Mga Pangunahing Kaalaman sa Density Matrix

Magsisimula tayo sa paglalarawan kung ano ang mga density matrix sa matematikong paraan, at pagkatapos ay titingnan natin ang ilang mga halimbawa. Pagkatapos nito, tatalakayin natin ang ilang pangunahing aspeto ng kung paano gumagana ang mga density matrix at kung paano sila nauugnay sa mga quantum state vector sa pinasimpleng formulation ng quantum information.

Kahulugan

Ipagpalagay na mayroon tayong quantum system na pinangalanang $\mathsf{X},$ at hayaan ang $\Sigma$ na maging (finite at hindi walang laman) na classical state set ng system na ito. Ginagaya natin dito ang mga naming convention na ginamit sa kursong "Basics of quantum information," na patuloy naming gagawin kapag may pagkakataon.

Sa pangkalahatang formulation ng quantum information, ang quantum state ng system na $\mathsf{X}$ ay inilalarawan ng isang density matrix na $\rho$ na ang mga entry ay mga complex number at ang mga index nito (para sa parehong mga row at column) ay nailagay sa korespondensya sa classical state set na $\Sigma.$ Ang lowercase na Greek na letra na $\rho$ ay isang karaniwang unang pagpipilian para sa pangalan ng isang density matrix, kahit na ang $\sigma$ at $\xi$ ay mga karaniwang pagpipilian rin.

Narito ang ilang halimbawa ng mga density matrix na naglalarawan ng mga state ng mga qubit:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Ang pagsasabi na ang $\rho$ ay isang density matrix ay nangangahulugang ang dalawang kondisyong ito, na ipapaliwanag sa ilang sandali, ay parehong natutupad:

1. Unit trace: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Positive semidefiniteness: $\rho \geq 0.$

Ang trace ng isang matrix

Ang unang kondisyon sa mga density matrix ay tumutukoy sa trace ng isang matrix. Ito ay isang function na tinukoy, para sa lahat ng square matrix, bilang ang kabuuan ng mga diagonal na entry:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Ang trace ay isang linear na function: para sa anumang dalawang square matrix na $A$ at $B$ ng parehong sukat, at anumang dalawang complex number na $\alpha$ at $\beta,$ ang sumusunod na equation ay palaging totoo.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Ang trace ay isang napakahalagang function at marami pang masasabi tungkol dito, ngunit maghihintay tayo hanggang may pangangailangan para sabihin ang higit pa.

Mga positive semidefinite matrix

Ang ikalawang kondisyon ay tumutukoy sa katangian ng isang matrix na positive semidefinite, na isang pangunahing konsepto sa quantum information theory at sa maraming ibang larangan. Ang isang matrix na $P$ ay positive semidefinite kung mayroon kang matrix na $M$ na:

$$P = M^{\dagger} M.$$

Dito, maaari nating hilingin na ang $M$ ay isang square matrix ng parehong sukat ng $P$ o pahintulutan itong maging hindi square — makukuha natin ang parehong klase ng mga matrix sa alinmang paraan.

Mayroong ilang alternatibong (ngunit katumbas na) mga paraan upang tukuyin ang kondisyong ito, kabilang ang mga ito:

• Ang isang matrix na $P$ ay positive semidefinite kung at tanging kung ang $P$ ay Hermitian (ibig sabihin, katumbas ng sarili nitong conjugate transpose) at lahat ng eigenvalue nito ay nonnegative na mga tunay na numero. Ang pag-verify na ang isang matrix ay Hermitian at lahat ng eigenvalue nito ay nonnegative ay isang simpleng computational na paraan upang i-verify na ito ay positive semidefinite.

• Ang isang matrix na $P$ ay positive semidefinite kung at tanging kung ang $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ para sa bawat complex vector na $\vert\psi\rangle$ na may parehong mga index ng mga row at column ng $P.$

Ang isang intuitive na paraan upang isipin ang mga positive semidefinite matrix ay na sila ay parang mga matrix analogue ng mga nonnegative na tunay na numero. Iyon ay, ang mga positive semidefinite matrix ay katulad ng mga complex square matrix tulad ng nonnegative na mga tunay na numero sa mga complex number. Halimbawa, ang isang complex number na $\alpha$ ay isang nonnegative na tunay na numero kung at tanging kung

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

para sa ilang complex number na $\beta,$ na tumutugma sa kahulugan ng positive semidefiniteness kapag pinalitan natin ang mga matrix ng mga scalar. Habang mas kumplikadong mga bagay ang mga matrix kaysa sa mga scalar sa pangkalahatan, ito ay gayunpaman ay isang kapaki-pakinabang na paraan upang isipin ang mga positive semidefinite matrix.

Ipinapaliwanag din nito ang karaniwang notasyon na $P\geq 0,$ na nagpapahiwatig na ang $P$ ay positive semidefinite. Pansinin sa partikular na ang $P\geq 0$ ay hindi nangangahulugang ang bawat entry ng $P$ ay nonnegative sa kontekstong ito; mayroon mga positive semidefinite matrix na may mga negatibong entry, pati na rin mga matrix na ang lahat ng entry ay positibo na hindi positive semidefinite.

