Mga Purification

Kahulugan ng mga purification

Magsimula tayo sa isang tiyak na mathematical na kahulugan ng mga purification.

Kahulugan

Ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ ay isang sistema na nasa estado na kinakatawan ng density matrix na $\rho$, at ang $\vert\psi\rangle$ ay isang quantum state vector ng pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na nagbubunga ng $\rho$ kapag na-trace out ang $\mathsf{Y}$:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

Ang state vector na $\vert\psi\rangle$ ay tinatawag na purification ng $\rho$.

Ang pure state na $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$, na isinulat bilang density matrix sa halip na quantum state vector, ay madalas ding tinatawag na purification ng $\rho$ kapag totoo ang equation sa kahulugan, ngunit sa pangkalahatan ay gagamitin natin ang terminong ito para tumukoy sa isang quantum state vector.

Ginagamit din ang terminong purification sa mas malawak na konteksto — kapag binaliktad ang pagkakasunud-sunod ng mga sistema, kapag iba ang mga pangalan ng mga sistema at estado (syempre), at kapag may higit sa dalawang sistema. Halimbawa, kung ang $\vert \psi \rangle$ ay isang quantum state vector na kumakatawan sa isang pure state ng compound system na $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$, at totoo ang equation

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

para sa isang density matrix na $\rho$ na kumakatawan sa estado ng sistema $(\mathsf{A},\mathsf{C})$, kung gayon ang $\vert\psi\rangle$ ay tinatawag pa rin na purification ng $\rho$.

Para sa layunin ng araling ito, gagawin nating focus ang partikular na anyo na inilarawan sa kahulugan. Ang mga katangian at katotohanan tungkol sa mga purification, ayon sa kahulugang ito, ay karaniwang maaaring gawing pangkalahatan para sa higit sa dalawang sistema sa pamamagitan ng muling pag-aayos at pag-partition ng mga sistema sa dalawang compound system — isa ang gumaganap ng papel ng $\mathsf{X}$ at isa ang gumaganap ng papel ng $\mathsf{Y}$.

Pag-iral ng mga purification

Ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay anumang dalawang sistema at ang $\rho$ ay isang ibinigay na estado ng $\mathsf{X}.$ Patutunayan natin na mayroon talagang quantum state vector na $\vert\psi\rangle$ ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na nagpu-purify ng $\rho$ — ibig sabihin, ang $\vert\psi\rangle$ ay purification ng $\rho$ — basta't malaki ang sapat na sistema $\mathsf{Y}.$ Sa partikular, kung ang $\mathsf{Y}$ ay may kasing-dami o higit pang classical states kaysa sa $\mathsf{X},$ kung gayon ang purification ng ganitong anyo ay tiyak na mayroon para sa bawat estado na $\rho.$ Mas kaunting classical states ng $\mathsf{Y}$ ang kailangan para sa ilang estado na $\rho;$ sa pangkalahatan, $\operatorname{rank}(\rho)$ na classical states ng $\mathsf{Y}$ ang kinakailangan at sapat para sa pag-iral ng isang quantum state vector ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na nagpu-purify ng $\rho.$

Isaalang-alang muna ang anumang pagpapahayag ng $\rho$ bilang convex combination ng $n$ pure states, para sa anumang positibong integer na $n$.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

Sa pagpapahayag na ito, ang $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ ay isang probability vector at ang $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ ay mga quantum state vector ng $\mathsf{X}.$

Isang paraan para makakuha ng ganitong pagpapahayag ay sa pamamagitan ng spectral theorem, kung saan ang $n$ ay ang bilang ng classical states ng $\mathsf{X},$ ang $p_0,\ldots,p_{n-1}$ ay ang mga eigenvalue ng $\rho,$ at ang $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ ay mga orthonormal eigenvector na katumbas ng mga eigenvalue na ito.

Hindi talaga kailangan isama sa sum ang mga term na katumbas ng zero eigenvalue ng $\rho$, na nagpapahintulot sa atin na pumili ng alternatibong $n = \operatorname{rank}(\rho)$ at gawin ang $p_0,\ldots,p_{n-1}$ na mga hindi-zero na eigenvalue ng $\rho$. Ito ang pinakamaliit na halaga ng $n$ kung saan may pagpapahayag ng $\rho$ na may ganitong anyo.

