa halimbawa ng dalawang bit mula sa itaas, ang probabilistik na estado na inilarawan dati ay kinakatawan kaya ng sumusunod na probability vector, kung saan ang mga entry ay tahasang nila-label para sa kalinawan.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probabilidad ng pagiging nasa estado 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probabilidad ng pagiging nasa estado 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probabilidad ng pagiging nasa estado 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probabilidad ng pagiging nasa estado 11} \end{array} \tag{1}$$

Kalayaan ng dalawang sistema

Isang espesyal na uri ng probabilistik na estado ng dalawang sistema ay isa kung saan ang mga sistema ay malaya (independent). Sa intuitive na pagsasalita, ang dalawang sistema ay malaya kung ang pag-alam ng klasikal na estado ng alinmang sistema ay walang epekto sa mga probabilidad na kaugnay ng isa pa. Ibig sabihin, ang pag-alam kung saang klasikal na estado ang isa sa mga sistema ay walang anumang impormasyon tungkol sa klasikal na estado ng isa pa.

Para tukuyin ang konseptong ito nang tiyak, ipagpalagay muli na ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga sistema na may mga klasikal na state set na $\Sigma$ at $\Gamma,$ ayon sa pagkakasunod. Kaugnay ng isang ibinigay na probabilistik na estado ng mga sistemang ito, sinasabing sila ay malaya kung totoo na

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

para sa bawat pagpili ng $a\in\Sigma$ at $b\in\Gamma.$

Para ipahayag ang kondisyong ito sa mga tuntunin ng mga probability vector, ipagpalagay na ang ibinigay na probabilistik na estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay inilarawan ng isang probability vector, nakasulat sa Dirac notation bilang

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

Ang kondisyon $(2)$ para sa kalayaan ay katumbas ng pagkakaroon ng dalawang probability vector

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{at}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle, \tag{3}$$

na kumakatawan sa mga probabilidad na kaugnay ng mga klasikal na estado ng $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y},$ ayon sa pagkakasunod, upang

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

para sa lahat ng $a\in\Sigma$ at $b\in\Gamma.$

Halimbawa, ang probabilistik na estado ng isang pares ng mga bit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na kinakatawan ng vector

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

ay isa kung saan ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay malaya. Sa partikular, ang kondisyon na kailangan para sa kalayaan ay totoo para sa mga probability vector

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{at}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

Halimbawa, para matugma ang mga probabilidad para sa estado $00,$ kailangan nating $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3},$ at totoo nga ito. Ang iba pang mga entry ay maaaring i-verify sa katulad na paraan.

Sa kabilang banda, ang probabilistik na estado $(1),$ na maaari nating isulat bilang

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

ay hindi kumakatawan sa kalayaan sa pagitan ng mga sistema $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}.$ Ang isang simpleng paraan para ipaliwanag ito ay ang sumusunod.

Ipagpalagay na mayroon nga itong mga probability vector $\vert \phi\rangle$ at $\vert \psi \rangle,$ tulad ng sa equation $(3)$ sa itaas, kung saan natutugunan ang kondisyon $(4)$ para sa bawat pagpili ng $a$ at $b.$ Kung gayon kinakailangan na

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

Nangangahulugan ito na alinman $q_0 = 0$ o $r_1 = 0,$ dahil kung parehong hindi sero, ang produkto $q_0 r_1$ ay hindi rin sero. Humahantong ito sa konklusyon na alinman $q_0 r_0 = 0$ (kung $q_0 = 0$) o $q_1 r_1 = 0$ (kung $r_1 = 0$). Nakikita natin, gayunpaman, na wala sa mga pagkakapantay-pantay na iyon ang maaaring totoo dahil kinakailangan nating magkaroon ng $q_0 r_0 = 1/2$ at $q_1 r_1 = 1/2.$ Kaya naman, walang mga vector $\vert\phi\rangle$ at $\vert\psi\rangle$ na natutugunan ang ari-arian na kailangan para sa kalayaan.

Pagkatapos tukuyin ang kalayaan sa pagitan ng dalawang sistema, maaari na nating tukuyin ang kahulugan ng korrelasyon: ito ay isang kakulangan ng kalayaan. Halimbawa, dahil ang dalawang bit sa probabilistik na estado na kinakatawan ng vector $(5)$ ay hindi malaya, sila ay, sa depinisyon, may korrelasyon.

