Fidelity

Sa bahaging ito ng aralin, tatalakayin natin ang fidelity sa pagitan ng mga quantum state, na isang sukatan ng kanilang pagkakatulad — o kung gaano sila "mag-overlap."

Sa dalawang ibinigay na quantum state vector, ang fidelity sa pagitan ng mga pure state na kaugnay ng mga quantum state vector na ito ay katumbas ng absolute value ng inner product ng mga quantum state vector. Nagbibigay ito ng pangunahing paraan upang masukat ang kanilang pagkakatulad: ang resulta ay isang value sa pagitan ng $0$ at $1$, kung saan ang mas mataas na value ay nagpapahiwatig ng mas malaking pagkakatulad. Sa partikular, ang value ay zero para sa mga orthogonal na state (ayon sa kahulugan), habang ang value ay $1$ para sa mga state na katumbas maliban sa isang global phase.

Sa simpleng salita, ang fidelity ay maaaring ituring na extension ng pangunahing sukatan ng pagkakatulad na ito, mula sa mga quantum state vector patungo sa mga density matrix.

Kahulugan ng fidelity

Angkop na magsimula sa kahulugan ng fidelity. Sa unang tingin, ang kahulugang susundin ay maaaring mukhang kakaiba o mahiwagang, at marahil ay hindi madaling gamitin. Ang function na tinutukoy nito, gayunpaman, ay naglalaman ng maraming kawili-wiling katangian at maraming alternatibong pormulasyon, na ginagawa itong mas maganda gamitin kaysa sa unang hitsura nito.

Kahulugan

Hayaan ang $\rho$ at $\sigma$ na maging mga density matrix na kumakatawan sa mga quantum state ng parehong sistema. Ang fidelity sa pagitan ng $\rho$ at $\sigma$ ay tinukoy gamit ang trace (Tr) bilang

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Puna

Bagaman ito ay isang karaniwang kahulugan, karaniwan ding tinukoy ang fidelity bilang kuwadrado ng kantidad na tinukoy dito, na tinatawag naman na root-fidelity. Walang tama o maling kahulugan — ito ay talagang bagay lamang ng kagustuhan. Gayunpaman, lagi dapat mag-ingat upang maunawaan o linawin kung aling kahulugan ang ginagamit.

Upang maunawaan ang formula sa kahulugan, pansinin muna na ang $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ ay isang positive semidefinite na matrix:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

para sa $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$. Tulad ng lahat ng positive semidefinite na matrix, ang positive semidefinite na matrix na ito ay may natatanging positive semidefinite na square root, kung saan ang trace nito ay ang fidelity.

Para sa bawat square matrix na $M$, ang mga eigenvalue ng dalawang positive semidefinite na matrix na $M^{\dagger} M$ at $M M^{\dagger}$ ay palaging magkapareho, at samakatuwid ay totoo rin ito para sa mga square root ng mga matrix na ito. Sa pamamagitan ng pagpili ng $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ at paggamit ng katotohanan na ang trace ng isang square matrix ay ang kabuuan ng mga eigenvalue nito, makikita natin na

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Kaya, bagaman hindi agad malinaw mula sa kahulugan, ang fidelity ay simetrikal sa dalawa nitong argumento.

Fidelity sa pamamagitan ng trace norm

Isang katumbas na paraan upang ipahayag ang fidelity ay sa pamamagitan ng formula na ito:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Dito makikita natin ang trace norm, na natagpuan natin sa nakaraang aralin sa konteksto ng state discrimination. Ang trace norm ng isang (hindi kinakailangang square) na matrix na $M$ ay maaaring tukuyin bilang

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

at sa pamamagitan ng paglapat ng kahulugang ito sa matrix na $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ ay makuha natin ang formula sa kahulugan.