Para maging malinaw, hindi kinakailangan na ang napiling pagpapahayag ng $\rho$ bilang convex combination ng pure states ay nagmula sa spectral theorem — ito ay isa lamang sa mga paraan para makakuha ng ganitong pagpapahayag. Sa partikular, ang $n$ ay maaaring maging anumang positibong integer, ang mga unit vector na $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ ay hindi kailangang maging orthogonal, at ang mga probabilidad na $p_0,\ldots,p_{n-1}$ ay hindi kailangang maging eigenvalue ng $\rho.$

Maaari na nating tukuyin ang isang purification ng $\rho$ tulad ng sumusunod.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

Dito ipinapalagay natin na ang mga classical states ng $\mathsf{Y}$ ay kinabibilangan ng $0,\ldots,n-1$. Kung hindi, maaaring gamitin ang anumang pagpili ng $n$ na natatanging classical states ng $\mathsf{Y}$ bilang kapalit ng $0,\ldots,n-1$. Ang pag-verify na ito ay talagang purification ng $\rho$ ay simpleng bagay lamang ng pagkalkula ng partial trace, na maaaring gawin sa dalawang katumbas na paraan.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

Sa mas pangkalahatang kalagayan, para sa anumang orthonormal na set ng mga vector na $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\}$, ang quantum state vector

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

is a purification of $\rho$.

Halimbawa

Ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay parehong qubit at

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

ay isang density matrix na kumakatawan sa estado ng $\mathsf{X}$.

Maaari nating gamitin ang spectral theorem para ipahayag ang $\rho$ bilang

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

kung saan ang $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle$. Ang quantum state vector

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

na naglalarawan ng pure state ng pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, ay samakatuwid isang purification ng $\rho$.

Bilang alternatibo, maaari nating isulat

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

Ito ay isang convex combination ng mga pure states ngunit hindi isang spectral decomposition dahil ang $\vert 0\rangle$ at $\vert +\rangle$ ay hindi orthogonal at ang $1/2$ ay hindi eigenvalue ng $\rho$. Gayunpaman, ang quantum state vector

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

is a purification of $\rho$.

Mga Schmidt decomposition

Susunod, tatalakayin natin ang mga Schmidt decomposition, na mga pagpapahayag ng quantum state vector ng mga pares ng sistema na may tiyak na anyo. Ang mga Schmidt decomposition ay malapit na konektado sa mga purification, at napaka-kapaki-pakinabang nila sa kanilang sarili. Sa katunayan, kapag nag-iisip tungkol sa isang ibinigay na quantum state vector na $\vert\psi\rangle$ ng isang pares ng mga sistema, ang unang hakbang ay madalas na ang paghanap o pagsasaalang-alang ng isang Schmidt decomposition ng estado na ito.

Kahulugan

Hayaan ang $\vert \psi\rangle$ na maging isang ibinigay na quantum state vector ng pares ng mga sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Ang Schmidt decomposition ng $\vert\psi\rangle$ ay isang pagpapahayag ng anyo

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

kung saan ang $p_0,\ldots,p_{r-1}$ ay mga positibong tunay na bilang na may kabuuan na $1$ at parehong mga set na $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ at $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ ay orthonormal.

Ang mga halaga

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

sa isang Schmidt decomposition ng $\vert\psi\rangle$ ay kilala bilang mga Schmidt coefficient nito, na natatanging natutukoy (hanggang sa kanilang pagkakasunud-sunod) — sila lamang ang mga positibong tunay na bilang na maaaring lumabas sa ganitong pagpapahayag ng $\vert\psi\rangle$. Ang mga set

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{at}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

sa kabilang banda, ay hindi natatanging natutukoy, at ang kalayaan sa pagpili ng mga set ng mga vector na ito ay ipaliliwanag sa paliwanag na sumusunod.

Susuriin natin ngayon na ang isang ibinigay na quantum state vector na $\vert\psi\rangle$ ay mayroon talagang Schmidt decomposition, at sa proseso, matututo tayo kung paano ito hanapin.

