Mga limitasyon sa quantum information

Kahit na nagbabahagi ng iisang mathematical na pundasyon, ang quantum at classical na information ay may mahahalagang pagkakaiba. Kaya naman, maraming halimbawa ng mga gawain na kaya ng quantum information na hindi kaya ng classical information.

Bago tuklasin ang ilan sa mga halimbawang ito, tatandaan muna natin ang ilang mahahalagang limitasyon sa quantum information. Ang pag-unawa kung ano ang hindi kaya ng quantum information ay nakakatulong sa atin na matukoy kung ano ang kaya nitong gawin.

Kawalan ng kaugnayan ng global phases

Ang unang limitasyon na tatalakayin natin — na mas tumpak na ilarawan bilang isang bahagyang pagkakatulad sa paraan ng pagrepresenta ng mga quantum state gamit ang mga quantum state vector, kaysa isang tunay na limitasyon — ay may kaugnayan sa konsepto ng global phase.

Ang ibig sabihin natin ng global phase ay ito. Hayaan ang $\vert \psi \rangle$ at $\vert \phi \rangle$ na maging mga unit vector na kumakatawan sa mga quantum state ng isang sistema, at ipagpalagay na may umiiral na isang kumplikadong bilang $\alpha$ sa unit circle, ibig sabihin $\vert \alpha \vert = 1,$ o alternatibo $\alpha = e^{i\theta}$ para sa ilang real na bilang $\theta,$ na nagbibigay ng

$$\vert \phi \rangle = \alpha \vert \psi \rangle.$$

Ang mga vector na $\vert \psi \rangle$ at $\vert \phi \rangle$ ay sinasabing nagkakaiba ng global phase. Minsan din nating tinutukoy ang $\alpha$ bilang isang global phase, kahit na ito ay nakasalalay sa konteksto; ang anumang bilang sa unit circle ay maaaring ituring na global phase kapag pinarami sa isang unit vector.

Isaalang-alang kung ano ang mangyayari kapag ang isang sistema ay nasa isa sa dalawang quantum state na $\vert\psi\rangle$ at $\vert\phi\rangle,$ at ang sistema ay sumasailalim sa standard basis measurement. Sa unang kaso, kung saan ang sistema ay nasa estado $\vert\psi\rangle,$ ang probabilidad ng pagsukat ng anumang classical state $a$ ay

$$\bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2.$$

Sa ikalawang kaso, kung saan ang sistema ay nasa estado $\vert\phi\rangle,$ ang probabilidad ng pagsukat ng anumang classical state $a$ ay

$$\bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 = \bigl\vert \alpha \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert \alpha \vert^2 \bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \bigl\vert \langle a \vert \psi \rangle \bigr\vert^2,$$

dahil $\vert\alpha\vert = 1.$ Ibig sabihin, ang probabilidad ng paglabas ng isang resulta ay pareho para sa dalawang estado.

Ngayon isaalang-alang kung ano ang mangyayari kapag nag-apply tayo ng isang arbitrary na unitary operation $U$ sa dalawang estado. Sa unang kaso, kung saan ang paunang estado ay $\vert \psi \rangle,$ ang estado ay nagiging

$$U \vert \psi \rangle,$$

at sa ikalawang kaso, kung saan ang paunang estado ay $\vert \phi\rangle,$ ito ay nagiging

$$U \vert \phi \rangle = \alpha U \vert \psi \rangle.$$

Ibig sabihin, ang dalawang resultang estado ay nananatiling nagkakaiba pa rin ng parehong global phase $\alpha.$

Kaya naman, ang dalawang quantum state na $\vert\psi\rangle$ at $\vert\phi\rangle$ na nagkakaiba ng global phase ay ganap na hindi mapagkakilanlan; kahit anong operasyon, o serye ng mga operasyon, ang i-apply natin sa dalawang estado, palagi silang magkakaiba ng global phase, at ang pagsasagawa ng standard basis measurement ay magdudulot ng mga resulta na may eksaktong parehong mga probabilidad gaya ng isa. Dahil dito, ang dalawang quantum state vector na nagkakaiba ng global phase ay itinuturing na katumbas, at epektibong tiningnan bilang parehong estado.