Mga tensor product ng mga vector

Ang kondisyon ng kalayaan na inilarawan kamakailan ay maaaring mailarawan nang maigsi sa pamamagitan ng konsepto ng tensor product. Kahit na ang mga tensor product ay isang napaka-pangkalahatang konsepto, at maaaring tukuyin nang medyo abstract at ilapat sa iba't ibang mathematical na istruktura, maaari tayong mag-adopt ng isang simple at kongkretong depinisyon sa kasong ito.

Ibinigay ang dalawang vector

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{at}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

ang tensor product na $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ ay ang vector na tinukoy bilang

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

Ang mga entry ng bagong vector na ito ay kaugnay ng mga elemento ng Cartesian product na $\Sigma\times\Gamma,$ na nakasulat bilang mga string sa nakaraang equation. Katumbas, ang vector na $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ ay tinukoy ng equation

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

na totoo para sa bawat $a\in\Sigma$ at $b\in\Gamma.$

Maaari na nating muling ipahayag ang kondisyon para sa kalayaan: para sa isang joint system $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ sa isang probabilistik na estado na kinakatawan ng isang probability vector $\vert \pi \rangle,$ ang mga sistema $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay malaya kung ang $\vert\pi\rangle$ ay nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng tensor product

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

ng mga probability vector $\vert \phi \rangle$ at $\vert \psi \rangle$ sa bawat isa sa mga subsystem na $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}.$ Sa sitwasyong ito, sinasabing ang $\vert \pi \rangle$ ay isang product state o product vector.

Madalas na inaaalis natin ang simbolo $\otimes$ kapag kumukuha ng tensor product ng mga ket, tulad ng pagsusulat ng $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ sa halip na $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle.$ Ang convention na ito ay sumasaklaw sa ideya na ang tensor product ay, sa kontekstong ito, ang pinaka-natural o default na paraan ng pagkuha ng produkto ng dalawang vector. Bagama't hindi ito gaanong karaniwan, ang notasyong $\vert \phi\otimes\psi\rangle$ ay minsan ding ginagamit.

Kapag ginamit natin ang alphabetical na convention para sa pag-order ng mga elemento ng mga Cartesian product, makuha natin ang sumusunod na detalye para sa tensor product ng dalawang column vector.

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

Bilang isang mahalagang pag-aalaga, pansinin ang sumusunod na ekspresyon para sa mga tensor product ng mga standard basis vector:

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

Maaari nating isulat ang $(a,b)$ bilang isang ordered pair sa halip na isang string, kung saan makukuha natin ang $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle.$ Gayunpaman, mas karaniwan na alisin ang mga panaklong sa sitwasyong ito, at sa halip ay isulat ang $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle.$ Ito ay tipikal sa matematika sa pangkalahatan; ang mga panaklong na hindi nagdadagdag ng kalinawan o nag-aalis ng kalabuan ay madalas na simpleng inaaalis.

Ang tensor product ng dalawang vector ay may mahalagang katangian na ito ay bilinear, na nangangahulugang ito ay linear sa bawat isa sa dalawang argument nang hiwalay, ipagpalagay na ang isa pang argument ay naayos. Ang katangiang ito ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng mga equation na ito:

1. Linearity sa unang argument:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. Linearity sa pangalawang argument:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

Isinasaalang-alang ang pangalawang equation sa bawat isa sa mga pares na ito ng mga equation, makikita natin na ang mga scalar ay "malaya na lumutang" sa loob ng mga tensor product:

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

Kaya naman walang kalabuan sa simpleng pagsusulat ng $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle,$ o kaya $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$ o $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle,$ para tumukoy sa vector na ito.