Isaalang-alang muna ang isang arbitrary (hindi kinakailangang orthogonal) na basis na $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ ng vector space na katumbas ng sistema $\mathsf{X}$. Dahil ito ay isang basis, palaging mayroon talagang natatanging napiling mga vector na $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ kung saan totoo ang sumusunod na equation.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

Halimbawa, ipagpalagay na ang $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ay ang standard basis na katumbas ng $\mathsf{X}$. Assuming na ang classical state set ng $\mathsf{X}$ ay $\{0,\ldots,n-1\}$, ibig sabihin nito na $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ para sa bawat $a\in\{0,\ldots,n-1\}$, at mahahanap natin na

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

kapag

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

para sa bawat $a\in\{0,\ldots,n-1\}$. Madalas nating isaalang-alang ang mga ganitong pagpapahayag kapag pinag-iisipan ang isang standard basis measurement ng $\mathsf{X}$.

Mahalagang tandaan na ang formula

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

para sa mga vector na $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ sa halimbawang ito ay gumagana lamang dahil ang $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ ay isang orthonormal na basis. Sa pangkalahatan, kung ang $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ay isang basis na hindi kinakailangang orthonormal, kung gayon ang mga vector na $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ ay natatanging natutukoy pa rin ng equation na $(1)$, ngunit kailangan ng ibang formula. Isang paraan para mahanap ang mga ito ay ang unang tukuyin ang mga vector na $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ upang masiyahan ang equation

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

para sa lahat ng $a,b\in\{0,\ldots,n-1\}$, at sa puntong iyon ay mayroon tayong

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

Para sa isang ibinigay na basis na $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ng vector space na katumbas ng $\mathsf{X}$, ang natatanging natutukoy na mga vector na $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ kung saan nasiyahan ang equation na $(1)$ ay hindi kinakailangang matugunan ang anumang espesyal na katangian, kahit na ang $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ay orthonormal na basis. Gayunpaman, kung pipiliin natin ang $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ bilang isang orthonormal na basis ng mga eigenvector ng reduced state

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

may mangyayaring kawili-wili. Sa partikular, para sa natatanging napiling koleksyon na $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ kung saan totoo ang equation na $(1),$ mahahanap natin na ang koleksyong ito ay kailangang maging orthogonal.

Para sa mas detalyadong paliwanag, isaalang-alang ang isang spectral decomposition ng $\rho$.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

Dito tinutukoy natin ang mga eigenvalue ng $\rho$ bilang $p_0,\ldots,p_{n-1}$ bilang pagkilala sa katotohanang ang $\rho$ ay isang density matrix — kaya ang vector ng mga eigenvalue na $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ ay bumubuo ng isang probability vector — habang ang $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ay isang orthonormal na basis ng mga eigenvector na katumbas ng mga eigenvalue na ito. Upang makita na ang natatanging koleksyon na $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ kung saan totoo ang equation na $(1)$ ay kailangang maging orthogonal, maaari tayong magsimula sa pag-compute ng partial trace.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

Ang pagpapahayag na ito ay dapat na sumasang-ayon sa spectral decomposition ng $\rho$. Dahil ang $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ay isang basis, mayroon tayong konklusyon na ang set ng mga matrix

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

ay linearly independent, at kaya sumusunod na

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

na nagpapatunay na ang $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ ay orthogonal.

Halos nakuha na natin ang isang Schmidt decomposition ng $\vert\psi\rangle$. Natitira na lang ang pagtatapon ng mga term sa $(1)$ kung saan $p_a = 0$ at pagkatapos ay isulat ang $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ para sa isang unit vector na $\vert y_a\rangle$ para sa bawat isa sa mga natitirang term.