Halimbawa, ang mga quantum state

$$\vert - \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad -\vert - \rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

ay nagkakaiba ng global phase (na $-1$ sa halimbawang ito), at samakatuwid ay itinuturing na parehong estado.

Sa kabilang banda, ang mga quantum state

$$\vert + \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert - \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

ay hindi nagkakaiba ng global phase. Kahit ang tanging pagkakaiba sa pagitan ng dalawang estado ay ang isang plus sign na nagiging minus sign, ito ay hindi isang global phase difference, ito ay isang relative phase difference dahil hindi ito nakakaapekto sa bawat entry ng vector, kundi sa isang tamang subset lamang ng mga entry. Ito ay naaayon sa ating naobserbahan na dati, na ang mga estado $\vert{+} \rangle$ at $\vert{-}\rangle$ ay maaaring perpektong mapagkakilanlan. Sa partikular, ang pagsasagawa ng Hadamard operation at pagkatapos ay pagsukat ay nagbibigay ng mga probabilidad ng resulta tulad ng sumusunod:

$$\begin{aligned} \bigl\vert \langle 0 \vert H \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = 1 & \hspace{1cm} \bigl\vert \langle 0 \vert H \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = 0 \\[1mm] \bigl\vert \langle 1 \vert H \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = 0 & \hspace{1cm} \bigl\vert \langle 1 \vert H \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = 1. \end{aligned}$$

No-cloning theorem

Ipinapakita ng no-cloning theorem na imposible ang gumawa ng perpektong kopya ng isang hindi kilalang quantum state.

Teorema

No-cloning theorem: Hayaan ang $\Sigma$ na maging isang classical state set na may hindi bababa sa dalawang elemento, at hayaan ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ na maging mga sistema na nagbabahagi ng parehong classical state set na $\Sigma.$ Walang umiiral na quantum state $\vert \phi\rangle$ ng $\mathsf{Y}$ at unitary operation $U$ sa pares $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na nagbibigay ng

$$U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$$

para sa bawat estado $\vert \psi \rangle$ ng $\mathsf{X}.$

Ibig sabihin, walang paraan para i-initialize ang sistema $\mathsf{Y}$ (sa anumang estado $\vert\phi\rangle$ man) at magsagawa ng unitary operation $U$ sa joint system $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ upang ang epekto ay ang estado $\vert\psi\rangle$ ng $\mathsf{X}$ ay ma-clone — na nagreresulta sa $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na nasa estado $\vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle.$

Ang patunay ng teoremang ito ay talagang medyo simple: bumababa ito sa obserbasyon na ang mapping

$$\vert\psi\rangle \otimes \vert \phi\rangle\mapsto\vert\psi\rangle \otimes \vert \psi\rangle$$

ay hindi linear sa $\vert\psi\rangle.$

Sa partikular, dahil ang $\Sigma$ ay may hindi bababa sa dalawang elemento, maaari tayong pumili ng $a,b\in\Sigma$ na may $a\neq b.$ Kung may umiiral na quantum state $\vert \phi\rangle$ ng $\mathsf{Y}$ at unitary operation $U$ sa pares $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na nagbibigay ng $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ para sa bawat quantum state $\vert\psi\rangle$ ng $\mathsf{X},$ kung gayon magiging totoo na

$$U \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle \quad\text{and}\quad U \bigl( \vert b \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle.$$

Sa pamamagitan ng linearity, ibig sabihin ang linearity ng tensor product sa unang argumento at ang linearity ng matrix-vector multiplication sa ikalawa (vector) na argumento, dapat nating samakatuwid ay mayroon

$$U \biggl(\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b\rangle \biggr) \otimes \vert\phi\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle.$$