Kalayaan at mga tensor product para sa tatlo o higit pang sistema

Ang mga konsepto ng kalayaan at mga tensor product ay natural na nagpapalawak sa tatlo o higit pang sistema. Kung ang $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ ay mga sistema na may mga klasikal na state set na $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ ayon sa pagkakasunod, kung gayon ang isang probabilistik na estado ng combined system na $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ ay isang product state kung ang kaugnay na probability vector ay nasa anyo

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

para sa mga probability vector na $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$ na naglalarawan ng mga probabilistik na estado ng $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$ Dito, ang depinisyon ng tensor product ay natural na nagpapalawak: ang vector

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

ay tinukoy ng equation

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

na totoo para sa bawat $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$

Isang naiiba, ngunit katumbas, na paraan para tukuyin ang tensor product ng tatlo o higit pang vector ay nang recursive sa mga tuntunin ng mga tensor product ng dalawang vector:

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

Katulad ng tensor product ng dalawang vector lamang, ang tensor product ng tatlo o higit pang vector ay linear sa bawat isa sa mga argument nang hiwalay, ipagpalagay na ang lahat ng iba pang argument ay naayos. Sa kasong ito sinasabing ang tensor product ng tatlo o higit pang vector ay multilinear.

Tulad ng sa kaso ng dalawang sistema, maaari nating sabihin na ang mga sistema $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ ay malaya kapag sila ay nasa isang product state, ngunit ang terminong mutually independent (magkasamang malaya) ay mas tiyak. May ilang iba pang konsepto ng kalayaan para sa tatlo o higit pang sistema, tulad ng pairwise independence (pagkakamalaya sa pares), na parehong kawili-wili at mahalaga — ngunit hindi sa konteksto ng kursong ito.

Pinalawak ang obserbasyon nang mas maaga tungkol sa mga tensor product ng mga standard basis vector, para sa anumang positibong integer na $n$ at anumang mga klasikal na estado $a_0,\ldots,a_{n-1},$ mayroon tayong

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

Mga Sukat ng mga Probabilistikong Estado

Ngayon, pag-usapan natin ang mga sukat ng mga probabilistikong estado ng maraming sistema. Sa pamamagitan ng pagtitig sa maraming sistema nang magkasama bilang isang sistema, agad nating makukuha kung paano gumagana ang mga sukat para sa maraming sistema — basta't lahat ng sistema ay sinusukat.

Halimbawa, kung ang probabilistikong estado ng dalawang bit na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay inilarawan ng probability vector na

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle,$$

ang kinalabasan na $00$ — ibig sabihin, $0$ para sa sukat ng $\mathsf{X}$ at $0$ para sa sukat ng $\mathsf{Y}$ — ay nakukuha nang may probabilidad na $1/2$, at ang kinalabasan na $11$ ay nakukuha rin nang may probabilidad na $1/2.$ Sa bawat kaso, ina-update natin ang paglalarawan ng probability vector ng ating kaalaman nang naaangkop, kaya't nagiging $|00\rangle$ o $|11\rangle$ ang probabilistikong estado, ayon sa pagkakataon.

Maaari rin nating piliing sukatin hindi bawat sistema, kundi ilan lamang sa mga ito. Magbubunga ito ng kinalabasan ng sukat para sa bawat sistemang sinukat, at (sa karaniwang kaso) makakaapekto rin sa ating kaalaman tungkol sa mga natitirang sistema na hindi natin sinukat.

Upang ipaliwanag kung paano ito gumagana, magtutuon tayo sa kaso ng dalawang sistema, kung saan isa lamang ang sinukat. Ang mas pangkalahatang sitwasyon — kung saan sinusukat ang isang wastong subset ng tatlo o higit pang sistema — ay epektibong nababawasan sa kaso ng dalawang sistema kapag tiningnan natin ang mga sistemang sinusukat nang magkasamang parang isang sistema, at ang mga sistemang hindi sinusukat na parang pangalawang sistema.

Upang maging tiyak, ipalagay nating ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga sistema na ang mga classical state set ay $\Sigma$ at $\Gamma,$ ayon sa pagkakataon, at ang dalawang sistema ay magkasama sa ilang probabilistikong estado. Susuriin natin kung ano ang mangyayari kapag sinukat lamang natin ang $\mathsf{X}$ at walang ginagawa sa $\mathsf{Y}.$ Ang sitwasyon kung saan sinusukat lamang ang $\mathsf{Y}$ at walang nangyayari sa $\mathsf{X}$ ay pinangangasiwaan nang simetrikal.

Una, alam natin na ang probabilidad ng pagmamasid sa isang partikular na classical state na $a\in\Sigma$ kapag sinukat lamang ang $\mathsf{X}$ ay dapat na pare-pareho sa mga probabilidad na makukuha natin sa ilalim ng pagpapalagay na sinukat din ang $\mathsf{Y}.$ Ibig sabihin, dapat nating mayroon

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr).$$

Ito ang pormula para sa tinatawag na reduced (o marginal) probabilistikong estado ng $\mathsf{X}$ lamang.

