Klasikal na impormasyon

Para mailarawan ang quantum na impormasyon at kung paano ito gumagana, magsisimula tayo sa isang pangkalahatang-ideya ng klasikal na impormasyon. Makatuwirang magtaka kung bakit kailangang bigyang-pansin ang klasikal na impormasyon sa isang kursong tungkol sa quantum na impormasyon — ngunit may mabibigat na dahilan para dito.

Una, kahit magkaiba ang quantum at klasikal na impormasyon sa ilang kapansin-pansing paraan, ang kanilang mga matematikal na paglalarawan ay talagang magkatulad. Nagsisilbi rin ang klasikal na impormasyon bilang isang pamilyar na sanggunian kapag nag-aaral ng quantum na impormasyon, at bilang pinagkukunan ng mga analohiya na napakahalaga pala. Karaniwan na nagtatanong ang mga tao ng mga katanungan tungkol sa quantum na impormasyon na may likas na mga klasikal na katapat, at kadalasan ay simple ang mga sagot sa mga ito na nagbibigay ng linaw at pag-unawa sa mga orihinal na tanong tungkol sa quantum na impormasyon. Sa katunayan, hindi naman labis na sabihin na hindi mo tunay na maiintindihan ang quantum na impormasyon kung hindi mo maiintindihan ang klasikal na impormasyon.

Maaaring pamilyar na ang ilang mga mambabasa sa mga paksang tatalakayin sa seksyong ito, habang hindi pa ang iba — ngunit ang talakayan ay para sa parehong uri ng mambabasa. Bukod sa pagtatampok ng mga aspeto ng klasikal na impormasyon na pinaka-kaugnay sa panimula ng quantum na impormasyon, ipinapakilala rin ng seksyong ito ang notasyong Dirac, na karaniwang ginagamit para ilarawan ang mga vector at matris sa quantum na impormasyon at komputasyon. Pala, ang notasyong Dirac ay hindi eksklusibo sa quantum na impormasyon; maaari rin itong gamitin sa konteksto ng klasikal na impormasyon, at sa marami pang ibang sitwasyon kung saan lumilitaw ang mga vector at matris.

Mga klasikal na estado at probability vector

Ipagpalagay na mayroon tayong sistema na nag-iimbak ng impormasyon. Mas tiyak, ipagpalagay natin na ang sistemang ito ay maaaring nasa isa sa isang tiyak na bilang ng mga klasikal na estado sa bawat sandali. Dito, ang terminong klasikal na estado ay dapat unawain nang intuwitibo, bilang isang konfigurasyon na maaaring makilala at mailarawan nang walang kalabuan.

Ang pangunahing halimbawa, na paulit-ulit nating babalikan, ay ang bit, na isang sistema na ang mga klasikal na estado ay $0$ at $1.$ Kabilang sa ibang mga halimbawa ang isang karaniwang anim na panig na dais, na ang mga klasikal na estado ay $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ at $6$ (kinakatawan ng kaukulang bilang ng tuldok sa anumang mukha na nakaharap sa itaas); isang nucleobase sa isang hibla ng DNA, na ang mga klasikal na estado ay A, C, G, at T; at isang switch ng electric fan, na ang mga klasikal na estado ay (karaniwang) malakas, katamtaman, mahina, at patay. Sa matematikal na termino, ang pagtukoy ng mga klasikal na estado ng isang sistema ay, sa katunayan, ang panimulang punto: tinutukoy natin ang isang bit bilang isang sistema na may mga klasikal na estado na $0$ at $1,$ at gayon din para sa mga sistema na may iba't ibang set ng klasikal na estado.

Para sa layunin ng talakayan, bigyan natin ng pangalan na $\mathsf{X}$ ang sistemang iniisip natin, at gamitin ang simbolong $\Sigma$ para tumukoy sa set ng mga klasikal na estado ng $\mathsf{X}.$ Bukod sa pagpapalagay na ang $\Sigma$ ay may tiyak na bilang, na nabanggit na, natural na ipagpalagay din natin na ang $\Sigma$ ay hindi walang laman — dahil walang kahulugan na magkaroon ng pisikal na sistema na walang anumang estado. At bagaman makatuwiran ang pag-aaral ng mga pisikal na sistema na may walang katapusang bilang ng mga klasikal na estado, hindi natin ito isasaalang-alang, dahil kahit kawili-wili ay hindi ito kaugnay sa kursong ito. Para sa mga kadahilanang ito, at para sa kaginhawahan at kaiklian, mula ngayon ay gagamitin natin ang terminong set ng klasikal na estado para tumukoy sa anumang may tiyak na bilang at hindi walang lamang set.