Gayunpaman, ang kinakailangan na $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ para sa bawat quantum state $\vert\psi\rangle$ ay nangangailangan na

$$\begin{aligned} & U \biggl(\biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b\rangle \biggr) \otimes \vert\phi\rangle\biggr)\\ & \qquad = \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle\biggr) \otimes \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle\biggr)\\ & \qquad = \frac{1}{2} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{2} \vert a \rangle \otimes \vert b\rangle + \frac{1}{2} \vert b \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{2} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle\\ & \qquad \neq \frac{1}{\sqrt{2}} \vert a \rangle \otimes \vert a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert b \rangle \otimes \vert b\rangle \end{aligned}$$

Kaya naman walang maaaring umiiral na estado $\vert \phi\rangle$ at unitary operation $U$ na nagbibigay ng $U \bigl( \vert \psi \rangle \otimes \vert\phi\rangle\bigr) = \vert \psi \rangle \otimes \vert\psi\rangle$ para sa bawat quantum state vector $\vert \psi\rangle.$

Ilang mga puna ang kaugnayan sa no-cloning theorem. Ang una ay ang pahayag ng no-cloning theorem sa itaas ay absoluto, sa kahulugang sinasabi nito na ang perpektong cloning ay imposible — ngunit hindi nito sinasabi ang anuman tungkol sa posibilidad ng cloning nang may limitadong katumpakan, kung saan maaari tayong magtagumpay sa paggawa ng approximate clone (ayon sa ilang paraan ng pagsukat kung gaano katulad ang dalawang magkaibang quantum state). Mayroon, sa katunayan, mga pahayag ng no-cloning theorem na naglalagay ng mga limitasyon sa approximate cloning, pati na rin mga pamamaraan para makamit ang approximate cloning nang may limitadong katumpakan.

Ang ikalawang puna ay ang no-cloning theorem ay isang pahayag tungkol sa imposibilidad ng pag-clone ng isang arbitrary na estado $\vert\psi\rangle.$ Sa kabaligtaran, madali tayong makakagawa ng clone ng anumang standard basis state, halimbawa. Halimbawa, maaari tayong mag-clone ng isang qubit standard basis state gamit ang isang controlled-NOT operation:

Dito ang $|a\rangle$ ay $|0\rangle$ o $|1\rangle,$ na mga estado na maaaring maibigay nang klasiko. Habang walang kahirapan sa paggawa ng clone ng isang standard basis state, hindi ito sumasalungat sa no-cloning theorem. Ang pamamaraang ito ng paggamit ng controlled-NOT gate ay hindi magiging matagumpay sa paggawa ng clone ng estado $\vert + \rangle,$ halimbawa.

Ang isang huling puna tungkol sa no-cloning theorem ay hindi ito natatangi sa quantum information — imposible rin ang mag-clone ng isang arbitrary na probabilistic state gamit ang isang klasikal (deterministic o probabilistic) na proseso. Isipin na may nagbibigay sa iyo ng isang sistema sa ilang probabilistic state, ngunit hindi ka sigurado kung anong probabilistic state iyon. Halimbawa, siguro ay nagbuo sila ng random na bilang sa pagitan ng $1$ at $10,$ ngunit hindi nila sinabi sa iyo kung paano nila nabuo ang bilang na iyon. Tiyak na walang pisikal na proseso kung saan maaari kang makakuha ng dalawang independiyenteng kopya ng parehong probabilistic state: ang mayroon ka lamang sa iyong mga kamay ay isang bilang sa pagitan ng $1$ at $10,$ at wala lamang sapat na impormasyon para sa iyo upang kahit paano ay muling buuin ang mga probabilidad para sa lahat ng iba pang mga resulta na lalabas.

Sa matematika, ang isang bersyon ng no-cloning theorem para sa mga probabilistic state ay maaaring patunayan sa eksaktong parehong paraan tulad ng regular na no-cloning theorem (para sa mga quantum state). Ibig sabihin, ang pag-clone ng isang arbitrary na probabilistic state ay isang non-linear na proseso, kaya hindi ito maaaring kumatawan sa pamamagitan ng isang stochastic matrix.

