Quantum information

Handa na tayong lumipat sa quantum information, kung saan pumipili tayo ng ibang uri ng vector para kumatawan sa estado — sa kasong ito isang quantum state — ng sistema na pinag-aaralan natin. Tulad ng nakaraang talakayan tungkol sa classical information, magfo-focus tayo sa mga sistema na may finite at hindi walang laman na mga set ng classical states, at gagamitin natin ang karamihan sa parehong notasyon.

Mga quantum state vector

Ang quantum state ng isang sistema ay kinakatawan ng isang column vector, katulad ng probabilistic state. Tulad ng dati, ang mga indeks ng vector ay nagtutukoy sa mga classical state ng sistema. Ang mga vector na kumakatawan sa mga quantum state ay nailalarawan ng dalawang katangian:

1. Ang mga entry ng isang quantum state vector ay mga kumplikadong numero (complex numbers).
2. Ang kabuuan ng absolute value squared ng mga entry ng isang quantum state vector ay $1.$

Kaya, hindi tulad ng mga probabilistic state, ang mga vector na kumakatawan sa mga quantum state ay hindi kailangang may mga hindi-negatibong (nonnegative) real number na entry, at ang kabuuan ng mga absolute value squared ng mga entry (kumpara sa kabuuan ng mga entry mismo) ang kailangang katumbas ng $1.$ Kahit gaano kasimple ang mga pagbabagong ito, sila ang nagbubunga ng mga pagkakaiba sa pagitan ng quantum at classical information; anumang pagpapabilis mula sa isang quantum computer, o pagpapabuti mula sa isang quantum communication protocol, ay nagmumula sa mga simpleng pagbabagong matematikal na ito.

Ang Euclidean norm ng isang column vector

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

ay tinutukoy at tinukuyan tulad ng sumusunod:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

Ang kondisyong ang kabuuan ng mga absolute value squared ng isang quantum state vector ay katumbas ng $1$ ay katumbas nito na ang vector ay may Euclidean norm na katumbas ng $1.$ Ibig sabihin, ang mga quantum state vector ay mga unit vector kaugnay ng Euclidean norm.

Mga halimbawa ng qubit state

Ang terminong qubit ay tumutukoy sa isang quantum system na ang classical state set ay $\{0,1\}.$ Ibig sabihin, ang isang qubit ay talagang isang bit lamang — ngunit sa paggamit ng terminong ito, tahasan nating kinikilala na maaaring nasa quantum state ang bit na ito.

Narito ang mga halimbawa ng mga quantum state ng isang qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{at}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

at

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Ang unang dalawang halimbawa, $\vert 0\rangle$ at $\vert 1\rangle,$ ay nagpapakita na ang mga standard basis element ay mga wastong quantum state vector: ang kanilang mga entry ay mga kumplikadong numero, kung saan ang imaginary na bahagi ng mga numerong ito ay lahat ay $0,$ at ang pagkalkula ng kabuuan ng mga absolute value squared ng mga entry ay nagbibigay ng

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{at}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

ayon sa hinihingi. Katulad ng classical na sitwasyon, iniuugnay natin ang mga quantum state vector na $\vert 0\rangle$ at $\vert 1\rangle$ sa isang qubit na nasa classical state na $0$ at $1,$ ayon sa pagkakasunod.

Para sa dalawang huling halimbawa, mayroon ding mga kumplikadong numero na entry, at ang pagkalkula ng kabuuan ng mga absolute value squared ng mga entry ay nagbibigay ng

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

at

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Kaya, ito ay mga wastong quantum state vector. Pansinin na sila ay mga linear na kombinasyon ng mga standard basis state na $\vert 0 \rangle$ at $\vert 1 \rangle,$ at dahil dito madalas nating sinasabing sila ay mga superposition ng mga state na $0$ at $1.$ Sa konteksto ng mga quantum state, ang superposition at linear combination ay halos magkasingkahulugan.

Ang halimbawa $(1)$ ng qubit state vector sa itaas ay napaka-karaniwang makita — tinatawag itong plus state at tinutukuyan tulad ng sumusunod:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Gumagamit din tayo ng notasyon

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

para tumukoy sa isang kaugnay na quantum state vector kung saan ang pangalawang entry ay negatibo sa halip na positibo, at tinatawag natin itong minus state.

Ang ganitong uri ng notasyon, kung saan ang isang simbolo maliban sa tumutukoy sa isang classical state ay lilitaw sa loob ng ket, ay karaniwan — maaari tayong gumamit ng anumang pangalan na gusto natin sa loob ng ket para pangalanan ang isang vector. Karaniwan ding gamitin ang notasyong $\vert\psi\rangle,$ o ibang pangalan sa halip ng $\psi,$ para tumukoy sa isang arbitrary na vector na maaaring hindi standard basis vector.

