Quantum information

Handa na tayong harapin ang quantum information sa konteksto ng maraming sistema. Katulad ng natutunan natin sa nakaraang aralin tungkol sa isang sistema, ang mathematical na paglalarawan ng quantum information para sa maraming sistema ay halos kapareho ng probabilistikong kaso at gumagamit ng magkaparehong konsepto at teknik.

Mga quantum state

Ang maraming sistema ay maaaring tingnan nang sama-sama bilang isang pinagsanib na sistema. Napansin na natin ito sa probabilistikong setting, at ang quantum setting ay katulad din. Ang mga quantum state ng maraming sistema ay kinakatawan ng mga column vector na may complex number na mga entry at Euclidean norm na katumbas ng $1,$ katulad ng mga quantum state ng isang sistema. Sa kaso ng maraming sistema, ang mga entry ng mga vector na ito ay inilalagay sa katumbasan ng Cartesian product ng mga classical state set na nauugnay sa bawat isa sa mga indibidwal na sistema, dahil iyon ang classical state set ng pinagsanib na sistema.

Halimbawa, kung ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga qubit, ang classical state set ng pares ng mga qubit na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ na tiningnan nang sama-sama bilang isang sistema, ay ang Cartesian product na $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Sa pamamagitan ng pagkatawan ng mga pares ng binary na halaga bilang mga binary string na may habang dalawa, isinasangkot natin ang Cartesian product set sa set na $\{00,01,10,11\}.$ Ang mga sumusunod na vector ay lahat ng halimbawa ng mga quantum state vector ng pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Mayroon mga pagkakaiba-iba sa paraan ng pagpapahayag ng mga quantum state vector ng maraming sistema, at maaari tayong pumili ng alinmang naaangkop sa ating kagustuhan. Narito ang ilang halimbawa para sa unang quantum state vector sa itaas.

1. Maaari tayong gamitin ang katotohanan na $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (para sa anumang mga classical state na $a$ at $b$) upang isulat sa halip

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Maaari tayong piliing isulat nang malinaw ang tensor product symbol tulad nito:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Maaari tayong lagyan ng subscript ang mga ket upang ipakita kung paano sila tumutugma sa mga sistema na isinasaalang-alang, tulad nito:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Siyempre, maaari rin tayong isulat nang malinaw ang mga quantum state vector bilang mga column vector:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Depende sa konteksto, isa sa mga pagkakaiba-ibang ito ay maaaring mas angkop — ngunit lahat sila ay katumbas sa kahulugan na inilalarawan nila ang parehong vector.

Mga tensor product ng quantum state vector

Katulad ng sa mga probability vector, ang mga tensor product ng mga quantum state vector ay quantum state vector din — at muli, kumakatawan sila ng kalayaan sa pagitan ng mga sistema.

Sa mas detalyadong paliwanag, at nagsisimula sa kaso ng dalawang sistema, ipagpalagay nating ang $\vert \phi \rangle$ ay isang quantum state vector ng sistema na $\mathsf{X}$ at ang $\vert \psi \rangle$ ay isang quantum state vector ng sistema na $\mathsf{Y}.$ Ang tensor product na $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ na maaari ring isulat bilang $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ o bilang $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ ay isang quantum state vector ng pinagsanib na sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Muli, tinutukoy natin ang state ng ganitong anyo bilang isang product state.

Sa simpleng salita, kapag ang isang pares ng sistema na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nasa product state na $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ maaari nating bigyang-kahulugan ito na ang $\mathsf{X}$ ay nasa quantum state na $\vert \phi \rangle,$ ang $\mathsf{Y}$ ay nasa quantum state na $\vert \psi \rangle,$ at ang mga state ng dalawang sistema ay walang kaugnayan sa isa't isa.

Ang katotohanan na ang tensor product vector na $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ ay isang quantum state vector ay naaayon sa Euclidean norm na multiplicative kaugnay ng mga tensor product:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Dahil ang $\vert \phi \rangle$ at $\vert \psi \rangle$ ay mga quantum state vector, mayroon tayong $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ at $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ at samakatuwid $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ kaya ang $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ ay isang quantum state vector din.

