Mga inner product at projection

Para mas maging handa sa pag-explore ng mga kakayahan at limitasyon ng quantum circuits, ipinapakilala natin ngayon ang ilang karagdagang konsepto sa matematika — ang inner product sa pagitan ng mga vector (at ang koneksyon nito sa Euclidean norm), ang mga konsepto ng orthogonality at orthonormality para sa mga set ng vector, at ang mga projection matrix, na magbibigay-daan sa atin na ipakilala ang isang kapaki-pakinabang na generalisasyon ng standard basis measurements.

Mga inner product

Tandaan na kapag ginagamit natin ang Dirac notation para tukuyin ang isang arbitrary na column vector bilang ket, tulad ng

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

ang katumbas na bra vector ay ang conjugate transpose ng vector na ito:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Bilang alternatibo, kung mayroon tayong classical state set na $\Sigma$ sa isip, at isinasalita natin ang isang column vector bilang ket, tulad ng

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

ang katumbas na row vector (o bra vector) ay ang conjugate transpose

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

Mayroon din tayong resulta na ang product ng isang bra vector at isang ket vector, na tinitingnan bilang mga matrix na may iisang row o iisang column, ay nagreresulta sa isang scalar. Partikular, kung mayroon tayong dalawang column vector

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

kung kaya ang row vector na $\langle \psi \vert$ ay gaya ng nasa equation $(1),$ ay

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

Bilang alternatibo, kung mayroon tayong dalawang column vector na nasulat bilang

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

kung kaya ang $\langle \psi \vert$ ay ang row vector $(2),$ mahahanap natin na

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

kung saan ang huling pagkakapantay-pantay ay sumusunod mula sa obserbasyon na $\langle a \vert a \rangle = 1$ at $\langle a \vert b \rangle = 0$ para sa mga classical state na $a$ at $b$ na nagsasatisfy ng $a\neq b.$

Ang value na $\langle \psi \vert \phi \rangle$ ay tinatawag na inner product sa pagitan ng mga vector na $\vert \psi\rangle$ at $\vert \phi \rangle.$ Ang mga inner product ay kritikal na mahalaga sa quantum information at computation; hindi tayo malayo sa pag-unawa ng quantum information sa antas ng matematika nang wala ang mga ito.

Narito ang ilang pangunahing katotohanan tungkol sa mga inner product ng vector.

1. Kaugnayan sa Euclidean norm. Ang inner product ng anumang vector

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   sa kanyang sarili ay

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   Kaya, ang Euclidean norm ng isang vector ay maaari ring isalita bilang

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   Pansinin na ang Euclidean norm ng isang vector ay laging isang non-negatibong tunay na numero. Bukod dito, ang tanging paraan para ang Euclidean norm ng isang vector ay maging zero ay kung ang bawat isa sa mga entry nito ay zero, ibig sabihin, ang vector ay ang zero vector.

   Maaari nating ibuod ang mga obserbasyon na ito tulad nito: para sa bawat vector na $\vert \psi \rangle$ ay mayroon tayong

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   kung saan ang $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ kung at tanging kung ang $\vert \psi \rangle = 0.$ Ang property na ito ng inner product ay minsan tinatawag na positive definiteness.

2. Conjugate symmetry. Para sa anumang dalawang vector

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   mayroon tayong

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   at samakatuwid

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. Linearity sa ikalawang argument (at conjugate linearity sa una). Ipagpalagay na ang $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ at $\vert \phi_2 \rangle$ ay mga vector at ang $\alpha_1$ at $\alpha_2$ ay mga complex number. Kung tatukuyin natin ang bagong vector

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   ay

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   Ibig sabihin, ang inner product ay linear sa ikalawang argument. Maaari itong mapatunayan sa pamamagitan ng mga formula sa itaas o simpleng pagtukoy na ang matrix multiplication ay linear sa bawat argument (at partikular sa ikalawang argument).

   Ang pagsasama ng katotohanang ito kasama ang conjugate symmetry ay nagpapakita na ang inner product ay conjugate linear sa unang argument. Ibig sabihin, kung ang $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ at $\vert \phi \rangle$ ay mga vector at ang $\alpha_1$ at $\alpha_2$ ay mga complex number, at tinutukuyin natin ang

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   ay

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. Ang Cauchy–Schwarz inequality. Para sa bawat pagpipilian ng mga vector na $\vert \phi \rangle$ at $\vert \psi \rangle$ na may parehong bilang ng mga entry, mayroon tayong

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   Ito ay isang napaka-kapaki-pakinabang na inequality na malawakang ginagamit sa quantum information (at sa marami pang ibang paksa ng pag-aaral).