Pansinin na, kung mayroon tayong vector na $\vert \psi \rangle$ na ang mga indeks ay tumutugma sa ilang classical state set na $\Sigma,$ at kung ang $a\in\Sigma$ ay isang elemento ng classical state set na ito, ang matrix product na $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ ay katumbas ng entry ng vector na $\vert \psi \rangle$ na ang indeks ay tumutugma sa $a.$ Tulad ng ginawa natin nang ang $\vert \psi \rangle$ ay isang standard basis vector, isusulat natin ang $\langle a \vert \psi \rangle$ sa halip na $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ para sa kapakanan ng kalinawan.

Halimbawa, kung ang $\Sigma = \{0,1\}$ at

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

kung gayon

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{at}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

Sa pangkalahatan, kapag ginagamit ang Dirac notation para sa mga arbitrary na vector, ang notasyong $\langle \psi \vert$ ay tumutukoy sa row vector na nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng conjugate-transpose ng column vector na $\vert\psi\rangle,$ kung saan ang vector ay naka-transpose mula sa column vector patungong row vector at ang bawat entry ay pinapalitan ng kumplikadong conjugate nito. Halimbawa, kung ang $\vert\psi\rangle$ ay ang vector na tinukuyan sa $(2),$ kung gayon

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Ang dahilan kung bakit kinukuha natin ang kumplikadong conjugate, bukod sa transpose, ay magiging mas malinaw sa bandang huli kapag tinalakay natin ang mga inner product.

Mga quantum state ng ibang sistema

Maaari tayong mag-isip ng mga quantum state ng mga sistema na may arbitrary na classical state set. Halimbawa, narito ang isang quantum state vector para sa isang electric fan switch:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

Ang pagpapalagay dito ay na ang mga classical state ay nakaayos bilang high, medium, low, off. Maaaring walang partikular na dahilan kung bakit nais ng isang tao na isaalang-alang ang isang quantum state ng isang electric fan switch, ngunit posible ito sa prinsipyo.

Narito ang isa pang halimbawa, ngayon ay ng isang quantum decimal digit na ang mga classical state ay $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Ipinapakita ng halimbawang ito ang kaginhawaan ng pagsulat ng mga state vector gamit ang Dirac notation. Para sa partikular na halimbawang ito, ang representasyong column vector ay medyo mahirap gamitin — ngunit kung may mas maraming classical state, magiging imposible na itong gamitin. Ang Dirac notation, sa kabaligtaran, ay sumusuporta sa mga tumpak na paglalarawan ng malalaki at kumplikadong mga vector sa isang maigting na anyo.

Pinapayagan din ng Dirac notation ang pagpapahayag ng mga vector kung saan ang iba't ibang aspeto ng mga vector ay indeterminate, ibig sabihin ay hindi alam o hindi pa natukuyan. Halimbawa, para sa isang arbitrary na classical state set na $\Sigma,$ maaari nating isaalang-alang ang quantum state vector

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

kung saan ang notasyong $\sqrt{|\Sigma|}$ ay tumutukoy sa Euclidean norm ng $\Sigma,$ at ang $\vert\Sigma\vert$ sa kasong ito ay simpleng ang bilang ng mga elemento sa $\Sigma.$ Sa salita, ito ay isang uniform superposition sa mga classical state sa $\Sigma.$

Mahaharap tayo sa mas kumplikadong mga pagpapahayag ng mga quantum state vector sa mga susunod na aralin, kung saan ang paggamit ng mga column vector ay magiging hindi praktikal o imposible. Sa katunayan, halos ibibitiw na natin ang representasyong column vector ng mga state vector, maliban para sa mga vector na may maliit na bilang ng mga entry (madalas sa konteksto ng mga halimbawa), kung saan maaaring makatulong ang tahasan na pagpapakita at pagsusuri ng mga entry.

Narito ang isa pang dahilan kung bakit maginhawa ang pagpapahayag ng mga state vector gamit ang Dirac notation: nag-aalis ito ng pangangailangang tahasan na tukuyin ang pagkakasunod-sunod ng mga classical state (o, katumbas nito, ang pagtutugma sa pagitan ng mga classical state at ng mga vector index).