Naaangkop ito sa mahigit dalawang sistema. Kung ang $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ ay mga quantum state vector ng mga sistema na $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ ang $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ ay isang quantum state vector na kumakatawan ng isang product state ng pinagsanib na sistema $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Muli, alam natin na ito ay isang quantum state vector dahil

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Mga entangled state

Hindi lahat ng quantum state vector ng maraming sistema ay mga product state. Halimbawa, ang quantum state vector na

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

ng dalawang qubit ay hindi isang product state. Upang patunayan ito, maaari tayong sundin ang parehong argumento na ginamit natin sa nakaraang seksyon para sa isang probabilistikong state. Ibig sabihin, kung ang $(1)$ ay isang product state, magkakaroon ng mga quantum state vector na $\vert\phi\rangle$ at $\vert\psi\rangle$ kung saan

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Ngunit kung gayon, kinakailangang

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

na nagpapahiwatig na $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ o $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (o pareho). Sumasalungat ito sa katotohanan na

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

at

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

ay parehong hindi zero. Kaya, ang quantum state vector na $(1)$ ay kumakatawan ng isang ugnayan sa pagitan ng dalawang sistema, at partikular na sinasabi nating ang mga sistema ay entangled.

Pansinin na ang tiyak na halaga na $1/\sqrt{2}$ ay hindi mahalaga sa argumentong ito — ang mahalaga lamang ay hindi zero ang halagang ito. Kaya, halimbawa, ang quantum state na

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

ay hindi rin isang product state, sa pamamagitan ng parehong argumento.

Ang entanglement ay isang pangunahing katangian ng quantum information na tatalakayin nang mas detalyado sa isang susunod na aralin. Maaaring maging kumplikado ang entanglement, lalo na para sa mga uri ng maingay na quantum state na maaaring ilarawan ng mga density matrix (na tatalakayin sa kurso ng General formulation of quantum information, na siyang ikatlong kurso sa serye ng Understanding Quantum Information and Computation). Para sa mga quantum state vector, gayunpaman, ang entanglement ay katumbas ng ugnayan: anumang quantum state vector na hindi isang product state ay kumakatawan ng isang entangled state.

Sa kabilang banda, ang quantum state vector na

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

ay isang halimbawa ng isang product state.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Kaya, ang state na ito ay hindi entangled.

Mga Bell state

Titingnan natin ngayon ang ilang mahahalagang halimbawa ng mga multi-qubit quantum state, simula sa mga Bell state. Ito ang sumusunod na apat na two-qubit state:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Ang mga Bell state ay ipinangalan bilang pagpaparangal kay John Bell. Pansinin na ang parehong argumento na nagpapatunay na ang $\vert\phi^+\rangle$ ay hindi isang product state ay nagpapakita rin na wala sa iba pang mga Bell state ang mga product state: lahat ng apat na Bell state ay kumakatawan ng entanglement sa pagitan ng dalawang qubit.

Ang koleksyon ng lahat ng apat na Bell state na

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

ay kilala bilang Bell basis. Tapat sa pangalan nito, ito ay isang basis; anumang quantum state vector ng dalawang qubit, o anumang complex vector na may mga entry na tumutugma sa apat na classical state ng dalawang bit, ay maaaring ipahayag bilang linear combination ng apat na Bell state. Halimbawa,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Mga GHZ at W state

Susunod ay titingnan natin ang dalawang kawili-wiling halimbawa ng mga state ng tatlong qubit. Ang unang halimbawa ay ang GHZ state (ipinangalan bilang pagpaparangal kina Daniel Greenberger, Michael Horne, at Anton Zeilinger, na unang nag-aral ng ilan sa mga katangian nito):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Ang pangalawang halimbawa ay ang tinatawag na W state:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Wala sa mga state na ito ang isang product state, ibig sabihin, hindi sila maaaring isulat bilang tensor product ng tatlong qubit quantum state vector. Susuriin natin ang parehong mga state na ito sa ibang pagkakataon kapag tinalakay natin ang mga partial measurement ng mga quantum state ng maraming sistema.

Mga karagdagang halimbawa

Ang mga halimbawa ng mga quantum state ng maraming sistema na nakita natin hanggang ngayon ay mga state ng dalawa o tatlong qubit, ngunit maaari rin tayong isaalang-alang ang mga quantum state ng maraming sistema na may iba't ibang classical state set.