Isang maginhawang paraan para gawin ito ay nagsisimula sa obserbasyon na malaya tayong bilangin ang mga eigenvalue/eigenvector na pares sa isang spectral decomposition ng reduced state na $\rho$ sa anumang paraan na gusto natin — kaya maaari tayong ipagpalagay na ang mga eigenvalue ay nakaayos sa bumababang pagkakasunud-sunod:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

Habang tinutukoy ang $r = \operatorname{rank}(\rho)$, mahahanap natin na $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ at $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0$. Kaya, mayroon tayong

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

at maisusulat natin ang quantum state vector na $\vert \psi \rangle$ bilang

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

Dahil

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

para sa $a=0,\ldots,r-1$, maaari nating tukuyin ang mga unit vector na $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ bilang

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

upang ang $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ para sa bawat $a\in\{0,\ldots,r-1\}$. Dahil ang mga vector na $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ ay orthogonal at hindi-zero, sumusunod na ang $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ ay isang orthonormal na set, at kaya nakuha na natin ang isang Schmidt decomposition ng $\vert\psi\rangle$.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

Tungkol sa pagpili ng mga vector $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ at $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$, maaari nating piliin ang $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ bilang anumang orthonormal na set ng mga eigenvector na katumbas ng mga hindi-zero na eigenvalue ng reduced state na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (tulad ng nagawa natin sa itaas), at sa kasong iyon ang mga vector na $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ ay natatanging natutukoy.

Ang sitwasyon ay simetrikal sa pagitan ng dalawang sistema, kaya maaari rin tayong pumili ng $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ bilang anumang orthonormal na set ng mga eigenvector na katumbas ng mga hindi-zero na eigenvalue ng reduced state na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$, at sa kasong iyon ang mga vector na $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ ay matutukoy.

Pansinin, gayunpaman, na kapag napili na ang isa sa mga set bilang set ng mga eigenvector ng katumbas na reduced state tulad ng inilarawan, ang isa pa ay natutukoy na — kaya hindi sila maaaring piliin nang nagsasarili.

Kahit hindi na ito darating muli sa seryeng ito, kapansin-pansin na ang mga hindi-zero na eigenvalue na $p_0,\ldots,p_{r-1}$ ng reduced state na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ ay palaging dapat na sumasang-ayon sa mga hindi-zero na eigenvalue ng reduced state na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ para sa anumang pure state na $\vert\psi\rangle$ ng pares ng mga sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

Sa intuitive na pagsasalita, ang mga reduced state ng $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay may eksaktong parehong halaga ng randomness sa kanila kapag ang pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nasa isang pure state. Inihahayag ng Schmidt decomposition ang katotohanang ito: sa parehong kaso ang mga eigenvalue ng mga reduced state ay dapat na sumasang-ayon sa mga parisukat ng mga Schmidt coefficient ng pure state.

Unitary equivalence ng mga purification

Maaari nating gamitin ang mga Schmidt decomposition para maitatag ang isang mahalagang katotohanang tungkol sa mga purification na kilala bilang unitary equivalence ng mga purification.

Teorema

Unitary equivalence ng mga purification: Ipagpalagay na ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga sistema, at ang $\vert\psi\rangle$ at $\vert\phi\rangle$ ay mga quantum state vector ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na parehong nagpu-purify ng parehong estado ng $\mathsf{X}$. Sa simbolo,

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

para sa ilang density matrix na $\rho$ na kumakatawan sa estado ng $\mathsf{X}$. Dapat na mayroon talagang unitary operation na $U$ sa $\mathsf{Y}$ lamang na nagko-convert ng unang purification sa pangalawa:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

Tatalakayin natin ang ilang implikasyon ng teoremang ito habang nagpapatuloy ang aralin, ngunit una, tingnan natin kung paano ito sumusunod mula sa ating nakaraang talakayan ng mga Schmidt decomposition.

Ang ating pagpapalagay ay ang $\vert\psi\rangle$ at $\vert\phi\rangle$ ay mga quantum state vector ng pares ng mga sistema $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ na nasiyahan ang equation

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

para sa ilang density matrix na $\rho$ na kumakatawan sa estado ng $\mathsf{X}$.

Isaalang-alang ang isang spectral decomposition ng $\rho$.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

Dito ang $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ay isang orthonormal na basis ng mga eigenvector ng $\rho$. Sa pamamagitan ng pagsunod sa pamamaraang inilarawan kanina, makakakuha tayo ng mga Schmidt decomposition para sa parehong $\vert\psi\rangle$ at $\vert\phi\rangle$ na may sumusunod na anyo.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

Sa mga pagpapahayag na ito, ang $r$ ay ang rank ng $\rho$ at ang $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ at $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ ay mga orthonormal na set ng mga vector sa espasyo na katumbas ng $\mathsf{Y}$.