Mga orthogonal at orthonormal na set

Ang dalawang vector na $\vert \phi \rangle$ at $\vert \psi \rangle$ ay tinatawag na orthogonal kung ang kanilang inner product ay zero:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

Sa geometrika na paraan, maaari nating isipin ang mga orthogonal na vector bilang mga vector na nasa tamang anggulo sa isa't isa.

Ang isang set ng mga vector na $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ ay tinatawag na orthogonal set kung ang bawat vector sa set ay orthogonal sa bawat ibang vector sa set. Ibig sabihin, orthogonal ang set na ito kung

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

para sa lahat ng pagpipilian ng $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ kung saan ang $j\neq k.$

Ang isang set ng mga vector na $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ ay tinatawag na orthonormal set kung ito ay isang orthogonal set at, bukod dito, ang bawat vector sa set ay isang unit vector. Bilang alternatibo, ang set na ito ay isang orthonormal set kung mayroon tayong

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

para sa lahat ng pagpipilian ng $j,k\in\{1,\ldots,m\}.$

Sa wakas, ang isang set na $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ ay isang orthonormal basis kung, bukod sa pagiging orthonormal set, ito ay nagbubuo ng isang basis. Katumbas ito ng $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ na isang orthonormal set at ang $m$ ay katumbas ng dimensyon ng espasyo kung saan kinuha ang $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle.$

Halimbawa, para sa anumang classical state set na $\Sigma,$ ang set ng lahat ng standard basis vector

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

ay isang orthonormal basis. Ang set na $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ ay isang orthonormal basis para sa $2$-dimensional na espasyo na katumbas ng iisang qubit, at ang Bell basis na $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ ay isang orthonormal basis para sa $4$-dimensional na espasyo na katumbas ng dalawang qubit.

Pagpapalawak ng mga orthonormal set sa mga orthonormal basis

Ipagpalagay na ang $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ ay mga vector na nabubuhay sa isang $n$-dimensional na espasyo, at ipagpalagay pa na ang $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ ay isang orthonormal set. Ang mga orthonormal set ay laging linearly independent set, kaya ang mga vector na ito ay kinakailangang sumasaklaw sa isang subspace na may dimensyong $m.$ Mula dito ay maaari nating masimpulan na ang $m\leq n$ dahil ang dimensyon ng subspace na sinasaklaw ng mga vector na ito ay hindi maaaring mas malaki kaysa sa dimensyon ng buong espasyong pinagkukunan nito.

Kung sakaling ang $m<n,$ palagi itong posible na pumili ng karagdagang $n-m$ na vector na $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ upang $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ ay bumuo ng isang orthonormal basis. Isang prosedura na kilala bilang Gram–Schmidt orthogonalization process ang maaaring gamitin para buuin ang mga vector na ito.

Mga orthonormal set at unitary matrix

Ang mga orthonormal set ng vector ay may malapit na koneksyon sa mga unitary matrix. Isang paraan ng pagpapahayag ng koneksyong ito ay ang pagsasabi na ang sumusunod na tatlong pahayag ay logically equivalent (ibig sabihin, lahat sila ay totoo o lahat sila ay mali) para sa anumang pagpipilian ng isang square matrix na $U$:

1. Ang matrix na $U$ ay unitary (ibig sabihin, $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).
2. Ang mga row ng $U$ ay bumubuo ng isang orthonormal set.
3. Ang mga column ng $U$ ay bumubuo ng isang orthonormal set.

Ang equivalence na ito ay medyo diretso kapag iniisip natin kung paano gumagana ang matrix multiplication at ang conjugate transpose. Ipagpalagay, halimbawa, na mayroon tayong $3\times 3$ na matrix tulad nito:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

Ang conjugate transpose ng $U$ ay ganito ang hitsura:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

Ang pagpaparami ng dalawang matrix, na may conjugate transpose sa kaliwang bahagi, ay nagbibigay sa atin ng matrix na ito:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Kung babuo tayo ng tatlong vector mula sa mga column ng $U,$

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

maaari nating ipahayag ang product sa itaas sa ganitong paraan:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

Tumutukoy sa equation $(3),$ makikita na ngayon natin na ang kondisyon na ang matrix na ito ay katumbas ng identity matrix ay katumbas ng orthonormality ng set na $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}.$

Ang argumentong ito ay nag-generalize sa mga unitary matrix ng anumang laki. Ang katotohanan na ang mga row ng isang matrix ay bumubuo ng isang orthonormal basis kung at tanging kung ang matrix ay unitary ay sumusunod mula sa katotohanang ang isang matrix ay unitary kung at tanging kung ang transpose nito ay unitary.