Hindi maaaring perpektong mapagkakilanlan ang mga hindi orthogonal na estado

Para sa huling limitasyon na tatalakayin sa araling ito, ipapakita natin na kung mayroon tayong dalawang quantum state $\vert\psi\rangle$ at $\vert\phi\rangle$ na hindi orthogonal, ibig sabihin $\langle \phi\vert\psi\rangle \neq 0,$ kung gayon imposible ang perpektong mapagkakilanlan ang mga ito (o, sa ibang salita, maibukod sila). Sa katunayan, ipapakita natin ang isang bagay na lohikal na katumbas: kung mayroon tayong paraan para perpektong mapagkakilanlan ang dalawang estado, nang walang anumang error, kung gayon dapat silang orthogonal.

Limitahan natin ang ating atensyon sa mga quantum circuit na binubuo ng anumang bilang ng mga unitary gate, na sinusundan ng isang standard basis measurement ng pinakamataas na qubit. Ang ating kinakailangan sa isang quantum circuit, upang sabihin na perpektong pinagkakilanlan nito ang mga estado $\vert\psi\rangle$ at $\vert\phi\rangle,$ ay ang measurement ay palaging nagbibigay ng halagang $0$ para sa isa sa dalawang estado at palaging nagbibigay ng $1$ para sa isa pa. Upang maging tiyak, ipagpapalagay natin na mayroon tayong isang quantum circuit na gumagana tulad ng iminumungkahi ng mga sumusunod na diagram:

Ang kahon na may label na $U$ ay nagtatanda ng unitary operation na kumakatawan sa pinagsama-samang aksyon ng lahat ng unitary gate sa ating circuit, ngunit hindi kasama ang huling measurement. Walang pagkawala ng generalidad sa pag-aakala na ang measurement ay nagbibigay ng $0$ para sa $\vert\psi\rangle$ at $1$ para sa $\vert\phi\rangle;$ ang pagsusuri ay hindi magiging pundamental na naiiba kung ang mga output value na ito ay binaliktad.

Pansinin na, bukod sa mga qubit na paunang nag-iimbak ng alinman sa $\vert\psi\rangle$ o $\vert\phi\rangle,$ ang circuit ay malaya na gumamit ng anumang bilang ng karagdagang workspace qubit. Ang mga qubit na ito ay paunang itinakda sa estado $\vert 0\rangle$ — kaya ang kanilang pinagsama-samang estado ay tinutukoy bilang $\vert 0\cdots 0\rangle$ sa mga figure — at ang mga qubit na ito ay maaaring gamitin ng circuit sa anumang paraan na maaaring kapaki-pakinabang. Napakakaraniwan na gumamit ng mga workspace qubit sa mga quantum circuit na tulad nito.

Ngayon, isaalang-alang kung ano ang mangyayari kapag pinatakbo natin ang ating circuit sa estado $\vert\psi\rangle$ (kasama ang mga initialized na workspace qubit). Ang resultang estado, kaagad bago isagawa ang measurement, ay maaaring isulat bilang

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0 \rangle \vert \psi \rangle\bigr) = \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle + \vert \gamma_1 \rangle\vert 1 \rangle$$

para sa dalawang vector na $\vert \gamma_0\rangle$ at $\vert \gamma_1\rangle$ na tumutugma sa lahat ng qubit maliban sa pinakamataas na qubit. Sa pangkalahatan, para sa ganitong estado ang mga probabilidad na ang measurement ng pinakamataas na qubit ay nagbibigay ng mga resulta $0$ at $1$ ay ang mga sumusunod:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is $0$}) = \bigl\| \vert\gamma_0\rangle \bigr\|^2 \qquad\text{and}\qquad \operatorname{Pr}(\text{outcome is $1$}) = \bigl\| \vert\gamma_1\rangle \bigr\|^2.$$

Dahil ang ating circuit ay palaging nagbibigay ng $0$ para sa estado $\vert\psi\rangle,$ dapat na $\vert\gamma_1\rangle = 0,$ kaya

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle\vert \psi \rangle \bigr) = \vert\gamma_0\rangle\vert 0 \rangle.$$

Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation na ito ng $U^{\dagger}$ ay nagbibigay ng equation na ito:

$$\vert 0\cdots 0\rangle\vert \psi \rangle = U^{\dagger} \bigl( \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle \bigr). \tag{1}$$