Ganap na makatuwiran ang pormulang ito sa intuwisyonal na antas, sa kahulugang kailangang may kakaibang mangyari para ito ay mali. Kung mali ito, ibig sabihin nito na ang pagsukat ng $\mathsf{Y}$ ay maaaring makaapekto sa mga probabilidad na nauugnay sa iba't ibang kinalabasan ng sukat ng $\mathsf{X},$ anuman ang aktwal na kinalabasan ng sukat ng $\mathsf{Y}.$ Kung ang $\mathsf{Y}$ ay naroon sa malayo, tulad ng sa ibang kalawakan halimbawa, magbibigay-daan ito sa pagpapadala ng signal nang mas mabilis kaysa sa liwanag — na tinatanggihan natin batay sa ating pag-unawa sa pisika. Isa pang paraan ng pag-unawa nito ay mula sa interpretasyon ng probabilidad bilang antas ng paniniwala. Ang simpleng katotohanan na maaaring magdesisyon ang ibang tao na tingnan ang $\mathsf{Y}$ ay hindi maaaring baguhin ang classical state ng $\mathsf{X},$ kaya't nang wala namang impormasyon tungkol sa kung ano ang nakita o hindi nakita nila, ang paniniwala ng isa tungkol sa estado ng $\mathsf{X}$ ay hindi dapat magbago bilang resulta.

Ngayon, sa pagpapalagay na ang $\mathsf{X}$ lamang ang sinukat at hindi ang $\mathsf{Y},$ maaaring mayroon pa ring kawalan ng katiyakan tungkol sa classical state ng $\mathsf{Y}.$ Dahil dito, sa halip na i-update ang ating paglalarawan ng probabilistikong estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ sa $\vert ab\rangle$ para sa ilang pagpili ng $a\in\Sigma$ at $b\in\Gamma,$ dapat nating i-update ang ating paglalarawan upang maipakita nang wasto ang kawalan ng katiyakang ito tungkol sa $\mathsf{Y}.$

Ang sumusunod na pormula ng conditional probability ay sumasalamin sa kawalan ng katiyakang ito.

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

Dito, ang expression na $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$ ay nagpapahiwatig ng probabilidad na $\mathsf{Y} = b$ na may kondisyon (o ipinagpapalagay na) $\mathsf{X} = a.$ Sa teknikal na paraan, ang expression na ito ay may kahulugan lamang kung ang $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$ ay hindi zero, sapagkat kung $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0,$ nagdidibide tayo sa zero at nakakakuha ng di-tiyak na anyo na $\frac{0}{0}.$ Hindi ito problema, gayunpaman, sapagkat kung ang probabilidad na nauugnay sa $a$ ay zero, hindi tayo makakakuha ng $a$ bilang kinalabasan ng sukat ng $\mathsf{X},$ kaya't hindi na natin kailangang pag-abalahan ang posibilidad na ito.

Upang ipahayag ang mga pormulang ito sa mga tuntunin ng mga probability vector, isaalang-alang ang isang probability vector na $\vert \pi \rangle$ na naglalarawan ng joint probabilistikong estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

Ang pagsukat ng $\mathsf{X}$ lamang ay nagbubunga ng bawat posibleng kinalabasan na $a\in\Sigma$ na may probabilidad

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}.$$

Ang vector na kumakatawan sa probabilistikong estado ng $\mathsf{X}$ lamang ay ibinibigay kung gayon ng

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

Pagkataong makuha ang isang partikular na kinalabasan na $a\in\Sigma$ ng sukat ng $\mathsf{X},$ ang probabilistikong estado ng $\mathsf{Y}$ ay ina-update ayon sa pormula para sa mga conditional probability, upang ito ay katawanin ng probability vector na ito:

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

Sa kaganapan na ang sukat ng $\mathsf{X}$ ay nagresulta sa classical state na $a,$ ina-update natin kung gayon ang ating paglalarawan ng probabilistikong estado ng joint system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ sa $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle.$