Dahil sa equivalence na inilarawan sa itaas, kasama ang katotohanang ang bawat orthonormal set ay maaaring mapalawak para bumuo ng isang orthonormal basis, maaari nating tapusin ang sumusunod na kapaki-pakinabang na katotohanan: Dahil ang anumang orthonormal set ng mga vector na $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ na kinuha mula sa isang $n$-dimensional na espasyo, may isang unitary matrix na $U$ na ang unang $m$ column nito ay ang mga vector na $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle.$ Pictorially, palagi tayong makakahanap ng unitary matrix na may ganitong anyo:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

Dito, ang huling $n-m$ na column ay pinupunan ng anumang pagpipilian ng mga vector na $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ na nagpapagawa ng $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ na isang orthonormal basis.

Mga projection at projective measurement

Mga projection matrix

Ang isang square matrix na $\Pi$ ay tinatawag na projection kung nasasatisfy nito ang dalawang property:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}.$
2. $\Pi^2 = \Pi.$

Ang mga matrix na nagsasatisfy ng unang kondisyon — na katumbas sila ng sarili nilang conjugate transpose — ay tinatawag na Hermitian matrix, at ang mga matrix na nagsasatisfy ng ikalawang kondisyon — na ang pag-square sa kanila ay nag-iiwan sa kanila na walang pagbabago — ay tinatawag na idempotent na mga matrix.

Bilang babala, ang salitang projection ay minsan ginagamit para tumukoy sa anumang matrix na nagsasatisfy lamang ng ikalawang kondisyon ngunit hindi kinakailangan ang una, at kapag ganito, ang terminong orthogonal projection ay karaniwang ginagamit para tumukoy sa mga matrix na nagsasatisfy ng parehong kondisyon. Sa konteksto ng quantum information at computation, gayunman, ang mga terminong projection at projection matrix ay mas karaniwang tumutukoy sa mga matrix na nagsasatisfy ng parehong kondisyon.

Isang halimbawa ng projection ay ang matrix

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

para sa anumang unit vector na $\vert \psi\rangle.$ Maaari nating makita na ang matrix na ito ay Hermitian tulad nito:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

Dito, para makuha ang ikalawang pagkakapantay-pantay, ginamit natin ang formula

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

na laging totoo, para sa anumang dalawang matrix na $A$ at $B$ kung saan makatuwiran ang product na $AB$.

Para makita na ang matrix na $\Pi$ sa $(4)$ ay idempotent, maaari nating gamitin ang asumpsyon na ang $\vert\psi\rangle$ ay isang unit vector, kaya't nasasatisfy nito ang $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1.$ Kaya, mayroon tayong

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

Sa mas pangkalahatang paraan, kung ang $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ ay anumang orthonormal set ng mga vector, ang matrix na

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

ay isang projection. Partikular, mayroon tayong

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

at

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

kung saan ang orthonormality ng $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ ay nagpapahiwatig ng pangalawa hanggang huling pagkakapantay-pantay.

Sa katunayan, ito ay sumasaklaw sa lahat ng posibilidad: ang bawat projection na $\Pi$ ay maaaring isulat sa anyo $(5)$ para sa ilang pagpipilian ng isang orthonormal set na $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}.$ (Teknikalisyong nagsasalita, ang zero matrix na $\Pi=0,$ na isang projection, ay isang espesyal na kaso. Para mailagay ito sa pangkalahatang anyo $(5)$ kailangan nating payagan ang posibilidad na ang sum ay walang laman, na nagbibigay ng zero matrix.)