Para sa anumang dalawang orthonormal na set sa parehong espasyo na may parehong bilang ng mga elemento, palaging may unitary matrix na nagko-convert ng unang set sa pangalawa, kaya maaari tayong pumili ng unitary matrix na $U$ upang ang $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ para sa $a = 0,\ldots,r-1$. Sa partikular, para mahanap ang ganitong matrix na $U$, maaari nating gamitin muna ang Gram-Schmidt orthogonalization process para palawakin ang ating mga orthonormal na set sa mga orthonormal na basis $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ at $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\}$, kung saan ang $m$ ay ang dimensyon ng espasyo na katumbas ng $\mathsf{Y}$, at pagkatapos ay kumuha ng

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

Mahahanap natin ngayon na

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

na nagkukumpleto ng patunay.

Narito ang ilang sa maraming kawili-wiling halimbawa at implikasyon na konektado sa unitary equivalence ng mga purification. Makikita natin ang isa pang kritikal na mahalaga sa ibang pagkakataon sa aralin, sa konteksto ng fidelity, na kilala bilang Uhlmann's theorem.

Superdense Coding

Sa superdense coding protocol, nagbabahagi sina Alice at Bob ng isang e-bit, ibig sabihin ang Alice ay may hawak na isang qubit na $\mathsf{A},$ si Bob ay may hawak na isang qubit na $\mathsf{B},$ at ang pares na $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ay nasa $\vert\phi^{+}\rangle$ Bell state. Inilalarawan ng protocol kung paano maaaring baguhin ni Alice ang shared state na ito sa alinman sa apat na Bell state, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ at $\vert\psi^-\rangle,$ sa pamamagitan ng pag-apply ng isang unitary operation sa kanyang qubit na $\mathsf{A}.$ Kapag nagawa na niya ito, ipinapadala niya ang $\mathsf{A}$ kay Bob, at pagkatapos ay nagsasagawa si Bob ng measurement sa pares na $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ upang malaman kung aling Bell state ang hawak niya.

Para sa lahat ng apat na Bell state, ang reduced state ng qubit ni Bob na $\mathsf{B}$ ay ang completely mixed state.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Sa pamamagitan ng unitary equivalence ng mga purification, agad nating masasabi na para sa bawat Bell state ay dapat na mayroon talagang unitary operation sa qubit ni Alice na $\mathsf{A}$ lamang na nagko-convert ng $\vert\phi^+\rangle$ sa piniling Bell state. Kahit hindi nito inihahayag ang eksaktong detalye ng protocol, ang unitary equivalence ng mga purification ay agad na nagpapahiwatig na posible ang superdense coding.

Maaari rin tayong magtapos na ang mga generalization ng superdense coding sa mas malalaking sistema ay palaging posible, basta't pinalitan natin ang mga Bell state ng anumang orthonormal na basis ng mga purification ng completely mixed state.

Mga implikasyon sa cryptography

Ang unitary equivalence ng mga purification ay may mga implikasyon tungkol sa pagpapatupad ng mga cryptographic primitive gamit ang quantum information. Halimbawa, inihahayag ng unitary equivalence ng mga purification na imposible ang pagpapatupad ng isang ideal na anyo ng bit commitment gamit ang quantum information.

Ang bit commitment primitive ay kinabibilangan ng dalawang kalahok, sina Alice at Bob (na hindi nagtitiwala sa isa't isa), at may dalawang phase.

• Ang unang phase ay ang commit phase, kung saan nag-co-commit si Alice sa isang binary na halaga na $b\in\{0,1\}$. Ang commitment na ito ay dapat na binding, ibig sabihin hindi maaaring magbago ng isip si Alice, pati na rin concealing, ibig sabihin hindi malalaman ni Bob kung aling halaga ang kinonmit ni Alice.
• Ang pangalawang phase ay ang reveal phase, kung saan ang bit na kinonmit ni Alice ay nalalaman ni Bob, na dapat ay makumbinsi na ang kinonmit na halaga talaga ang inihayag.