Halimbawa, narito ang isang quantum state ng tatlong sistema, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ at $\mathsf{Z},$ kung saan ang classical state set ng $\mathsf{X}$ ay ang binary alphabet (kaya ang $\mathsf{X}$ ay isang qubit) at ang classical state set ng $\mathsf{Y}$ at $\mathsf{Z}$ ay $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

At narito ang isang halimbawa ng isang quantum state ng tatlong sistema, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ at $\mathsf{Z},$ na lahat ay may parehong classical state set na $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Ang mga sistema na may classical state set na $\{0,1,2\}$ ay madalas na tinatawag na trit o (kung ipinagpapalagay na maaari silang nasa quantum state) qutrit. Ang termino na qudit ay tumutukoy sa isang sistema na may classical state set na $\{0,\ldots,d-1\}$ para sa isang arbitrary na pagpili ng $d.$

Mga Sukat ng mga Quantum na Estado

Tinalakay na sa nakaraang aralin ang mga sukat sa standard na batayan ng mga quantum na estado ng mga indibidwal na sistema: kung ang isang sistema na may classical na hanay ng mga estado $\Sigma$ ay nasa quantum na estado na kinakatawan ng vector na $\vert \psi \rangle,$ at sinusukat ang sistemang ito (gamit ang isang sukat sa standard na batayan), ang bawat classical na estado $a\in\Sigma$ ay lalabas na may probabilidad na $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Sinasabi nito sa atin kung ano ang mangyayari kapag mayroon tayong quantum na estado ng maraming sistema at pinili nating sukatin ang buong pinagsanib na sistema, na katumbas ng pagsukat sa lahat ng mga sistema.

Upang maipahayag ito nang malinaw, ipagpalagay natin na ang $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ ay mga sistema na may classical na hanay ng mga estado na $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ ayon sa pagkakasunod. Maaari nating tingnan ang $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ nang sama-sama bilang isang sistema na ang classical na hanay ng mga estado ay ang Cartesian product na $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Kung ang isang quantum na estado ng sistemang ito ay kinakatawan ng quantum state vector na $\vert\psi\rangle,$ at sinusukat ang lahat ng mga sistema, ang bawat posibleng resulta $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ ay lalabas na may probabilidad na $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Halimbawa, kung ang mga sistema $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay magkasamang nasa quantum na estado na

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

ang pagsukat sa parehong sistema gamit ang mga sukat sa standard na batayan ay magbubunga ng resulta $(0,\heartsuit)$ na may probabilidad na $9/25$ at ang resulta $(1,\spadesuit)$ na may probabilidad na $16/25.$

Mga Parsyal na Sukat

Ngayon, tingnan natin ang sitwasyon kung saan mayroon tayong maraming sistema sa ilang quantum na estado, at sinusukat natin ang isang tamang subset ng mga sistema. Tulad ng dati, magsisimula tayo sa dalawang sistema $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ na may classical na hanay ng mga estado na $\Sigma$ at $\Gamma,$ ayon sa pagkakasunod.

Sa pangkalahatan, ang isang quantum state vector ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay may anyong

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

kung saan ang $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ ay isang koleksyon ng mga kumplikadong numero na nagsasatisfy ng

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

na katumbas ng $\vert \psi \rangle$ na isang unit vector.

Alam na natin, mula sa talakayan sa itaas, na kung parehong sinusukat ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y},$ ang bawat posibleng resulta $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ ay lalabas na may probabilidad na

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Kung ipagpalagay naman nating ang unang sistema lamang na $\mathsf{X}$ ang sinusukat, ang probabilidad para sa bawat resulta $a\in\Sigma$ na lumabas ay dapat na katumbas ng

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Ito ay naaayon sa ating nakita sa probabilistikong setting, pati na rin sa ating kasalukuyang pag-unawa sa pisika: ang probabilidad para sa bawat resulta na lumabas kapag sinusukat ang $\mathsf{X}$ ay hindi maaaring depende sa kung sinukat din o hindi ang $\mathsf{Y},$ dahil hahayaan nito ang komunikasyong mas mabilis kaysa sa liwanag.

Pagkataong makuha ang isang partikular na resulta $a\in\Sigma$ ng isang sukat sa standard na batayan ng $\mathsf{X},$ natural na inaasahan natin na ang quantum na estado ng $\mathsf{X}$ ay magbabago upang maging katumbas ng $\vert a\rangle,$ tulad ng sa mga indibidwal na sistema. Pero ano ang mangyayari sa quantum na estado ng $\mathsf{Y}$?