Isang alternatibong paraan upang ipahayag ang trace norm ng isang (square) na matrix na $M$ ay sa pamamagitan ng formula na ito.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Dito ang maximum ay sa lahat ng unitary na matrix na $U$ na may parehong bilang ng rows at columns tulad ng $M$. Ang paglapat ng formula na ito sa sitwasyong pinag-uusapan ay nagbubunyag ng isa pang ekspresyon ng fidelity.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelity para sa mga pure state

Isang huling punto sa kahulugan ng fidelity ay ang bawat pure state ay (bilang isang density matrix) katumbas ng sarili nitong square root, na nagpapahintulot na lubos na mapasimple ang formula para sa fidelity kapag isa o parehong state ay pure. Sa partikular, kung isa sa dalawang state ay pure mayroon tayong sumusunod na formula.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Kung parehong state ay pure, napapasimple ang formula sa absolute value ng inner product ng mga kaukulang quantum state vector, tulad ng nabanggit sa simula ng seksyon.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Mga pangunahing katangian ng fidelity

Ang fidelity ay may maraming kapansin-pansing katangian at ilang alternatibong pormulasyon. Narito ang ilang pangunahing katangian na nakalista nang walang patunay.

1. Para sa anumang dalawang density matrix na $\rho$ at $\sigma$ na may parehong laki, ang fidelity na $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ ay nasa pagitan ng zero at isa: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Totoo na ang $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ kung at saka lamang kung ang $\rho$ at $\sigma$ ay may orthogonal na mga imahe (kaya maaari silang ma-discriminate nang walang error), at ang $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ kung at saka lamang kung ang $\rho = \sigma.$

2. Ang fidelity ay multiplicative, ibig sabihin ang fidelity sa pagitan ng dalawang product state ay katumbas ng produkto ng mga indibidwal na fidelity:

   $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$

3. Ang fidelity sa pagitan ng mga state ay nondecreasing sa ilalim ng aksyon ng anumang channel. Ibig sabihin, kung ang $\rho$ at $\sigma$ ay density matrices at ang $\Phi$ ay isang channel na maaaring tumanggap ng dalawang state na ito bilang input, kinakailangan na matugunan

   $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$

4. Ang Fuchs-van de Graaf inequalities ay nagtatatag ng malapit (bagama't hindi eksakto) na relasyon sa pagitan ng fidelity at trace distance: para sa anumang dalawang state $\rho$ at $\sigma$ mayroon tayong

   $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

Ang huling katangian ay maaaring ipahayag sa anyo ng isang figure:

Sa partikular, para sa anumang pagpili ng mga state na $\rho$ at $\sigma$ ng parehong sistema, ang pahalang na linya na tumatawid sa $y$-axis sa $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ at ang patayong linya na tumatawid sa $x$-axis sa $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ ay dapat magtagpo sa loob ng kulay-abong rehiyon na hangganan sa ibaba ng linya na $y = 1-x$ at sa itaas ng unit circle. Ang pinaka-kawili-wiling rehiyon ng figure na ito mula sa praktikal na pananaw ay ang kaliwang sulok sa itaas ng kulay-abong rehiyon: kung ang fidelity sa pagitan ng dalawang state ay malapit sa isa, kung gayon ang kanilang trace distance ay malapit sa zero, at kabaligtaran.

Gentle measurement lemma

Susunod, titingnan natin ang isang simple ngunit mahalagang katotohanan, kilala bilang ang gentle measurement lemma, na nag-uugnay ng fidelity sa mga non-destructive na sukat. Ito ay isang napaka-kapaki-pakinabang na lemma na lumilitaw paminsan-minsan, at kapansin-pansin din ito dahil ang tila mahirap na kahulugan para sa fidelity ay talagang ginagawang napakadaling patunayan ang lemma.

Ang sitwasyon ay ganito. Hayaan ang $\mathsf{X}$ na maging isang sistema sa isang state na $\rho$ at hayaan ang $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ na maging isang koleksyon ng mga positive semidefinite na matrix na kumakatawan sa isang pangkalahatang sukat ng $\mathsf{X}$. Ipagpalagay pa na kung ang sukat na ito ay isasagawa sa sistema na $\mathsf{X}$ habang ito ay nasa state na $\rho$, isa sa mga resulta ay lubos na malamang. Upang maging tiyak, ipagpalagay natin na ang malamang na resulta ng sukat ay $0$, at partikular na ipagpalagay natin na

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

para sa isang maliit na positibong tunay na bilang na $\varepsilon > 0$.