Halimbawa, ang isang quantum state vector para sa isang sistema na may classical state set na $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ tulad ng

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

ay walang kalabuan na inilalarawan ng expression na ito, at walang tunay na pangangailangan na pumili o tukuyin ang pagkakasunod ng classical state set na ito para maunawaan ang expression. Sa kasong ito, hindi mahirap tukuyin ang pagkakasunod ng mga standard na suit ng baraha — halimbawa, maaari tayong pumili na ayusin ang mga ito tulad nito: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Kung pipiliin natin ang partikular na pagkakasunod-sunod na ito, ang quantum state vector sa itaas ay kinakatawan ng column vector

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

Sa pangkalahatan, gayunpaman, maginhawa na maaring basta na lang balewalain ang isyu kung paano nakaayos ang mga classical state set.

Pagsukat ng mga quantum state

Susunod, tingnan natin kung ano ang mangyayari kapag sinukat ang isang quantum state, na nakatuon sa isang simpleng uri ng pagsukat na kilala bilang standard basis measurement. (May mas pangkalahatang mga konsepto ng pagsukat na tatalakayin natin sa bandang huli.)

Katulad ng probabilistic na sitwasyon, kapag sinukat ang isang sistema sa quantum state, ang hypothetical na observer na nagsasagawa ng pagsukat ay hindi makakakita ng quantum state vector, kundi makakakita ng ilang classical state. Sa ganitong kahulugan, ang mga pagsukat ay nagsisilbing interface sa pagitan ng quantum at classical information, kung saan ang classical information ay kinukuha mula sa mga quantum state.

Ang panuntunan ay simple: kung sinukat ang isang quantum state, ang bawat classical state ng sistema ay lumalabas na may probabilidad na katumbas ng absolute value squared ng entry sa quantum state vector na tumutugma sa klasikal na estado na iyon. Ito ay kilala bilang Born rule sa quantum mechanics. Pansinin na ang panuntunang ito ay naaayon sa hinihingi na ang mga absolute value squared ng mga entry sa isang quantum state vector ay nagkakabuod sa $1,$ dahil ipinahihiwatig nito na ang mga probabilidad ng iba't ibang classical state measurement outcome ay nagkakabuod sa $1.$

Halimbawa, ang pagsukat sa plus state

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

ay nagbubunga ng dalawang posibleng resulta, $0$ at $1,$ na may mga probabilidad tulad ng sumusunod.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Kapansin-pansin, ang pagsukat sa minus state

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

ay nagbubunga ng eksaktong parehong mga probabilidad para sa dalawang resulta.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Nagmumungkahi ito na, sa pagitan ng mga standard basis measurement, walang pagkakaiba ang plus at minus state. Bakit pa ba natin papansinin ang pagkakaiba sa pagitan nila? Ang sagot ay ang dalawang estado na ito ay nagagawi nang iba kapag may mga operasyon na isinasagawa sa kanila, gaya ng tatalakayin natin sa susunod na subseksyon sa ibaba.

Siyempre, ang pagsukat sa quantum state na $\vert 0\rangle$ ay nagbubunga ng classical state na $0$ nang may katiyakan, at gayundin ang pagsukat sa quantum state na $\vert 1\rangle$ ay nagbubunga ng classical state na $1$ nang may katiyakan. Ito ay naaayon sa pagkilala sa mga quantum state na ito bilang ang sistema na nasa kaukulang classical state, gaya ng iminungkahi noon.

Bilang huling halimbawa, ang pagsukat sa estado

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

ay nagbubunga ng dalawang posibleng resulta na may mga probabilidad tulad ng sumusunod:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

at

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Mga unitary na operasyon

Sa ngayon, maaaring hindi pa malinaw kung bakit ang quantum information ay pundamental na naiiba sa classical information. Ibig sabihin, kapag sinukat ang isang quantum state, ang probabilidad na makuha ang bawat classical state ay ibinibigay ng absolute value squared ng kaukulang vector entry — kaya bakit hindi na lang itala ang mga probabilidad na ito sa isang probability vector?

Ang sagot, kahit man sa bahagi, ay ang hanay ng mga pinahihintulutang operasyon na maaaring isagawa sa isang quantum state ay naiiba kaysa sa para sa classical information. Katulad ng probabilistic na sitwasyon, ang mga operasyon sa mga quantum state ay mga linear na mapping — ngunit sa halip na kinakatawan ng mga stochastic matrix, tulad ng sa classical na kaso, ang mga operasyon sa mga quantum state vector ay kinakatawan ng mga unitary na matrix.