Upang masagot ang tanong na ito, maaari muna nating ipahayag ang vector na $\vert\psi\rangle$ bilang

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

kung saan

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

para sa bawat $a\in\Sigma.$ Dito ay sinusundan natin ang parehong pamamaraan tulad ng sa probabilistikong kaso, ng pag-isolate ng mga standard basis state ng sistema na sinusukat. Ang probabilidad para sa sukat sa standard na batayan ng $\mathsf{X}$ na magbigay ng bawat resulta $a$ ay ang sumusunod:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

At, bilang resulta ng sukat sa standard na batayan ng $\mathsf{X}$ na nagbibigay ng resulta $a,$ ang quantum na estado ng pares $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ nang magkasama ay nagiging

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Ibig sabihin, ang estado ay "nag-collapse" tulad ng sa kaso ng isang sistema, ngunit hanggang sa kinakailangan lamang para maging konsistente ang estado sa pagsukat ng $\mathsf{X}$ na nagbunga ng resulta $a.$

Sa simpleng salita, ang $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ ay kumakatawan sa bahagi ng $\vert \psi\rangle$ na konsistente sa pagsukat ng $\mathsf{X}$ na nagbubunga ng resulta $a.$ Ino-normalize natin ang vector na ito — sa pamamagitan ng paghahati nito sa Euclidean norm nito, na katumbas ng $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — upang makakuha ng isang wastong quantum state vector na may Euclidean norm na katumbas ng $1.$ Ang hakbang ng normalisasyong ito ay katulad ng ginawa natin sa probabilistikong setting nang hatiin natin ang mga vector sa kabuuan ng kanilang mga entry upang makakuha ng isang probability vector.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang estado ng dalawang qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ mula sa simula ng seksyon:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Upang maunawaan kung ano ang mangyayari kapag sinukat ang unang sistema $\mathsf{X},$ magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagsulat ng

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Makikita natin ngayon, batay sa paglalarawan sa itaas, na ang probabilidad para sa pagsukat na magbunga ng resulta $0$ ay

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

kung saan ang estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nagiging

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

at ang probabilidad para sa pagsukat na magbunga ng resulta $1$ ay

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

kung saan ang estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nagiging

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

Ang parehong teknik, na ginagamit nang simetriko, ay naglalarawan ng nangyayari kung ang pangalawang sistema $\mathsf{Y}$ ang sinusukat sa halip na ang una. Sa pagkakataong ito ay isusulat natin ang vector na $\vert \psi \rangle$ bilang

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Ang probabilidad na ang pagsukat ng $\mathsf{Y}$ ay magbigay ng resulta $0$ ay

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

kung saan ang estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nagiging

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

at ang probabilidad na ang resulta ng pagsukat ay $1$ ay

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

kung saan ang estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nagiging

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Puna sa mga Reduced na Quantum na Estado

Ipinapakita ng nakaraang halimbawa ang isang limitasyon ng pinasimpleng paglalarawan ng quantum na impormasyon, na wala itong paraan upang ilarawan ang reduced (o marginal) na quantum na estado ng isa lamang sa dalawang sistema (o ng isang tamang subset ng anumang bilang ng mga sistema) tulad ng sa probabilistikong kaso.

Partikular na, para sa isang probabilistikong estado ng dalawang sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na inilarawan ng isang probability vector na

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

maaari nating isulat ang reduced o marginal na probabilistikong estado ng $\mathsf{X}$ nang mag-isa bilang

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Para sa mga quantum state vector, walang katulad na paraan upang gawin ito. Sa partikular, para sa isang quantum state vector na

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

ang vector na

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

sa pangkalahatan ay hindi isang quantum state vector, at hindi nito wastong kinakatawan ang konsepto ng isang reduced o marginal na estado.

Ang maaari nating gawin sa halip ay lumingon sa konsepto ng isang density matrix, na tinalakay sa kursong General formulation of quantum information. Binibigyan tayo ng mga density matrix ng isang makabuluhang paraan upang tukuyin ang mga reduced na quantum na estado na katulad ng probabilistikong setting.

Mga Parsyal na Sukat para sa Tatlo o Higit pang mga Sistema

Ang mga parsyal na sukat para sa tatlo o higit pang mga sistema, kung saan ang ilang tamang subset ng mga sistema ay sinusukat, ay maaaring bawasan sa kaso ng dalawang sistema sa pamamagitan ng paghahati ng mga sistema sa dalawang grupo — ang mga sinusukat at ang mga hindi. Narito ang isang partikular na halimbawa na nagpapakita kung paano ito magagawa. Partikular na ipinapakita nito kung paano ang pag-subscript ng mga ket sa pamamagitan ng mga pangalan ng mga sistemang kinakatawan nila ay maaaring maging kapaki-pakinabang — sa kasong ito dahil nagbibigay ito sa atin ng simpleng paraan upang ilarawan ang mga permutasyon ng mga sistema.