Narito ang ilang mga halimbawa:

1. Kung ang $\mathsf{X}$ ay isang bit, kung gayon $\Sigma = \{0,1\}.$ Sa salita, tinutukoy natin ang set na ito bilang binary alphabet.
2. Kung ang $\mathsf{X}$ ay isang anim na panig na dais, kung gayon $\Sigma = \{1,2,3,4,5,6\}.$
3. Kung ang $\mathsf{X}$ ay isang switch ng electric fan, kung gayon $\Sigma = \{\mathrm{high}, \mathrm{medium}, \mathrm{low}, \mathrm{off}\}.$

Kapag iniisip ang $\mathsf{X}$ bilang tagapagdala ng impormasyon, maaaring itakda ang iba't ibang kahulugan sa mga iba't ibang klasikal na estado ng $\mathsf{X}$, na humahantong sa iba't ibang resulta o kahihinatnan. Sa ganitong mga kaso, maaaring sapat na ilarawan ang $\mathsf{X}$ bilang nasa isa lamang sa mga posibleng klasikal na estado nito. Halimbawa, kung ang $\mathsf{X}$ ay isang switch ng fan, maaaring alam natin nang tiyak na nakatakda ito sa malakas, at dahil doon ay palipatin natin ito sa katamtaman.

Madalas sa pagpoproseso ng impormasyon, gayunpaman, hindi tiyak ang ating kaalaman. Isang paraan para katawanin ang ating kaalaman tungkol sa klasikal na estado ng isang sistema na $\mathsf{X}$ ay ang mag-ugnay ng mga probabilidad sa iba't ibang posibleng klasikal na estado nito, na nagreresulta sa tinatawag nating probabilistikong estado.

Halimbawa, ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ ay isang bit. Batay sa alam o inaasahan natin tungkol sa nangyari sa $\mathsf{X}$ sa nakaraan, maaaring maniwala tayo na ang $\mathsf{X}$ ay nasa klasikal na estado na $0$ nang may probabilidad na $3/4$ at nasa estado na $1$ nang may probabilidad na $1/4.$ Maaari nating katawanin ang mga paniniwala na ito sa pamamagitan ng pagsulat nito:

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=0) = \frac{3}{4} \quad\text{and}\quad \operatorname{Pr}(\mathsf{X}=1) = \frac{1}{4}.$$

Isang mas maikli at maginhawang paraan para katawanin ang probabilistikong estado na ito ay sa pamamagitan ng isang column vector.

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

Ang probabilidad na ang bit ay $0$ ay nakalagay sa tuktok ng vector at ang probabilidad na ang bit ay $1$ ay nakalagay sa ibaba, dahil ito ang karaniwang paraan ng pag-aayos ng set na $\{0,1\}.$

Sa pangkalahatan, maaari nating katawanin ang isang probabilistikong estado ng isang sistema na may anumang set ng klasikal na estado sa parehong paraan, bilang isang vector ng mga probabilidad. Maaaring ayusin ang mga probabilidad sa anumang paraan na gusto natin, ngunit karaniwang may natural o default na paraan para gawin ito. Para maging tiyak, maaari nating katawanin ang anumang probabilistikong estado sa pamamagitan ng isang column vector na nakakatugon sa dalawang katangian:

1. Lahat ng mga entry ng vector ay hindi negatibong tunay na mga numero.
2. Ang kabuuan ng mga entry ay katumbas ng $1.$

Sa kabilang banda, anumang column vector na nakakatugon sa dalawang katangiang ito ay maaaring gamitin bilang representasyon ng isang probabilistikong estado. Mula ngayon, tatawagin natin ang mga vector ng ganitong anyo bilang probability vector.

Bukod sa kaiklian ng notasyong ito, ang pagkilala sa mga probabilistikong estado bilang mga column vector ay may kalamangan na ang mga operasyon sa mga probabilistikong estado ay kinakatawan ng pagpaparami ng matris–vector, tulad ng tatalakayin sa ilang sandali.