Mga projective measurement

Ang konsepto ng pagsukat ng isang quantum system ay mas pangkalahatan kaysa sa simpleng standard basis measurement. Ang mga projective measurement ay mga pagsukat na inilarawan ng isang koleksyon ng mga projection na ang sum ay katumbas ng identity matrix. Sa simbolo, ang isang koleksyon na $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ ng mga projection matrix ay naglalarawan ng isang projective measurement kung

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

Kapag ang ganitong pagsukat ay isinagawa sa isang sistema na $\mathsf{X}$ habang ito ay nasa ilang estado na $\vert\psi\rangle,$ dalawang bagay ang nangyayari:

1. Para sa bawat $k\in\{0,\ldots,m-1\},$ ang resulta ng pagsukat ay $k$ na may probabilidad na katumbas ng

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Para sa anumang resulta na $k$ na nailabas ng pagsukat, ang estado ng $\mathsf{X}$ ay nagiging

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Maaari rin tayong pumili ng mga resulta na iba sa $\{0,\ldots,m-1\}$ para sa mga projective measurement kung nais natin. Sa mas pangkalahatang paraan, para sa anumang finite at hindi walang laman na set na $\Sigma,$ kung mayroon tayong koleksyon ng mga projection matrix

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

na nagsasatisfy ng kondisyon

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

kung gayon ang koleksyong ito ay naglalarawan ng isang projective measurement na ang mga posibleng resulta ay tumutugma sa set na $\Sigma,$ kung saan ang mga panuntunan ay kapareho ng dati:

1. Para sa bawat $a\in\Sigma,$ ang resulta ng pagsukat ay $a$ na may probabilidad na katumbas ng

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Para sa anumang resulta na $a$ na nailabas ng pagsukat, ang estado ng $\mathsf{X}$ ay nagiging

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Halimbawa, ang mga standard basis measurement ay katumbas ng mga projective measurement, kung saan ang $\Sigma$ ay ang set ng mga classical state ng anumang sistema na $\mathsf{X}$ na pinag-uusapan natin at ang ating set ng mga projection matrix ay $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}.$

Isa pang halimbawa ng projective measurement, sa pagkakataong ito sa dalawang qubit na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ ay ibinibigay ng set $\{\Pi_0,\Pi_1\},$ kung saan

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

Kung mayroon tayong maraming sistema na magkasamang nasa ilang quantum state at isang projective measurement ang isinasagawa sa isa lamang sa mga sistema, ang aksyon ay katulad ng mayroon tayo para sa mga standard basis measurement — at sa katunayan maaari na nating ilarawan ang aksyong ito sa mas simpleng termino kaysa kaya natin noon.

Para maging tumpak, ipagpalagay na mayroon tayong dalawang sistema na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ sa isang quantum state na $\vert\psi\rangle,$ at isang projective measurement na inilarawan ng koleksyon na $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ ay isinasagawa sa sistema na $\mathsf{X},$ habang walang ginagawa sa $\mathsf{Y}.$ Ang paggawa nito ay katumbas ng pagsukat na projective na inilarawan ng koleksyon

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

sa joint system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Ang bawat resulta ng pagsukat na $a$ ay nangyayari na may probabilidad

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

at nakondisyon sa paglabas ng resulta na $a,$ ang estado ng joint system na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nagiging

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

Pagpapatupad ng mga projective measurement

Ang mga arbitrary na projective measurement ay maaaring ipatupad gamit ang mga unitary operation, standard basis measurement, at isang karagdagang workspace system, gaya ng ipapaliwanag ngayon.

Ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ ay isang sistema at ang $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ ay isang projective measurement sa $\mathsf{X}.$ Madali nating ma-generalize ang talakayan na ito sa mga projective measurement na may iba't ibang set ng mga resulta, ngunit para sa kaginhawahan at pagiging simple ay ipapalagay natin na ang set ng mga posibleng resulta para sa ating pagsukat ay $\{0,\ldots,m-1\}.$

Pansinin natin nang malinaw na ang $m$ ay hindi kinakailangang katumbas ng bilang ng mga classical state ng $\mathsf{X}$ — hahayaan nating ang $n$ ang bilang ng mga classical state ng $\mathsf{X},$ na nangangahulugang ang bawat matrix na $\Pi_k$ ay isang $n\times n$ na projection matrix.

Dahil ipinapalagay natin na ang $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ ay kumakatawan sa isang projective measurement, kinakailangan na

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

Ang ating layunin ay magsagawa ng proseso na may parehong epekto sa pagganap ng projective measurement na ito sa $\mathsf{X},$ ngunit gawin ito gamit lamang ang mga unitary operation at standard basis measurement.