Para sa halimbawang ito, isasaalang-alang natin ang isang quantum na estado ng isang 5-tuple ng mga sistema $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ kung saan lahat ng limang sistemang ito ay may parehong classical na hanay ng mga estado na $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Isasaalang-alang natin ang sitwasyon kung saan ang una at ikatlong sistema ay sinusukat, at ang natitirang mga sistema ay iniwan nang walang bago.

Sa konsepto, walang pundamental na pagkakaiba sa pagitan ng sitwasyong ito at ng isa na sinusukat ang isa sa dalawang sistema. Sa kasamaang-palad, dahil ang mga sinusukat na sistema ay nakakabit sa mga hindi sinusukat na sistema, nahaharap tayo sa isang hadlang sa pagsulat ng mga expression na kailangan upang gawin ang mga kalkulasyong ito.

Isang paraan upang magpatuloy, tulad ng iminungkahi sa itaas, ay ang pag-subscript ng mga ket upang ipahiwatig kung aling mga sistema ang tinutukoy nila. Binibigyan tayo nito ng paraan upang masubaybayan ang mga sistema habang binabago natin ang pagkakasunod ng mga ket, na ginagawang mas simple ang matematika.

Una, ang quantum state vector sa itaas ay maaari ding isulat bilang

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Walang nagbago, maliban na ang bawat ket ngayon ay may subscript na nagpapahiwatig kung aling sistema ito tumutugma. Dito ay ginamit natin ang mga subscript na $0,\ldots,4,$ ngunit ang mga pangalan mismo ng mga sistema ay maaari ding gamitin (sa isang sitwasyon kung saan mayroon tayong mga pangalan ng sistema tulad ng $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ at $\mathsf{Z},$ halimbawa).

Maaari na nating muling ayusin ang mga ket at kolektahin ang mga termino tulad ng sumusunod:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Ang mga tensor product ay ipinahiwatig pa rin, kahit gamitin ang mga panaklong, tulad ng sa halimbawang ito.

Upang maging malinaw tungkol sa pagbabago ng pagkakasunod ng mga ket, ang mga tensor product ay hindi commutative: kung ang $\vert \phi\rangle$ at $\vert \pi \rangle$ ay mga vector, sa pangkalahatan, ang $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ ay naiiba sa $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ at gayundin para sa mga tensor product ng tatlo o higit pang mga vector. Halimbawa, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ ay isang naiibang vector kaysa sa $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Ang muling pag-aayos ng mga ket tulad ng ginawa natin ay hindi dapat bigyang-kahulugan na nagmumungkahi ng kabaligtaran.

Sa halip, para sa layunin ng pagsasagawa ng mga kalkulasyon, gumagawa lamang tayo ng desisyon na mas maginhawa ang pagtitipon ng mga sistema bilang $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ kaysa sa $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Ang mga subscript sa mga ket ay nagsisilbing gabay sa lahat ng ito, at malaya tayong bumalik sa orihinal na pagkakasunod sa ibang pagkakataon kung nais natin.

Makikita natin ngayon na, kung sinusukat ang mga sistema $\mathsf{X}_4$ at $\mathsf{X}_2,$ ang mga (hindi-zero) na probabilidad ng iba't ibang resulta ay ang mga sumusunod:

• Ang resulta ng pagsukat na $(\heartsuit,\diamondsuit)$ ay nangyayari na may probabilidad na

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Ang resulta ng pagsukat na $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ ay nangyayari na may probabilidad na

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Ang resulta ng pagsukat na $(\spadesuit,\clubsuit)$ ay nangyayari na may probabilidad na

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Kung ang resulta ng pagsukat ay $(\heartsuit,\diamondsuit),$ halimbawa, ang nagresultang estado ng ating limang sistema ay nagiging

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Dito, para sa panghuling sagot, ay bumalik tayo sa orihinal na pagkakasunod ng mga sistema, upang ilarawan lamang na kaya nating gawin ito. Para sa iba pang posibleng resulta ng pagsukat, ang estado ay maaaring matukoy sa katulad na paraan.