Pagsukat ng mga probabilistikong estado

Susunod, pag-aralan natin kung ano ang nangyayari kapag sinukat natin ang isang sistema habang ito ay nasa isang probabilistikong estado. Sa kontekstong ito, ang pagsukat ng isang sistema ay simpleng nangangahulugang tumingin tayo sa sistema at kilalanin kung anong klasikal na estado ang nasa loob nito nang walang kalabuan. Intuwitibong nagsasalita, hindi natin "nakikita" ang isang probabilistikong estado ng isang sistema; kapag tumingin tayo, isa lamang sa mga posibleng klasikal na estado ang ating nakikita.

Sa pamamagitan ng pagsukat ng isang sistema, maaari rin nating baguhin ang ating kaalaman tungkol dito, at samakatuwid ang probabilistikong estado na ating iniuugnay dito ay maaaring magbago. Ibig sabihin, kung nakilala natin na ang $\mathsf{X}$ ay nasa klasikal na estado na $a\in\Sigma,$ ang bagong probability vector na kumakatawan sa ating kaalaman ng estado ng $\mathsf{X}$ ay nagiging ang vector na may $1$ sa entry na katumbas ng $a$ at $0$ para sa lahat ng iba pang entry. Ipinapakita ng vector na ito na ang $\mathsf{X}$ ay nasa klasikal na estado na $a$ nang may katiyakan — na alam natin pagkatapos ng ating pagkilala — at tinutukoy natin ang vector na ito bilang $\vert a\rangle,$ na binabasa bilang "ket $a$" para sa dahilang ipapaliwanag sa ilang sandali. Ang mga vector ng ganitong uri ay tinatawag din na mga standard basis vector.

Halimbawa, ipagpalagay na ang sistema na iniisip natin ay isang bit, ang mga standard basis vector ay ibinibigay ng

$$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}.$$

Pansinin na ang anumang dalawang-dimensyonal na column vector ay maaaring ipahayag bilang isang linear na kombinasyon ng dalawang vector na ito. Halimbawa,

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \frac{3}{4}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{4}\,\vert 1\rangle.$$

Ang katotohanang ito ay natural na nagpapalawak sa anumang set ng klasikal na estado: anumang column vector ay maaaring isulat bilang isang linear na kombinasyon ng mga standard basis state. Kadalasan ay eksaktong ganito ang ating pagpapahayag ng mga vector.

Bumabalik sa pagbabago ng isang probabilistikong estado kapag nasukat, maaari nating pansinin ang sumusunod na koneksyon sa ating pang-araw-araw na karanasan. Ipagpalagay na nagpalipat tayo ng isang patas na barya, ngunit tinabunan natin ang barya bago tingnan. Sasabihin natin na ang probabilistikong estado nito ay

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\vert\text{heads}\rangle + \frac{1}{2}\,\vert\text{tails}\rangle.$$

Dito, ang set ng klasikal na estado ng ating barya ay $\{\text{heads},\text{tails}\}.$ Pipiliin nating ayusin ang mga estado na ito nang heads muna, tails pangalawa.

$$\vert\text{heads}\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert\text{tails}\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}$$

Kung aalisin natin ang takip ng barya at titingnan ito, makikita natin ang isa sa dalawang klasikal na estado: heads o tails. Ipagpalagay na tails ang resulta, natural na ia-update natin ang ating paglalarawan ng probabilistikong estado ng barya upang maging $|\text{tails}\rangle.$ Syempre, kung tatakpan natin muli ang barya, at pagkatapos ay alisin ang takip at titingnan muli, ang klasikal na estado ay magiging tails pa rin, na naaayon sa probabilistikong estado na inilarawan ng vector na $|\text{tails}\rangle.$

Maaaring mukhang walang kahulugan ito, at sa ilang paraan ay ganoon nga. Gayunpaman, habang ang mga quantum na sistema ay kumikilos sa isang ganap na magkaparehong paraan, ang kanilang mga katangian sa pagsukat ay kadalasang itinuturing na kakaiba o hindi pangkaraniwan. Sa pamamagitan ng pagtatatag ng mga magkaparehong katangian ng mga klasikal na sistema, ang paraan ng pagtatrabaho ng quantum na impormasyon ay maaaring mukhang hindi gaanong kakaiba.