Isang paraan upang isipin ang kahulugang ito ng $\vert\psi_a\rangle$ ay ang makita ito bilang isang normalisasyon ng vector na $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle,$ kung saan hinahati natin sa kabuuan ng mga entry sa vector na ito upang makakuha ng probability vector. Ang normalisasyong ito ay epektibong nagsasaalang-alang ng kondisyon na ang sukat ng $\mathsf{X}$ ay nagresulta sa kinalabasan na $a.$

Para sa isang tiyak na halimbawa, ipalagay na ang classical state set ng $\mathsf{X}$ ay $\Sigma = \{0,1\},$ ang classical state set ng $\mathsf{Y}$ ay $\Gamma = \{1,2,3\},$ at ang probabilistikong estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle.$$

Ang ating layunin ay tukuyin ang mga probabilidad ng dalawang posibleng kinalabasan ($0$ at $1$), at kalkulahin kung ano ang magiging probabilistikong estado ng $\mathsf{Y}$ para sa dalawang kinalabasan, sa pagpapalagay na sinukat ang sistema na $\mathsf{X}.$

Gamit ang bilinearity ng tensor product, at lalo na ang katotohanan na ito ay linear sa pangalawang argumento, maaari nating isulat muli ang vector na $\vert \pi \rangle$ tulad ng sumusunod:

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

Sa simpleng salita, ang ginawa natin ay ihiwalay ang mga natatanging standard basis vector para sa unang sistema (ibig sabihin, ang sinusukat), na initatensor ang bawat isa sa linear na kombinasyon ng mga standard basis vector para sa pangalawang sistema na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagpili ng mga entry ng orihinal na vector na naaayon sa kaukulang classical state ng unang sistema. Sa sandaling pag-iisip, makikita na ito ay palaging posible, anuman ang vector na sinimulan natin.

Pagkatapos maiexpresa ang ating probability vector sa ganitong paraan, madaling suriin ang mga epekto ng pagsukat sa unang sistema. Ang mga probabilidad ng dalawang kinalabasan ay makukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga probabilidad sa mga panaklong.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

Ang mga probabilidad na ito ay nagkabuod sa isa, gaya ng inaasahan — ngunit ito ay isang kapaki-pakinabang na pagsusuri sa ating mga kalkulasyon.

At ngayon, ang probabilistikong estado ng $\mathsf{Y}$ na may kondisyon sa bawat posibleng kinalabasan ay maaaring makuha sa pamamagitan ng normalisasyon ng mga vector sa mga panaklong. Ibig sabihin, hinahati natin ang mga vector na ito sa mga nauugnay na probabilidad na kalkula natin, upang maging mga probability vector ang mga ito.

Kaya, na may kondisyon sa $\mathsf{X}$ bilang $0,$ ang probabilistikong estado ng $\mathsf{Y}$ ay nagiging

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle,$$

at na may kondisyon sa sukat ng $\mathsf{X}$ bilang $1,$ ang probabilistikong estado ng $\mathsf{Y}$ ay nagiging

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle.$$

Mga Operasyon sa mga Probabilistikong Estado

Upang tapusin ang talakayan ng classical information para sa maraming sistema, susuriin natin ang mga operasyon sa maraming sistema sa mga probabilistikong estado. Sinusunod ang parehong ideya tulad ng dati, maaari nating tingnan ang maraming sistema nang magkasama bilang iisang, compound na sistema, at pagkatapos ay balikan ang nakaraang aralin upang makita kung paano ito gumagana.

Bumalik tayo sa karaniwang set-up kung saan mayroon tayong dalawang sistema na $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y},$ at isaalang-alang ang mga classical operation sa compound system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Batay sa nakaraang aralin at sa talakayan sa itaas, napagtitibay natin na ang anumang ganitong operasyon ay kinakatawan ng isang stochastic matrix na ang mga row at column ay naka-index sa pamamagitan ng Cartesian product na $\Sigma\times\Gamma.$

Halimbawa, ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga bit, at isaalang-alang ang isang operasyon na may sumusunod na paglalarawan.

Operasyon

Kung ang $\mathsf{X} = 1,$ gawin ang isang NOT na operasyon sa $\mathsf{Y}.$
Kung hindi, huwag gumawa ng anuman.