Sa wakas, narito ang dalawang halimbawa na ipinangako natin nang mas maaga, simula sa GHZ state na

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Kung sinusukat lamang ang unang sistema, makukuha natin ang resulta $0$ na may probabilidad na $1/2,$ kung saan ang estado ng tatlong qubit ay nagiging $\vert 000\rangle;$ at makukuha rin natin ang resulta $1$ na may probabilidad na $1/2,$ kung saan ang estado ng tatlong qubit ay nagiging $\vert 111\rangle.$

Para sa isang W state naman, ipagpalagay muli na ang unang sistema lamang ang sinusukat, magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagsulat ng estado na ito tulad nito:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

Ang probabilidad na ang pagsukat ng unang qubit ay magbubunga ng resulta 0 ay katumbas ng

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

at sa kondisyon na ang pagsukat ay nagbubunga ng resultang ito, ang quantum na estado ng tatlong qubit ay nagiging

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

Ang probabilidad na ang resulta ng pagsukat ay 1 ay $1/3,$ kung saan ang estado ng tatlong qubit ay nagiging $\vert 100\rangle.$

Ang W state ay simetriko, sa diwa na hindi ito nagbabago kapag binago natin ang pagkakasunod ng mga qubit. Kaya naman ay makakakuha tayo ng katulad na paglalarawan para sa pagsukat ng pangalawa o ikatlong qubit sa halip na ang una.

Mga Unitary na Operasyon

Sa prinsipyo, ang anumang unitary matrix na ang mga row at column ay naaayon sa mga klasikal na estado ng isang sistema ay kumakatawan sa isang wastong quantum na operasyon sa sistemang iyon. Totoo rin ito para sa mga compound na sistema, na ang mga klasikal na estado ay Cartesian product ng mga klasikal na estado ng bawat indibidwal na sistema.

Kung titingnan natin ang dalawang sistema, kung ang $\mathsf{X}$ ay isang sistema na may klasikal na estado na $\Sigma,$ at ang $\mathsf{Y}$ ay isang sistema na may klasikal na estado na $\Gamma,$ kung gayon ang klasikal na estado ng joint system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay $\Sigma\times\Gamma.$ Kaya ang mga quantum na operasyon sa joint system na ito ay kinakatawan ng mga unitary matrix na ang mga row at column ay naaayon sa set na $\Sigma\times\Gamma.$ Ang pagkakasunud-sunod ng mga row at column ng mga matrix na ito ay kapareho ng pagkakasunud-sunod na ginagamit para sa mga quantum state vector ng sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Halimbawa, ipagpalagay na $\Sigma = \{1,2,3\}$ at $\Gamma = \{0,1\},$ at tandaan na ang pamantayang kasunduan para sa pag-aayos ng mga elemento ng Cartesian product na $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ ay ganito:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Narito ang isang halimbawa ng unitary matrix na kumakatawan sa isang operasyon sa $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Hindi espesyal ang unitary matrix na ito — halimbawa lang ito. Para mapatunayan na unitary ang $U,$ sapat na kalkulahin at suriin na $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ halimbawa. Bilang alternatibo, maaari nating suriin na ang mga row (o ang mga column) ay orthonormal, na mas madaling gawin sa kasong ito dahil sa partikular na anyo ng matrix na $U.$

Ang aksyon ng $U$ sa standard basis vector na $\vert 1, 1 \rangle,$ halimbawa, ay

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

na makikita natin sa pamamagitan ng pagsusuri sa ikalawang column ng $U,$ na isinasaalang-alang ang ating pagkakasunud-sunod ng set na $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Tulad ng anumang matrix, maaaring ipahayag ang $U$ gamit ang Dirac notation, na mangangailangan ng 20 terminong para sa 20 nonzero na entry ng $U.$ Kung isusulat natin ang lahat ng mga terminong iyon, sa halip na isang $6\times 6$ na matrix, magiging kalat-kalat ito at ang mga pattern na malinaw sa matrix expression ay malamang na hindi magiging kasinglinaw. Sa madaling salita, hindi palaging pinakamainam na gamitin ang Dirac notation.

Ang mga unitary na operasyon sa tatlo o higit pang mga sistema ay gumagana sa katulad na paraan, na ang mga unitary matrix ay may mga row at column na naaayon sa Cartesian product ng mga klasikal na estado ng mga sistema. Nakita na natin ang isang halimbawa sa araling ito: ang three-qubit na operasyon

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

kung saan ang mga numero sa mga bra at ket ay nangangahulugang ang kanilang $3$-bit na binary encoding. Bukod sa pagiging deterministic na operasyon, ito rin ay isang unitary na operasyon. Ang mga operasyong parehong deterministic at unitary ay tinatawag na reversible na mga operasyon. Ang conjugate transpose ng matrix na ito ay maaaring isulat ng ganito:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Kumakatawan ito sa kabaligtaran, o sa matematikong termino ang inverse, ng orihinal na operasyon — na inaasahan natin mula sa conjugate transpose ng isang unitary matrix. Makakakita tayo ng iba pang mga halimbawa ng mga unitary na operasyon sa maraming sistema habang nagpapatuloy ang aralin.