Ang sinasabi ng gentle measurement lemma ay, sa ilalim ng mga pagpapalagay na ito, ang non-destructive na sukat na nakuha mula sa $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ sa pamamagitan ng teorema ni Naimark ay nagdudulot lamang ng maliit na abala sa $\rho$ kung ang malamang na resulta ng sukat na $0$ ay naobserbahan.

Mas tiyak, sinasabi ng lemma na ang fidelity-squared sa pagitan ng $\rho$ at ng state na nakuha natin mula sa non-destructive na sukat, na nakakundisyon sa resulta na $0$, ay mas malaki kaysa sa $1-\varepsilon$.

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Kakailanganin natin ng isang pangunahing katotohanan tungkol sa mga sukat upang patunayan ito. Ang mga measurement matrix na $P_0, \ldots, P_{m-1}$ ay positive semidefinite at kabuuan ay katumbas ng identity, na nagpapahintulot sa atin na tapusin na ang lahat ng eigenvalue ng $P_0$ ay mga tunay na numero sa pagitan ng $0$ at $1$. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na, para sa anumang unit vector na $\vert\psi\rangle$, ang value na $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ ay isang hindi negatibong tunay na numero para sa bawat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (dahil ang bawat $P_a$ ay positive semidefinite), kasama ang mga numerong ito na kabuuan ay isa.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Kaya ang $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ ay palaging isang tunay na numero sa pagitan ng $0$ at $1$, at ipinapakita nito na ang bawat eigenvalue ng $P_0$ ay isang tunay na numero sa pagitan ng $0$ at $1$ dahil maaari nating piliin ang $\vert\psi\rangle$ nang partikular upang maging isang unit eigenvector na kaugnay ng anumang eigenvalue na interesado tayo.

Mula sa obserbasyong ito maaari nating tapusin ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay para sa bawat density matrix na $\rho$.

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Sa mas detalyadong paraan, simula sa isang spectral decomposition

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

mapapatunayan natin na

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

mula sa katotohanan na ang $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ ay isang hindi negatibong tunay na numero at ang $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ para sa bawat $k = 0,\ldots,n-1$. (Ang pag-square ng mga numero sa pagitan ng $0$ at $1$ ay hindi kailanman magpapalaki sa kanila.)

Ngayon maaari na nating patunayan ang gentle measurement lemma sa pamamagitan ng pag-ebalweyt ng fidelity at paggamit ng ating hindi pagkakapantay-pantay. Una, pasimplehin natin ang ekspresyon na interesado tayo.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Pansinin na ang lahat ng ito ay mga pagkakapantay-pantay — hindi pa natin ginamit ang ating hindi pagkakapantay-pantay (o anumang iba pang hindi pagkakapantay-pantay) sa puntong ito, kaya mayroon tayong eksaktong ekspresyon para sa fidelity. Maaari na nating gamitin ang ating hindi pagkakapantay-pantay upang tapusin na

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

at samakatuwid, sa pamamagitan ng pag-square ng magkabilang panig,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Teorema ni Uhlmann

Upang tapusin ang aralin, titingnan natin ang teorema ni Uhlmann, na isang pangunahing katotohanan tungkol sa fidelity na nag-uugnay nito sa konsepto ng purification. Ang sinasabi ng teorema, sa simpleng salita, ay ang fidelity sa pagitan ng anumang dalawang quantum state ay katumbas ng maximum na inner product (sa absolute value) sa pagitan ng dalawang purification ng mga state na iyon.