Sa intuitive at operational na mga termino, ang unang phase ng bit commitment ay dapat gumana na parang si Alice ay sumulat ng binary na halaga sa isang piraso ng papel, kinulong ang papel sa loob ng isang kaha de yero (safe), at ibinigay ang safe kay Bob habang pinanatili niya ang susi para sa kanyang sarili. Nag-commit si Alice sa binary na halagang nakasulat sa papel dahil ang safe ay nasa pag-aari ni Bob (kaya ito ay binding), ngunit dahil hindi mabuksan ni Bob ang safe ay hindi niya malalaman kung aling halaga ang kinonmit ni Alice (kaya ito ay concealing). Ang pangalawang phase ay dapat gumana na parang ibinibigay ni Alice ang susi ng safe kay Bob, upang mabuksan niya ito para malaman ang halagang kinonmit ni Alice.

Kung tutuusin, imposible ang pagpapatupad ng isang perpektong bit commitment protocol sa pamamagitan ng quantum information lamang, dahil ito ay sumasalungat sa unitary equivalence ng mga purification. Narito ang mataas na antas na buod ng isang argumento na nagpapatunay nito.

Para magsimula, maaari nating ipagpalagay na sina Alice at Bob ay nagsasagawa lamang ng mga unitary operation o nagpapakilala ng mga bagong initialized na sistema habang isinasagawa ang protocol. Ang katotohanan na ang bawat channel ay may Stinespring representation ay nagpapahintulot sa ating gumawa ng pagpapalagay na ito.

Sa katapusan ng commit phase ng protocol, si Bob ay may hawak sa kanyang pag-aari ng ilang compound system na dapat nasa isa sa dalawang quantum state: $\rho_0$ kung ang Alice ay nag-commit sa halagang $0$ at $\rho_1$ kung ang Alice ay nag-commit sa halagang $1.$ Para maging perpektong concealing ang protocol, si Bob ay hindi dapat makilala ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang estado na ito — kaya dapat na $\rho_0 = \rho_1.$ (Kung hindi, magkakaroon ng measurement na may kakayahang i-discriminate ang mga estado na ito nang probabilistiko.)

Gayunpaman, dahil ginamit lamang nina Alice at Bob ang mga unitary operation, ang estado ng lahat ng sistema na kasangkot sa protocol sa kabuuan pagkatapos ng commit phase ay dapat nasa isang pure state. Sa partikular, ipagpalagay na ang $\vert\psi_0\rangle$ ay ang pure state ng lahat ng sistema na kasangkot sa protocol kapag nag-commit si Alice sa $0$, at ang $\vert\psi_1\rangle$ ay ang pure state ng lahat ng sistema na kasangkot sa protocol kapag nag-commit si Alice sa $1$. Kung isinulat natin ang $\mathsf{A}$ at $\mathsf{B}$ para tukuyin ang mga (posibleng compound) sistema nina Alice at Bob, kung gayon

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

Dahil sa kinakailangan na $\rho_0 = \rho_1$ para sa isang perpektong concealing na protocol, mahahanap natin na ang $\vert\psi_0\rangle$ at $\vert\psi_1\rangle$ ay mga purification ng parehong estado — at kaya, sa pamamagitan ng unitary equivalence ng mga purification, dapat na mayroon talagang unitary operation na $U$ sa $\mathsf{A}$ lamang tulad na

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

Samakatuwid, malaya si Alice na baguhin ang kanyang commitment mula $0$ patungong $1$ sa pamamagitan ng pag-apply ng $U$ sa $\mathsf{A}$, o mula $1$ patungong $0$ sa pamamagitan ng pag-apply ng $U^{\dagger}$, at kaya ang hypothetical na protocol na pinag-uusapan ay ganap na nabigo sa pagiging binding.

Teorema ng Hughston-Jozsa-Wootters

Ang huling implikasyon ng unitary equivalence ng mga purification na tatalakayin natin sa bahaging ito ng aralin ay ang sumusunod na teorema na kilala bilang Hughston-Jozsa-Wootters theorem. (Ito ay, sa katunayan, isang bahagyang pinasimpleng pahayag ng teoremang kilala sa pangalang ito.)