Mga Unitary na Operasyong Ginagawa nang Hiwalay sa Bawat Sistema

Kapag ang mga unitary na operasyon ay ginagawa nang hiwalay sa isang koleksyon ng mga indibidwal na sistema, ang pinagsanib na aksyon ng mga independyenteng operasyong ito ay inilarawan ng tensor product ng mga unitary matrix na kumakatawan sa kanila. Ibig sabihin, kung ang $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ ay mga quantum na sistema, at ang $U_0,\ldots, U_{n-1}$ ay mga unitary matrix na kumakatawan sa mga operasyon sa mga sistemang ito, at ang mga operasyon ay ginagawa nang hiwalay sa mga sistema, kung gayon ang pinagsanib na aksyon sa $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ ay kinakatawan ng matrix na $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Muli, makikita natin na ang probabilistic at quantum na mga setting ay magkakatulad sa puntong ito.

Inaasahan ng isa, mula sa pagbabasa ng nakaraang talata, na ang tensor product ng anumang koleksyon ng mga unitary matrix ay unitary. Totoo nga ito, at maaari nating patunayan ito tulad ng sumusunod.

Pansinin muna na ang conjugate transpose na operasyon ay nagsasatisfy ng

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

para sa anumang piniling mga matrix na $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Maaari itong masuri sa pamamagitan ng pagbabalik sa kahulugan ng tensor product at ng conjugate transpose, at pagsuri na ang bawat entry ng magkabilang panig ng equation ay magkaayon. Nangangahulugan ito na

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Dahil ang tensor product ng mga matrix ay multiplicative, makikita natin na

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Dito, sinulat natin ang $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ upang tumukoy sa mga matrix na kumakatawan sa identity na operasyon sa mga sistema $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ ibig sabihin, ang mga ito ay mga identity matrix na ang laki ay naaayon sa bilang ng mga klasikal na estado ng $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Sa wakas, ang tensor product na $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ ay katumbas ng identity matrix na ang bilang ng mga row at column ay katumbas ng produkto ng bilang ng mga row at column ng mga matrix na $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Ang mas malaking identity matrix na ito ay kumakatawan sa identity na operasyon sa joint system na $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Sa buod, mayroon tayong sumusunod na serye ng mga pagkapantay:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Kaya naman, maaari nating tapusin na ang $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ ay unitary.

Isang mahalagang sitwasyon na madalas na nangyayari ay ang isa kung saan ang isang unitary na operasyon ay inilalapat sa isang sistema lamang — o isang wastong subset ng mga sistema — sa loob ng isang mas malaking joint system. Halimbawa, ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga sistema na maaari nating tingnan nang magkasama bilang isang single compound system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ at nagsasagawa tayo ng operasyon sa sistema lamang na $\mathsf{X}.$ Upang maging tiyak, ipagpalagay natin na ang $U$ ay isang unitary matrix na kumakatawan sa isang operasyon sa $\mathsf{X},$ upang ang mga row at column nito ay nailagay sa kaugnayan sa mga klasikal na estado ng $\mathsf{X}.$

Ang pagsasabi na ginagawa natin ang operasyong kinakatawan ng $U$ sa sistema lamang na $\mathsf{X}$ ay nagpapahiwatig na walang ginagawa sa $\mathsf{Y},$ ibig sabihin, hiwalay nating ginagawa ang $U$ sa $\mathsf{X}$ at ang identity na operasyon sa $\mathsf{Y}.$ Ibig sabihin, ang "walang gawin" sa $\mathsf{Y}$ ay katumbas ng pagsasagawa ng identity na operasyon sa $\mathsf{Y},$ na kinakatawan ng identity matrix na $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Dito, sa pamamagitan ng paraan, ang subscript na $\mathsf{Y}$ ay nagsasabi sa atin na ang $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ ay tumutukoy sa identity matrix na may bilang ng mga row at column na naaayon sa klasikal na estado ng $\mathsf{Y}.$) Ang operasyon sa $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na nakukuha kapag ginawa natin ang $U$ sa $\mathsf{X}$ at walang ginagawa sa $\mathsf{Y}$ ay kinakatawan ng unitary matrix na