Ito ay isang deterministikong operasyon na kilala bilang controlled-NOT na operasyon, kung saan ang $\mathsf{X}$ ay ang control bit na nagtatakda kung dapat bang ilapat ang isang NOT na operasyon sa target bit na $\mathsf{Y}.$ Narito ang matrix representation ng operasyong ito:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ang epekto nito sa mga standard basis state ay tulad ng sumusunod.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Kung ipagpalit natin ang mga papel ng $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y},$ na ginagawang control bit ang $\mathsf{Y}$ at target bit ang $\mathsf{X},$ ang matrix representation ng operasyon ay magiging

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

at ang epekto nito sa mga standard basis state ay magiging tulad nito:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

Isa pang halimbawa ay ang operasyong may ganitong paglalarawan:

Operasyon

Gawin ang isa sa sumusunod na dalawang operasyon, bawat isa ay may probabilidad na $1/2:$

1. Itakda ang $\mathsf{Y}$ upang maging katumbas ng $\mathsf{X}.$
2. Itakda ang $\mathsf{X}$ upang maging katumbas ng $\mathsf{Y}.$

Ang matrix representation ng operasyong ito ay tulad ng sumusunod:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ang epekto ng operasyong ito sa mga standard basis vector ay tulad ng sumusunod:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

Sa mga halimbawang ito, tinitingnan lamang natin ang dalawang sistema nang magkasama bilang isang sistema at nagpapatuloy tulad ng sa nakaraang aralin.

Ang parehong bagay ay maaaring gawin para sa anumang bilang ng mga sistema. Halimbawa, isipin na mayroon tayong tatlong bit, at dini-increment natin ang tatlong bit modulo $8$ — ibig sabihin, iniisip natin ang tatlong bit bilang pag-encode ng isang numero sa pagitan ng $0$ at $7$ gamit ang binary notation, nagdadagdag ng $1,$ at pagkatapos ay kinukuha ang natitirang bahagi pagkatapos ng paghahati sa $8.$ Isang paraan upang ipahayag ang operasyong ito ay tulad nito:

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

Isa pang paraan upang ipahayag ito ay

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

sa pagpapalagay na napagkasunduan natin na ang mga numero mula $0$ hanggang $7$ sa loob ng mga ket ay tumutukoy sa three-bit binary encoding ng mga numerong iyon. Isang pangatlong opsyon ay ipahayag ang operasyong ito bilang isang matrix.

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Mga Independiyenteng Operasyon

Ngayon, ipagpalagay na mayroon tayong maraming sistema at nag-iisa-isang nagsasagawa tayo ng iba't ibang operasyon sa mga sistema nang hiwalay.

Halimbawa, sa ating karaniwang set-up ng dalawang sistema na $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ na may mga classical state set na $\Sigma$ at $\Gamma,$ ayon sa pagkakataon, ipagpalagay na nagsasagawa tayo ng isang operasyon sa $\mathsf{X}$ at, ganap na nang hiwalay, ng isa pang operasyon sa $\mathsf{Y}.$ Gaya ng alam natin mula sa nakaraang aralin, ang mga operasyong ito ay kinakatawan ng mga stochastic matrix — at upang maging tiyak, sabihin nating ang operasyon sa $\mathsf{X}$ ay kinakatawan ng matrix na $M$ at ang operasyon sa $\mathsf{Y}$ ay kinakatawan ng matrix na $N.$ Kaya, ang mga row at column ng $M$ ay may mga index na inilagay sa pagsasama-sama sa mga elemento ng $\Sigma$ at, gayundin, ang mga row at column ng $N$ ay tumutugma sa mga elemento ng $\Gamma.$

Isang natural na tanong ang itatanong: kung tiningnan natin ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ nang magkasama bilang isang, compound system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ ano ang matrix na kumakatawan sa pinagsama-samang epekto ng dalawang operasyon sa compound system na ito? Upang sagutin ang tanong na ito, kailangan muna nating ipakilala ang mga tensor product ng mga matrix, na katulad ng mga tensor product ng mga vector at kahulugang magkaparehong paraan.