Ang isang square matrix na $U$ na may mga kumplikadong numero na entry ay unitary kung natutugunan nito ang mga ekwasyon

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Dito, ang $\mathbb{I}$ ay ang identity matrix, at ang $U^{\dagger}$ ay ang conjugate transpose ng $U,$ ibig sabihin ang matrix na nakuha sa pamamagitan ng pag-transpose ng $U$ at pagkuha ng kumplikadong conjugate ng bawat entry.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Kung ang alinman sa dalawang pagkakatumbas na may bilang $(3)$ sa itaas ay totoo, ang isa ay kailangang totoo rin. Ang parehong pagkakatumbas ay katumbas ng $U^{\dagger}$ bilang inverse ng $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Babala: kung ang $M$ ay hindi isang square matrix, maaaring mangyari na ang $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ at $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ halimbawa. Ang katumbasan ng dalawang pagkakatumbas sa unang ekwasyon sa itaas ay totoo lamang para sa mga square matrix.)

Ang kondisyon na ang $U$ ay unitary ay katumbas ng kondisyon na ang pagpaparami ng $U$ ay hindi nagbabago ng Euclidean norm ng anumang vector. Ibig sabihin, ang isang $n\times n$ matrix na $U$ ay unitary kung at kung $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ para sa bawat $n$-dimensional na column vector na $\vert \psi \rangle$ na may mga kumplikadong numero na entry. Kaya, dahil ang hanay ng lahat ng quantum state vector ay kapareho ng hanay ng mga vector na may Euclidean norm na katumbas ng $1,$ ang pagpaparami ng isang unitary matrix sa isang quantum state vector ay nagbubunga ng isa pang quantum state vector.

Sa katunayan, ang mga unitary matrix ay eksaktong ang hanay ng mga linear na mapping na palaging nagtatransforma ng mga quantum state vector sa ibang mga quantum state vector. Pansinin dito ang pagkakatulad sa classical probabilistic na kaso kung saan ang mga operasyon ay iniuugnay sa mga stochastic matrix, na siyang mga nagtatransforma palagi ng mga probability vector sa iba pang mga probability vector.

Mga halimbawa ng unitary na operasyon sa mga qubit

Inilalarawan ng sumusunod na listahan ang ilang karaniwang nakakaharap na unitary na operasyon sa mga qubit.

1. Mga Pauli na operasyon. Ang apat na Pauli matrix ay ang mga sumusunod:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Ang karaniwang alternatibong notasyon ay $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ at $Z = \sigma_z$ (ngunit dapat malaman na ang mga titik na $X,$ $Y,$ at $Z$ ay madalas ding ginagamit para sa iba pang layunin). Ang operasyong $X$ ay tinatawag ding bit flip o NOT operation dahil ginagawa nito ang sumusunod na aksyon sa mga bit:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{at} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   Ang operasyong $Z$ ay tinatawag ding phase flip, at ito ang aksyon nito:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{at} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Hadamard na operasyon. Ang Hadamard na operasyon ay inilalarawan ng matrix na ito:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Mga phase na operasyon. Ang isang phase na operasyon ay inilalarawan ng matrix

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   para sa anumang pagpili ng isang real number na $\theta.$ Ang mga operasyon

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{at} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   ay partikular na mahahalagang halimbawa. Kasama sa iba pang mga halimbawa ang $\mathbb{I} = P_0$ at $Z = P_{\pi}.$

Lahat ng matrix na tinukuyan ay unitary, at samakatuwid ay kumakatawan sa mga quantum na operasyon sa isang qubit. Halimbawa, narito ang isang kalkulasyon na nagpapatunay na ang $H$ ay unitary:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

At narito ang aksyon ng Hadamard na operasyon sa ilang karaniwang nakakaharap na qubit state vector.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Mas maikli, nakukuha natin ang apat na ekwasyong ito.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Kapaki-pakinabang na pag-isipan ang katotohanan na ang $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ at $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ sa liwanag ng tanong na iminungkahi sa nakaraang seksyon tungkol sa pagkakaiba sa pagitan ng mga estado na $\vert {+} \rangle$ at $\vert {-} \rangle.$

Isipin ang isang sitwasyon kung saan ang isang qubit ay inihanda sa isa sa dalawang quantum state na $\vert {+} \rangle$ at $\vert {-} \rangle,$ ngunit hindi alam sa atin kung alin ang inihanda. Ang pagsukat sa alinmang estado ay nagbubunga ng parehong output distribution gaya ng isa pa, gaya ng napag-obserba na natin: $0$ at $1$ ay parehong lumalabas na may pantay na probabilidad na $1/2,$ na walang ibinibigay na impormasyon tungkol sa kung alin sa dalawang estado ang inihanda.