Teorema

Hughston-Jozsa-Wootters: Hayaan ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ na maging mga sistema at hayaan ang $\vert\phi\rangle$ na maging quantum state vector ng pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Hayaan din ang $N$ na maging isang arbitrary na positibong integer, hayaan ang $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ na maging isang probability vector, at hayaan ang $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ na maging mga quantum state vector na kumakatawan sa mga estado ng $\mathsf{X}$ tulad na

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

May (pangkalahatan) na measurement na $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ sa $\mathsf{Y}$ tulad na ang sumusunod na dalawang pahayag ay totoo kapag isiniagawa ang measurement na ito sa $\mathsf{Y}$ kapag ang $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay nasa estado na $\vert\phi\rangle$:

1. Ang bawat measurement outcome na $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ ay lumalabas na may probabilidad na $p_a$.

2. Nakatakda sa pagkakuha ng measurement outcome na $a$, ang estado ng $\mathsf{X}$ ay nagiging $\vert\psi_a\rangle$.

Sa intuitive na pagsasalita, sinasabi ng teoremang ito na hangga't mayroon tayong pure state ng dalawang sistema, kung gayon para sa anumang paraan ng pag-iisip tungkol sa reduced state ng unang sistema bilang convex combination ng mga pure states, may measurement ng pangalawang sistema na epektibong ginagawang realidad ang paraan ng pag-iisip na ito tungkol sa unang sistema. Pansinin na ang bilang na $N$ ay hindi kinakailangang nakatali sa bilang ng mga classical states ng $\mathsf{X}$ o $\mathsf{Y}$. Halimbawa, maaaring $N = 1{,}000{,}000$ habang ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay mga qubit.

Patutunayin natin ang teoremang ito gamit ang unitary equivalence ng mga purification, simula sa pagpapakilala ng bagong sistema na $\mathsf{Z}$ na ang classical state set ay $\{0,\ldots,N-1\}$. Isaalang-alang ang sumusunod na dalawang quantum state vector ng triple na $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$.

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

Ang unang vector na $\vert\gamma_0\rangle$ ay simpleng ang ibinigay na quantum state vector na $\vert\phi\rangle$ na na-tensor sa $\vert 0\rangle$ para sa bagong sistema na $\mathsf{Z}$. Para sa pangalawang vector na $\vert\gamma_1\rangle$, mayroon tayong essentially isang quantum state vector na gagawing trivial ang teorema — kahit papaano kung pinalitan ng $\mathsf{Z}$ ang $\mathsf{Y}$ — dahil ang isang standard basis measurement na isinasagawa sa $\mathsf{Z}$ ay malinaw na nagbubunga ng bawat outcome na $a$ na may probabilidad na $p_a$, at nakatakda sa pagkakuha ng outcome na ito, ang estado ng $\mathsf{X}$ ay nagiging $\vert\psi_a\rangle$.

Sa pamamagitan ng pag-iisip tungkol sa pares na $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ bilang isang solong compound system na maaaring i-trace out para maiwan ang $\mathsf{X}$, mahahanap natin na natukoy na natin ang dalawang magkaibang purification ng estado

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Sa partikular, para sa una ay mayroon tayong

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

at para sa pangalawa ay mayroon tayong

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

Dapat na mayroon talagang unitary operation na $U$ sa $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ na nasiyahan

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

sa pamamagitan ng unitary equivalence ng mga purification.

Gamit ang unitary operation na $U$ na ito, maaari tayong magpatupad ng measurement na nakakatugon sa mga kinakailangan ng teorema tulad ng inilalarawan ng sumusunod na diagram. Sa mga salita, ipinakilala natin ang bagong sistema na $\mathsf{Z}$ na na-initialize sa estado na $\vert 0\rangle$, inilapat ang $U$ sa $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$, na nagko-convert ng estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ mula sa $\vert\gamma_0\rangle$ patungong $\vert\gamma_1\rangle$, at pagkatapos ay sinusukat ang $\mathsf{Z}$ gamit ang isang standard basis measurement, na naobserbahan na nating nagbibigay ng nais na gawi.

Ang dotted na rektanggulo sa figure ay kumakatawan sa pagpapatupad ng measurement na ito, na maaaring ilarawan bilang isang koleksyon ng mga positive semidefinite matrix na $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ tulad ng sumusunod.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$