Isang huling puna tungkol sa mga pagsukat ng mga probabilistikong estado ay ito: ang mga probabilistikong estado ay naglalarawan ng kaalaman o paniniwala, hindi naman ng isang bagay na tunay, at ang pagsukat ay nagbabago lamang ng ating kaalaman at hindi ang sistema mismo. Halimbawa, ang estado ng isang barya pagkatapos nating ipalipat ito, ngunit bago natin tingnan, ay heads o tails — hindi lang natin alam kung alin hanggang sa tumingin tayo. Sa pagtingin na ang klasikal na estado ay tails, halimbawa, natural na ia-update natin ang vector na naglalarawan ng ating kaalaman sa $|\text{tails}\rangle,$ ngunit para sa ibang tao na hindi nakakita ng barya noong inalis ang takip, ang probabilistikong estado ay mananatiling hindi nagbabago. Hindi ito dapat ikabahala; ang iba't ibang tao ay maaaring magkaroon ng iba't ibang kaalaman o paniniwala tungkol sa isang partikular na sistema, at samakatuwid ay inilalarawan ang sistemang iyon sa pamamagitan ng iba't ibang probability vector.

Mga klasikal na operasyon

Sa huling bahagi ng maikling buod na ito ng klasikal na impormasyon, pag-aralan natin ang mga uri ng operasyon na maaaring gawin sa isang klasikal na sistema.

Mga deterministikong operasyon

Una, mayroon tayong mga deterministiko na operasyon, kung saan ang bawat klasikal na estado na $a\in\Sigma$ ay nababago sa $f(a)$ para sa ilang function na $f$ ng anyo $f:\Sigma\rightarrow\Sigma.$

Halimbawa, kung $\Sigma = \{0,1\},$ mayroon apat na function ng ganitong anyo, $f_1,$ $f_2,$ $f_3,$ at $f_4,$ na maaaring katawanin sa pamamagitan ng mga talahanayan ng mga halaga tulad ng sumusunod:

$$\begin{array}{c|c} a & f_1(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_2(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_3(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_4(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}$$

Ang una at huling mga function na ito ay pare-pareho: $f_1(a) = 0$ at $f_4(a) = 1$ para sa bawat $a\in\Sigma.$ Ang dalawa sa gitna ay hindi pare-pareho, sila ay balanse: ang bawat isa sa dalawang output na halaga ay nangyayari nang parehong bilang ng beses (minsan, sa kasong ito) habang isinasaalang-alang natin ang mga posibleng input. Ang function na $f_2$ ay ang identity function: $f_2(a) = a$ para sa bawat $a\in\Sigma.$ At ang $f_3$ ay ang function na $f_3(0) = 1$ at $f_3(1) = 0,$ na mas kilala bilang NOT function.

Ang mga aksyon ng mga deterministikong operasyon sa mga probabilistikong estado ay maaaring katawanin ng pagpaparami ng matris-vector. Partikular, ang matris na $M$ na kumakatawan sa isang ibinigay na function na $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ ay ang isa na nakakatugon sa

$$M \vert a \rangle = \vert f(a)\rangle$$

para sa bawat $a\in\Sigma.$ Ang naturang matris ay palaging umiiral at natatangi na natutukoy ng kinakailangan na ito. Ang mga matris na kumakatawan sa mga deterministikong operasyon ay palaging may eksaktong isang $1$ sa bawat column, at $0$ para sa lahat ng iba pang entry.

Halimbawa, ang mga matris na $M_1,\ldots,M_4$ na katumbas ng mga function na $f_1,\ldots,f_4$ sa itaas ay ang mga sumusunod:

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Narito ang isang mabilis na beripikasiyon na nagpapakita na ang unang matris ay tama. Ang tatlo pang natitira ay maaaring suriin sa katulad na paraan.

$$\begin{aligned} M_1 \vert 0\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(0)\rangle \\[4mm] M_1 \vert 1\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(1)\rangle \end{aligned}$$

Isang maginhawang paraan para katawanin ang mga matris ng ganitong at iba pang mga anyo ay gumagamit ng katulad na notasyon para sa mga row vector sa isa para sa mga column vector na tinalakay noon: tinutukoy natin ng $\langle a \vert$ ang row vector na may $1$ sa entry na katumbas ng $a$ at zero para sa lahat ng iba pang entry, para sa bawat $a\in\Sigma.$ Ang vector na ito ay binabasa bilang "bra $a.$"