Gayunpaman, kung una nating ilapat ang isang Hadamard na operasyon at pagkatapos ay sumukat, nakukuha natin ang resulta na $0$ nang may katiyakan kung ang orihinal na estado ay $\vert {+} \rangle,$ at nakukuha natin ang resulta na $1,$ muli nang may katiyakan, kung ang orihinal na estado ay $\vert {-} \rangle.$ Ang mga quantum state na $\vert {+} \rangle$ at $\vert {-} \rangle$ ay maaaring makilala nang perpekto. Inihahayag nito na ang mga pagbabago sa tanda, o mas pangkalahatan ang mga pagbabago sa mga phase (na tradisyonal ding tinatawag na arguments) ng mga kumplikadong numero na entry ng isang quantum state vector, ay maaaring makabuluhang magbago ng estadong iyon.

Narito ang isa pang halimbawa, na nagpapakita kung paano kumikilos ang isang Hadamard na operasyon sa isang state vector na nabanggit noon.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Susunod, isaalang-alang natin ang aksyon ng isang $T$ na operasyon sa isang plus state.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Pansinin dito na hindi natin ginawang abala na i-convert sa katumbas na mga matrix/vector na anyo, at sa halip ay ginamit ang linearidad ng matrix multiplication kasama ang mga pormula

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{at}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Sa katulad na paraan, maaari nating kalkulahin ang resulta ng paglapat ng isang Hadamard na operasyon sa quantum state vector na katatapos lang makuha:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Ang dalawang paraan — ang isa kung saan tahasan nating kino-convert sa mga matrix na representasyon at ang isa kung saan ginagamit natin ang linearidad at inilalagay ang mga aksyon ng isang operasyon sa mga standard basis state — ay katumbas. Maaari nating gamitin ang alinmang mas maginhawa sa partikular na sitwasyon.

Mga komposisyon ng qubit unitary na operasyon

Ang mga komposisyon ng mga unitary na operasyon ay kinakatawan ng matrix multiplication, tulad ng dati sa probabilistic na sitwasyon.

Halimbawa, ipagpalagay na una tayong mag-apply ng Hadamard na operasyon, sinundan ng isang $S$ na operasyon, sinundan ng isa pang Hadamard na operasyon. Ang nagresultang operasyon, na tatawagin nating $R$ para sa halimbawang ito, ay tulad ng sumusunod:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Ang unitary na operasyong $R$ na ito ay isang kawili-wiling halimbawa. Sa pamamagitan ng paglapat ng operasyong ito nang dalawang beses, na katumbas ng pag-square ng representasyong matrix nito, nakakakuha tayo ng NOT na operasyon:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ibig sabihin, ang $R$ ay isang square root of NOT na operasyon. Ang ganitong uri ng gawi, kung saan ang parehong operasyon ay inilapat nang dalawang beses para makakuha ng NOT na operasyon, ay hindi posible para sa isang classical na operasyon sa isang bit.

Mga unitary na operasyon sa mas malalaking sistema

Sa mga susunod na aralin, makikita natin ang maraming halimbawa ng mga unitary na operasyon sa mga sistema na may higit sa dalawang classical state. Isang halimbawa ng unitary na operasyon sa isang sistema na may tatlong classical state ay ibinibigay ng sumusunod na matrix.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Ipagpalagay na ang mga classical state ng sistema ay $0,$ $1,$ at $2,$ maaari nating ilarawan ang operasyong ito bilang pagdagdag ng modulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{at}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

Ang matrix na $A$ ay isang halimbawa ng isang permutation matrix, na isang matrix kung saan ang bawat row at column ay may eksaktong isang $1.$ Ang ganitong mga matrix ay basta nag-aayos o nagpapalipat-lipat ng mga entry ng mga vector na tinatransforma nila. Ang identity matrix ay marahil ang pinakasimpleng halimbawa ng isang permutation matrix, at ang isa pang halimbawa ay ang NOT na operasyon sa isang bit o qubit. Ang bawat permutation matrix, sa anumang positibong integer na dimensyon, ay unitary. Ito ang mga tanging halimbawa ng mga matrix na kumakatawan sa parehong classical at quantum na operasyon: ang isang matrix ay parehong stochastic at unitary kung at kung ito ay isang permutation matrix.

Isa pang halimbawa ng isang unitary matrix, ngayon ay isang $4\times 4$ na matrix, ay ito:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Inilalarawan ng matrix na ito ang isang operasyon na kilala bilang quantum Fourier transform, partikular sa $4\times 4$ na kaso. Ang quantum Fourier transform ay maaaring tukuyin nang mas pangkalahatan, para sa anumang positibong integer na dimensyon na $n,$ at gumaganap ng mahalagang papel sa mga quantum algorithm.