Teorema

Teorema ni Uhlmann: Hayaan ang $\rho$ at $\sigma$ na maging mga density matrix na kumakatawan sa mga state ng isang sistema na $\mathsf{X}$, at hayaan ang $\mathsf{Y}$ na maging isang sistema na may hindi bababa sa maraming classical state tulad ng $\mathsf{X}$. Ang fidelity sa pagitan ng $\rho$ at $\sigma$ ay ibinibigay ng

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

kung saan ang maximum ay kinukuha sa lahat ng quantum state vector na $\vert\phi\rangle$ at $\vert\psi\rangle$ ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

Maaari nating patunayan ang teoremang ito gamit ang unitary equivalence ng mga purification — ngunit hindi ito ganap na diretso at gagamitin natin ang isang trick sa proseso.

Upang magsimula, isaalang-alang ang mga spectral decomposition ng dalawang density matrix na $\rho$ at $\sigma$.

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Ang dalawang koleksyon na $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ at $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ ay mga orthonormal na base ng mga eigenvector ng $\rho$ at $\sigma$, ayon sa pagkakasunod, at ang $p_0,\ldots,p_{n-1}$ at $q_0,\ldots,q_{n-1}$ ay ang mga kaukulang eigenvalue.

Tutukuyin din natin ang $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ at $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ bilang mga vector na nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng complex conjugate ng bawat entry ng $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ at $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle$. Ibig sabihin, para sa isang arbitrary na vector na $\vert w\rangle$ maaari tayong tukuyin ang $\vert\overline{w}\rangle$ ayon sa sumusunod na equation para sa bawat $c\in\{0,\ldots,n-1\}$.

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Pansinin na para sa anumang dalawang vector na $\vert u\rangle$ at $\vert v\rangle$ mayroon tayong $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle$. Sa mas pangkalahatang paraan, para sa anumang square matrix na $M$ mayroon tayong sumusunod na formula.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Sumusunod na ang $\vert u\rangle$ at $\vert v\rangle$ ay orthogonal kung at saka lamang kung ang $\vert \overline{u}\rangle$ at $\vert \overline{v}\rangle$ ay orthogonal, at samakatuwid ang $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ at $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ ay parehong mga orthonormal na base.

Ngayon isaalang-alang ang sumusunod na dalawang vector na $\vert\phi\rangle$ at $\vert\psi\rangle$, na mga purification ng $\rho$ at $\sigma$, ayon sa pagkakasunod.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Ito ang trick na nabanggit kanina. Walang malinaw na nagpapahiwatig sa puntong ito na magandang ideya na gawin ang mga partikular na pagpiling ito para sa mga purification ng $\rho$ at $\sigma$, ngunit ito ay mga valid na purification, at ang mga complex conjugation ay magpapahintulot sa algebra na gumana nang kailangan natin.

Sa pamamagitan ng unitary equivalence ng mga purification, alam natin na ang bawat purification ng $\rho$ para sa pares ng mga sistema na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay dapat magkaroon ng anyo $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ para sa ilang unitary matrix na $U$, at gayundin ang bawat purification ng $\sigma$ para sa pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay dapat magkaroon ng anyo $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ para sa ilang unitary matrix na $V$. Ang inner product ng dalawang ganitong purification ay maaaring pasimplehin tulad ng sumusunod.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Habang ang $U$ at $V$ ay sumasaklaw sa lahat ng posibleng unitary matrix, ang matrix na $(U^{\dagger} V)^T$ ay sumasaklaw din sa lahat ng posibleng unitary matrix. Kaya, ang pag-maximize ng absolute value ng inner product ng dalawang purification ng $\rho$ at $\sigma$ ay nagbubunga ng sumusunod na equation.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

Survey pagkatapos ng kurso

Maligayang pagbati sa pagkumpleto ng kursong ito! Mangyaring maglaan ng sandali upang matulungan kaming mapabuti ang aming kurso sa pamamagitan ng pagsagot sa sumusunod na maikling survey. Gagamitin ang iyong feedback upang mapahusay ang aming content at karanasan ng gumagamit. Salamat!