Halimbawa, kung $\Sigma = \{0,1\},$ kung gayon

$$\langle 0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Para sa anumang set ng klasikal na estado $\Sigma,$ maaari nating tingnan ang mga row vector at column vector bilang mga matris, at isagawa ang pagpaparami ng matris na $\vert b\rangle \langle a\vert.$ Nakakakuha tayo ng isang square matrix na may $1$ sa entry na katumbas ng pares na $(b,a),$ nangangahulugang ang row ng entry ay katumbas ng klasikal na estado na $b$ at ang column ay katumbas ng klasikal na estado na $a,$ na may $0$ para sa lahat ng iba pang entry. Halimbawa,

$$\vert 0 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Gamit ang notasyong ito, maaari nating ipahayag ang matris na $M$ na katumbas ng anumang ibinigay na function na $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ bilang

$$M = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert.$$

Halimbawa, isaalang-alang ang function na $f_4$ sa itaas, kung saan ang $\Sigma = \{0,1\}.$ Nakukuha natin ang matris

$$M_4 = \vert f_4(0) \rangle \langle 0 \vert + \vert f_4(1) \rangle \langle 1 \vert = \vert 1\rangle \langle 0\vert + \vert 1\rangle \langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ang dahilan kung bakit gumagana ito ay ang sumusunod. Kung iisipin muli natin ang mga vector bilang mga matris, at sa pagkakataong ito ay isaalang-alang ang pagpaparami $\langle a \vert \vert b \rangle,$ nakakakuha tayo ng isang $1\times 1$ na matris, na maaari nating isipin bilang isang scalar (iyon ay, isang numero). Para sa kadakilaan, isinusulat natin ang produktong ito bilang $\langle a \vert b\rangle$ sa halip na $\langle a \vert \vert b \rangle.$ Ang produktong ito ay nakakatugon sa sumusunod na simpleng formula:

$$\langle a \vert b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\[1mm] 0 & a \neq b. \end{cases}$$

Gamit ang obserbasyon na ito, kasama ang katotohanan na ang pagpaparami ng matris ay asosyatibo at linear, nakukuha natin

$$M \vert b \rangle = \Biggl( \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert \Biggr) \vert b\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert b \rangle = \vert f(b)\rangle,$$

para sa bawat $b\in\Sigma,$ na eksaktong kailangan natin mula sa matris na $M.$

Tulad ng tatalakayin nang mas detalyado sa susunod na aralin, ang $\langle a \vert b \rangle$ ay maaari ring makita bilang isang inner product sa pagitan ng mga vector na $\vert a\rangle$ at $\vert b\rangle.$ Ang mga inner product ay napakahalaga sa quantum na impormasyon, ngunit ipaaantala muna natin ang talakayan tungkol sa mga ito hanggang sa kapag kailangan na ang mga ito.

Sa puntong ito, ang mga pangalan na "bra" at "ket" ay malinaw na: ang paglalagay ng "bra" na $\langle a\vert$ kasama ang "ket" na $\vert b\rangle$ ay nagbibigay ng "bracket" na $\langle a \vert b\rangle.$ Ang notasyon at terminolohiyang ito ay nagmula sa Paul Dirac, at dahil dito ay kilala bilang notasyong Dirac.

Mga probabilistikong operasyon at stochastic matrix

Bukod sa mga deterministikong operasyon, mayroon din tayong mga probabilistikong operasyon.

Halimbawa, isaalang-alang ang sumusunod na operasyon sa isang bit. Kung ang klasikal na estado ng bit ay $0,$ ito ay naiwan nang buo; at kung ang klasikal na estado ng bit ay $1,$ ito ay binaliktad, upang maging $0$ nang may probabilidad na $1/2$ at $1$ nang may probabilidad na $1/2.$ Ang operasyong ito ay kinakatawan ng matris

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Maaaring suriin ng isa na ang matris na ito ay gumagawa ng tamang bagay sa pamamagitan ng pagpaparami ng dalawang standard basis vector dito.