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Halimbawa, kung ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga qubit, ang pagsasagawa ng Hadamard na operasyon sa $\mathsf{X}$ at walang gagawin sa $\mathsf{Y}$ ay katumbas ng pagsasagawa ng operasyon

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

sa joint system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Sa katulad na paraan, kung ang operasyong kinakatawan ng unitary matrix na $U$ ay inilalapat sa $\mathsf{Y}$ at walang ginagawa sa $\mathsf{X},$ ang resultang operasyon sa $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay kinakatawan ng unitary matrix na

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Halimbawa, kung isasaalang-alang natin muli ang sitwasyon kung saan ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga qubit at ang $U$ ay isang Hadamard na operasyon, ang resultang operasyon sa $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay kinakatawan ng matrix na

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Hindi lahat ng unitary na operasyon sa isang koleksyon ng mga sistema ay maaaring isulat bilang tensor product ng mga unitary na operasyon tulad nito, tulad ng hindi lahat ng quantum state vector ng mga sistemang ito ay isang product state. Halimbawa, ang swap na operasyon ni ang controlled-NOT na operasyon sa dalawang qubit, na inilarawan sa ibaba, ay hindi maaaring ipahayag bilang tensor product ng mga unitary na operasyon.

Ang Swap na Operasyon

Upang tapusin ang aralin, tingnan natin ang dalawang klase ng mga halimbawa ng mga unitary na operasyon sa maraming sistema, simula sa swap na operasyon.

Ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga sistema na may parehong klasikal na estado na $\Sigma.$ Ang swap na operasyon sa pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay ang operasyong nagpapalitan ng mga nilalaman ng dalawang sistema, ngunit kung hindi man ay iniiiwan ang mga sistema nang walang pagbabago — upang ang $\mathsf{X}$ ay mananatili sa kaliwa at ang $\mathsf{Y}$ ay mananatili sa kanan. Itatawag natin itong $\operatorname{SWAP},$ at ito ay gumagana ng ganito para sa bawat pagpipilian ng mga klasikal na estado $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Isang paraan upang isulat ang matrix na nauugnay sa operasyong ito gamit ang Dirac notation ay ang sumusunod:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Maaaring hindi agad malinaw na ang matrix na ito ay kumakatawan sa $\operatorname{SWAP},$ ngunit maaari nating suriin na ito ay nagsasatisfy sa kondisyong $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ para sa bawat pagpipilian ng mga klasikal na estado $a,b\in\Sigma.$ Bilang isang simpleng halimbawa, kapag ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga qubit, makikita natin na

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Mga Controlled-Unitary na Operasyon

Ngayon ipagpalagay natin na ang $\mathsf{Q}$ ay isang qubit at ang $\mathsf{R}$ ay isang arbitrary na sistema, na may anumang klasikal na estado na nais natin. Para sa bawat unitary na operasyon $U$ na kumikilos sa sistema $\mathsf{R},$ ang isang controlled-$U$ na operasyon ay isang unitary na operasyon sa pares na $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ na tinukoy ng ganito:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Halimbawa, kung ang $\mathsf{R}$ ay qubit din, at isasaalang-alang natin ang Pauli $X$ na operasyon sa $\mathrm{R},$ kung gayon ang isang controlled-$X$ na operasyon ay ibinibigay ng

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Nakaranas na tayo ng operasyong ito sa konteksto ng klasikal na impormasyon at probabilistic na mga operasyon kanina sa aralin. Ang pagpapalit ng Pauli $X$ na operasyon sa $\mathsf{R}$ ng $Z$ na operasyon ay nagbibigay ng operasyong ito:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Kung sa halip ay gagawin nating dalawang qubit ang $\mathsf{R},$ at kukuha tayo ng $U$ bilang swap na operasyon sa pagitan ng dalawang qubit na ito, makukuha natin ang operasyong ito:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ang operasyong ito ay kilala rin bilang Fredkin na operasyon, o mas karaniwang, Fredkin gate. Ang aksyon nito sa mga standard basis state ay maaaring ilarawan ng ganito:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Sa wakas, ang isang controlled-controlled-NOT na operasyon, na maaari nating itawag na $CCX,$ ay tinatawag na Toffoli na operasyon o Toffoli gate. Ang representasyon ng matrix nito ay ganito ang hitsura:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Maaari rin nating ipahayag ito gamit ang Dirac notation ng ganito:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$