Interpretasyon ng mga density matrix

Sa puntong ito, ang kahulugan ng mga density matrix ay maaaring mukhang medyo arbitrary at abstract, dahil hindi pa natin iniugnay ang anumang kahulugan sa mga matrix na ito o sa kanilang mga entry. Ang paraan ng pagtatrabaho at interpretasyon ng mga density matrix ay lilinawin habang nagpapatuloy ang aralin, ngunit sa ngayon ay maaaring maging kapaki-pakinabang na isipin ang mga entry ng mga density matrix sa sumusunod na (medyo impormal) na paraan.

• Ang mga diagonal na entry ng isang density matrix ay nagbibigay sa atin ng mga probabilidad para sa bawat classical state na lumabas kung magsasagawa tayo ng isang standard basis measurement — kaya maaari nating isipin ang mga entry na ito bilang naglalarawan ng "bigat" o "posibilidad" na nauugnay sa bawat classical state.

• Ang mga off-diagonal na entry ng isang density matrix ay naglalarawan ng antas kung saan ang dalawang classical state na tumutugma sa entry na iyon (ibig sabihin, ang isa na tumutugma sa row at ang isa na tumutugma sa column) ay nasa quantum superposition, pati na rin ang relatibong phase sa pagitan nila.

Tiyak na hindi halata a priori na ang mga quantum state ay dapat irepresenta ng mga density matrix. Sa katunayan, may isang kahulugan kung saan ang pagpili na irepresenta ang mga quantum state sa pamamagitan ng mga density matrix ay natural na humahantong sa buong matematikong paglalarawan ng quantum information. Lahat ng iba pa tungkol sa quantum information ay talagang sumusunod nang lohikal mula sa isang pagpiling ito!

Koneksyon sa mga quantum state vector

Alalahanin na ang isang quantum state vector na $\vert\psi\rangle$ na naglalarawan ng isang quantum state ng $\mathsf{X}$ ay isang column vector na may Euclidean norm na katumbas ng $1$ na ang mga entry ay nailagay sa korespondensya sa classical state set na $\Sigma.$ Ang density matrix representation na $\rho$ ng parehong state ay tinukoy bilang sumusunod.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Para maging malinaw, pinarami natin ang isang column vector sa isang row vector, kaya ang resulta ay isang square matrix na ang mga row at column ay tumutugma sa $\Sigma.$ Ang mga matrix ng form na ito, bukod sa pagiging mga density matrix, ay palaging mga projection at may rank na katumbas ng $1.$

Halimbawa, tukuyin natin ang dalawang qubit state vector.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ang mga density matrix na tumutugma sa dalawang vector na ito ay ang mga sumusunod.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Narito ang isang talahanayan na naglilista ng mga state na ito kasama ang ilang iba pang pangunahing halimbawa: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ at $\vert {-}\rangle.$ Makikita natin muli ang anim na state na ito mamaya sa aralin.

State vector	Density matrix
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Para sa isa pang halimbawa, narito ang isang state mula sa aralin na Single systems ng kursong "Basics of quantum information," kasama ang parehong state vector at density matrix representation nito.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Ang mga density matrix na may form na $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ para sa isang quantum state vector na $\vert \psi \rangle$ ay kilala bilang mga pure state. Hindi lahat ng density matrix ay maaaring isulat sa form na ito; ang ilang mga state ay hindi pure.

Bilang mga density matrix, ang mga pure state ay palaging may isang eigenvalue na katumbas ng $1$ at lahat ng iba pang eigenvalue na katumbas ng $0.$ Ito ay naaayon sa interpretasyon na ang mga eigenvalue ng isang density matrix ay naglalarawan ng randomness o kawalan ng katiyakan na likas sa state na iyon. Sa esensya, walang kawalan ng katiyakan para sa isang pure state na $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — ang state ay tiyak na $\vert \psi \rangle.$

Sa pangkalahatan, para sa isang quantum state vector

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

para sa isang system na may $n$ classical state, ang density matrix representation ng parehong state ay ang sumusunod.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Kaya, para sa espesyal na kaso ng mga pure state, maaari nating i-verify na ang mga diagonal na entry ng isang density matrix ay naglalarawan ng mga probabilidad na ang isang standard basis measurement ay maglalabas ng bawat posibleng classical state.

Ang huling puna tungkol sa mga pure state ay ang mga density matrix ay nag-aalis ng degeneracy tungkol sa mga global phase na matatagpuan para sa mga quantum state vector. Ipagpalagay na mayroon tayong dalawang quantum state vector na naiiba sa pamamagitan ng isang global phase: $\vert \psi \rangle$ at $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ para sa ilang tunay na numero na $\theta.$ Dahil naiiba sila sa pamamagitan ng isang global phase, ang mga vector na ito ay kumakatawan sa eksaktong parehong quantum state, sa kabila ng katotohanan na ang mga vector ay maaaring magkaiba. Ang mga density matrix na nakukuha natin mula sa dalawang state vector na ito, sa kabilang banda, ay magkapareho.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Sa pangkalahatan, ang mga density matrix ay nagbibigay ng natatanging representasyon ng mga quantum state: dalawang quantum state ay magkapareho, na nagbubuo ng eksaktong parehong outcome statistics para sa bawat posibleng measurement na maaaring isagawa sa kanila, kung at tanging kung ang kanilang mga density matrix representation ay magkapareho. Sa paggamit ng matematikong wika, maaari nating ipahayag ito sa pamamagitan ng pagsasabing ang mga density matrix ay nag-aalok ng isang tapat na representasyon ng mga quantum state.