Sa katulad na pangangatwiran para sa $\vert\phi\rangle$ sa lugar ng $\vert\psi\rangle,$ natapos natin na

$$U \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi \rangle \bigr) = \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle$$

para sa ilang vector $\vert\delta_1\rangle,$ at samakatuwid

$$\vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi \rangle = U^{\dagger} \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr). \tag{2}$$

Ngayon kunin natin ang inner product ng mga vector na kinakatawan ng mga equation $(1)$ at $(2),$ simula sa mga representasyon sa kanang bahagi ng bawat equation. Mayroon tayo

$$\bigl(U^{\dagger} \bigl( \vert \gamma_0\rangle\vert 0 \rangle \bigr)\bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr)U,$$

kaya ang inner product ng vector $(1)$ sa vector $(2)$ ay

$$\bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr)U U^{\dagger} \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr) = \bigl( \langle\gamma_0\vert\langle 0\vert \bigr) \bigl( \vert \delta_1\rangle\vert 1 \rangle\bigr) = \langle \gamma_0 \vert \delta_1\rangle \langle 0 \vert 1 \rangle = 0.$$

Dito ginamit natin ang katotohanan na $U U^{\dagger} = \mathbb{I},$ pati na rin ang katotohanan na ang inner product ng mga tensor product ay ang produkto ng mga inner product:

$$\langle u \otimes v \vert w \otimes x\rangle = \langle u \vert w\rangle \langle v \vert x\rangle$$

para sa anumang pagpili ng mga vector na ito (ipinagpapalagay na ang $\vert u\rangle$ at $\vert w\rangle$ ay may parehong bilang ng mga entry at ang $\vert v\rangle$ at $\vert x\rangle$ ay may parehong bilang ng mga entry, upang may katuturan ang pagbuo ng mga inner product $\langle u\vert w\rangle$ at $\langle v\vert x \rangle$). Pansinin na ang halaga ng inner product $\langle \gamma_0 \vert \delta_1\rangle$ ay walang kaugnayan dahil ito ay pinarami ng $\langle 0 \vert 1 \rangle = 0.$

Sa wakas, ang pagkuha ng inner product ng mga vector sa kaliwang bahagi ng mga equation $(1)$ at $(2)$ ay dapat magresulta sa parehong zero value na ating nakalkula na, kaya

$$0 = \bigl( \vert 0\cdots 0\rangle \vert \psi\rangle\bigr)^{\dagger} \bigl(\vert 0\cdots 0\rangle\vert \phi\rangle\bigr) = \langle 0\cdots 0 \vert 0\cdots 0 \rangle \langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \phi \rangle.$$

Natatapos na natin kung ano ang ating gusto, na ang $\vert \psi\rangle$ at $\vert\phi\rangle$ ay orthogonal: $\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$

Posible, sa katunayan, na perpektong mapagkakilanlan ang anumang dalawang estado na orthogonal, na siyang kabaligtaran ng pahayag na ating napatunayan. Ipagpalagay na ang dalawang estado na mapagkakilanlan ay $\vert \phi\rangle$ at $\vert \psi\rangle,$ kung saan $\langle \phi\vert\psi\rangle = 0.$ Maaari nating perpektong mapagkakilanlan ang mga estadong ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng projective measurement na inilalarawan ng mga matrix na ito, halimbawa:

$$\bigl\{ \vert\phi\rangle\langle\phi\vert,\,\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \bigr\}.$$

Para sa estado $\vert\phi\rangle,$ palaging nakukuha ang unang resulta:

$$\begin{aligned} & \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = 1,\\[1mm] & \bigl\| (\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert) \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle - \vert\phi\rangle \bigr\|^2 = 0. \end{aligned}$$

At, para sa estado $\vert\psi\rangle,$ palaging nakukuha ang ikalawang resulta:

$$\begin{aligned} & \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| 0 \bigr\|^2 = 0,\\[1mm] & \bigl\| (\mathbb{I} - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert) \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\psi\rangle - \vert\phi\rangle\langle\phi\vert\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\|^2 = 1. \end{aligned}$$