Mga Tensor Product ng mga Matrix

Ang tensor product na $M\otimes N$ ng mga matrix na

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

at

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

ay ang matrix na

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

Katumbas nito, ang tensor product ng $M$ at $N$ ay tinukoy ng ekwasyon

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

na totoo para sa bawat pagpili ng $a,b\in\Sigma$ at $c,d\in\Gamma.$

Isa pang alternatibong paraan, ngunit katumbas, upang ilarawan ang $M\otimes N$ ay na ito ang natatanging matrix na nagsasangkot ng ekwasyon

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

para sa bawat posibleng pagpili ng mga vector na $\vert\phi\rangle$ at $\vert\psi\rangle,$ sa pagpapalagay na ang mga index ng $\vert\phi\rangle$ ay tumutugma sa mga elemento ng $\Sigma$ at ang mga index ng $\vert\psi\rangle$ ay tumutugma sa $\Gamma.$

Sinusunod ang kombensiyon na inilarawan dati para sa pag-order ng mga elemento ng mga Cartesian product, maaari rin nating isulat nang malinaw ang tensor product ng dalawang matrix tulad ng sumusunod:

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

Ang mga tensor product ng tatlo o higit pang matrix ay tinukoy sa magkaparehong paraan. Kung ang $M_0, \ldots, M_{n-1}$ ay mga matrix na ang mga index ay tumutugma sa mga classical state set na $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ ang tensor product na $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$ ay tinukoy ng kondisyon na

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

para sa bawat pagpili ng mga classical state na $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$ Bilang kahalili, ang mga tensor product ng tatlo o higit pang matrix ay maaaring tukuyin nang recursively, sa mga tuntunin ng mga tensor product ng dalawang matrix, katulad ng nakita natin para sa mga vector.

Ang tensor product ng mga matrix ay minsan sinasabing multiplicative dahil ang ekwasyon

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

ay palaging totoo, para sa anumang pagpili ng mga matrix na $M_0,\ldots,M_{n-1}$ at $N_0\ldots,N_{n-1},$ basta't ang mga produkto na $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$ ay may saysay.

Mga Independiyenteng Operasyon (tuloy)

Maaari na nating sagutin ang tanong na itinanong nang mas maaga: kung ang $M$ ay isang probabilistikong operasyon sa $\mathsf{X},$ ang $N$ ay isang probabilistikong operasyon sa $\mathsf{Y},$ at ang dalawang operasyon ay ginagawa nang hiwalay, ang nagresultang operasyon sa compound system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay ang tensor product na $M\otimes N.$

Kaya, para sa parehong mga probabilistikong estado at probabilistikong operasyon, ang mga tensor product ay kumakatawan sa kalayaan. Kung mayroon tayong dalawang sistema na $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ na nagsasariling nasa mga probabilistikong estado na $\vert\phi\rangle$ at $\vert\psi\rangle,$ ang compound system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nasa probabilistikong estado na $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle;$ at kung maglalapat tayo ng mga probabilistikong operasyon na $M$ at $N$ sa dalawang sistema nang hiwalay, ang nagresultang aksyon sa compound system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay inilarawan ng operasyong $M\otimes N.$

Tingnan natin ang isang halimbawa, na nagbabalik-tanaw sa isang probabilistikong operasyon sa isang bit mula sa nakaraang aralin: kung ang classical state ng bit ay $0,$ iniiwanan ito; at kung ang classical state ng bit ay $1,$ binaliktad ito sa $0$ na may probabilidad na $1/2.$ Napansin natin na ang operasyong ito ay kinakatawan ng matrix na

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Kung ang operasyong ito ay isinasagawa sa isang bit na $\mathsf{X},$ at isang NOT na operasyon ay (nang hiwalay) isinasagawa sa isang pangalawang bit na $\mathsf{Y},$ ang joint operation sa compound system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay may matrix representation na

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

Sa pagtingin, makikita nating ito ay isang stochastic matrix. Palagi itong magiging ganito: ang tensor product ng dalawa o higit pang stochastic matrix ay palaging stochastic.

Isang karaniwang sitwasyon na natutuklasan natin ay ang isa kung saan isang operasyon ang isinasagawa sa isang sistema at walang ginagawa sa isa pa. Sa ganoong kaso, sinusunod ang parehong pamamaraan, na isaisip na ang walang gagawin ay kinakatawan ng identity matrix. Halimbawa, ang pag-reset ng bit na $\mathsf{X}$ sa estado na $0$ at walang ginagawa sa $\mathsf{Y}$ ay nagbubunga ng probabilistikong (at sa katunayan deterministikong) operasyon sa $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na kinakatawan ng matrix na

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$