Gagamitin natin ang karagdagang workspace system na $\mathsf{Y}$ para gawin ito, at partikular na kukuha tayo ng classical state set ng $\mathsf{Y}$ na $\{0,\ldots,m-1\},$ na kapareho ng set ng mga resulta ng projective measurement. Ang ideya ay magsasagawa tayo ng standard basis measurement sa $\mathsf{Y},$ at bibigyang-kahulugan ang resulta ng pagsukat na ito bilang katumbas ng resulta ng projective measurement sa $\mathsf{X}.$ Kakailanganin nating ipagpalagay na ang $\mathsf{Y}$ ay na-initialize sa ilang fixed state, na pipiliin nating $\vert 0\rangle.$ (Ang anumang ibang pagpipilian ng fixed quantum state vector ay maaaring gawing gumana, ngunit ang pagpili ng $\vert 0\rangle$ ay nagpapadali ng paliwanag na susunod.)

Siyempre, para ang standard basis measurement ng $\mathsf{Y}$ ay makapagbigay ng impormasyon tungkol sa $\mathsf{X},$ kakailanganin nating payagan ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ na makipag-ugnayan sa isa't isa bago sukatin ang $\mathsf{Y},$ sa pamamagitan ng pagsasagawa ng unitary operation sa sistema na $(\mathsf{Y},\mathsf{X}).$ Una, isaalang-alang ang matrix na ito:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

Ipinahayag nang malinaw bilang isang tinatawag na block matrix, na mahalagang isang matrix ng mga matrix na binibigyang-kahulugan natin bilang isang mas malaking matrix, ang $M$ ay ganito ang hitsura:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Dito, ang bawat $0$ ay kumakatawan sa isang $n\times n$ na matrix na puno ng mga zero, kaya ang buong matrix na $M$ ay isang $nm\times nm$ na matrix.

Ngayon, ang $M$ ay tiyak na hindi isang unitary matrix (maliban kung ang $m=1,$ kung saan ang $\Pi_0 = \mathbb{I},$ na nagbibigay ng $M = \mathbb{I}$ sa trivial na kasong ito) dahil ang mga unitary matrix ay hindi maaaring magkaroon ng anumang mga column (o row) na puro $0;$ ang mga unitary matrix ay may mga column na bumubuo ng mga orthonormal basis, at ang all-zero vector ay hindi isang unit vector.

Gayunpaman, totoo na ang unang $n$ na column ng matrix na $M$ ay orthonormal, at nakuha natin ito mula sa asumpsyon na ang $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ ay isang pagsukat. Para i-verify ang claim na ito, pansinin na para sa bawat $j\in\{0,\ldots,n-1\},$ ang vector na nabuo ng column number $j$ ng $M$ ay ang sumusunod:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

Pansinin na dito ang bilang ng mga column ay nagsisimula sa column $0.$ Ang pagkuha ng inner product ng column $i$ sa column $j$ kapag ang $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ ay nagbibigay ng

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

na siyang kailangan nating ipakita.

Kaya, dahil ang unang $n$ na column ng matrix na $M$ ay orthonormal, maaari nating palitan ang lahat ng natitirang zero entry ng ibang pagpipilian ng mga complex number entry upang ang buong matrix ay maging unitary.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Kung ibinibigay sa atin ang mga matrix na $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1},$ maaari tayong mag-compute ng angkop na mga matrix para punan ang mga block na minarkahan ng $\fbox{?}$ sa equation — gamit ang Gram–Schmidt process — ngunit hindi mahalaga kung ano specifically ang mga matrix na ito para sa layunin ng talakayan na ito.

Sa wakas maaari na nating ilarawan ang proseso ng pagsukat: una ay isasagawa natin ang $U$ sa joint system na $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ at pagkatapos ay susukatin ang $\mathsf{Y}$ gamit ang standard basis measurement. Para sa isang arbitrary na estado na $\vert \phi \rangle$ ng $\mathsf{X},$ makukuha natin ang estado

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

kung saan ang unang pagkakapantay-pantay ay sumusunod mula sa katotohanang nagkakasundo ang $U$ at $M$ sa kanilang unang $n$ na column. Kapag nagsagawa tayo ng projective measurement sa $\mathsf{Y},$ makukuha natin ang bawat resulta na $k$ na may probabilidad

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

kung saan ang estado ng $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ay nagiging

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

Kaya, ang $\mathsf{Y}$ ay nag-iimbak ng kopya ng resulta ng pagsukat at ang $\mathsf{X}$ ay nagbabago nang eksakto gaya ng magiging kaso kung ang projective measurement na inilarawan ng $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ ay direktang isinagawa sa $\mathsf{X}.$