Para sa isang di-makatwirang pagpili ng isang set ng klasikal na estado, maaari nating ilarawan ang set ng lahat ng probabilistikong operasyon sa matematikal na termino bilang ang mga kinakatawan ng mga stochastic na matris, na mga matris na nakakatugon sa dalawang katangiang ito:

1. Lahat ng entry ay hindi negatibong tunay na mga numero.
2. Ang mga entry sa bawat column ay nagsusuma sa $1.$

Katumbas nito, ang mga stochastic na matris ay mga matris na ang lahat ng column ay bumubuo ng mga probability vector.

Maaari nating isipin ang mga probabilistikong operasyon sa isang intuwitibong antas bilang ang mga kung saan ang randomness ay maaaring gamitin o ipakilala sa panahon ng operasyon, tulad ng sa halimbawa sa itaas. Kaugnay ng paglalarawan ng stochastic na matris ng isang probabilistikong operasyon, ang bawat column ay maaaring tingnan bilang isang representasyong vector ng probabilistikong estado na nabuo kapag ang ibinigay na klasikal na estado ng input ay katumbas ng column na iyon.

Maaari rin nating isipin ang mga stochastic na matris bilang eksaktong ang mga matris na palaging nagma-map ng mga probability vector sa mga probability vector. Iyon ay, ang mga stochastic na matris ay palaging nagma-map ng mga probability vector sa mga probability vector, at anumang matris na palaging nagma-map ng mga probability vector sa mga probability vector ay dapat na isang stochastic na matris.

Sa wakas, isang iba't ibang paraan para isipin ang mga probabilistikong operasyon ay na sila ay mga random na pagpili ng mga deterministikong operasyon. Halimbawa, maaari nating isipin ang operasyon sa halimbawa sa itaas bilang paglalapat ng alinman sa identity function o sa constant 0 function, bawat isa nang may probabilidad na $1/2.$ Ito ay naaayon sa equation

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ang ganitong pagpapahayag ay palaging posible, para sa isang di-makatwirang pagpili ng isang set ng klasikal na estado at anumang stochastic na matris na ang mga row at column ay natutukoy ng set ng klasikal na estado na iyon.

Mga komposisyon ng mga probabilistikong operasyon

Ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ ay isang sistema na may set ng klasikal na estado na $\Sigma,$ at ang $M_1,\ldots,M_n$ ay mga stochastic na matris na kumakatawan sa mga probabilistikong operasyon sa sistema na $\mathsf{X}.$

Kung ang unang operasyon na $M_1$ ay inilalapat sa probabilistikong estado na kinakatawan ng isang probability vector na $u,$ ang resultang probabilistikong estado ay kinakatawan ng vector na $M_1 u.$ Kung ilalapat natin ang pangalawang probabilistikong operasyon na $M_2$ sa bagong probability vector na ito, nakukuha natin ang probability vector

$$M_2 (M_1 u) = (M_2 M_1) u.$$

Ang pagkakatumbas ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagpaparami ng matris (na kinabibilangan ng pagpaparami ng matris-vector bilang isang espesyal na kaso) ay isang asosyatibo na operasyon. Kaya, ang probabilistikong operasyon na nakuha sa pamamagitan ng pagkomposisyon ng una at pangalawang probabilistikong operasyon, kung saan unang inilalapat ang $M_1$ at pagkatapos ay inilalapat ang $M_2,$ ay kinakatawan ng matris na $M_2 M_1,$ na kinakailangang stochastic.

Sa pangkalahatan, ang pagkomposisyon ng mga probabilistikong operasyon na kinakatawan ng mga matris na $M_1,\ldots,M_n$ sa pagkakasunod-sunod na ito, ibig sabihin na ang $M_1$ ay inilalapat muna, ang $M_2$ ay inilalapat pangalawa, at iba pa, na ang $M_n$ ay inilalapat sa huli, ay kinakatawan ng produkto ng matris

$$M_n \,\cdots\, M_1.$$

Pansinin na mahalaga ang pagkakasunod-sunod dito: kahit na ang pagpaparami ng matris ay asosyatibo, hindi ito isang komutatibo na operasyon. Halimbawa, kung

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix},$$

kung gayon

$$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_1 M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ibig sabihin, mahalaga ang pagkakasunod-sunod ng pagkomposisyon ng mga probabilistikong operasyon; ang pagbabago ng pagkakasunod-sunod ng paglalapat ng mga operasyon sa isang komposisyon ay maaaring magbago ng resultang operasyon.