Maramihang sistema at mga reduced state

Ngayon, titingnan natin kung paano gumagana ang mga density matrix para sa maramihang sistema, kasama ang mga halimbawa ng iba't ibang uri ng mga korelasyon na maaari nilang ipahayag at kung paano nila maaaring ilarawan ang mga estado ng mga nakahiwalay na bahagi ng mga compound na sistema.

Maramihang sistema

Ang mga density matrix ay maaaring kumatawan sa mga estado ng maramihang sistema sa katulad na paraan sa mga state vector sa simplified na pormulasyon ng quantum information, sumusunod sa parehong pangunahing ideya na ang maramihang sistema ay maaaring tingnan na parang isang solong compound na sistema. Sa matematikong termino, ang mga hanay at kolum ng mga density matrix na kumakatawan sa mga estado ng maramihang sistema ay itinutugma sa Cartesian product ng mga classical state set ng mga indibidwal na sistema.

Halimbawa, alalahanin ang mga representasyon ng state vector ng apat na Bell state.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Ang mga representasyon ng density matrix ng mga estado na ito ay ang mga sumusunod.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Mga product state

Katulad ng mayroon tayo para sa mga state vector, ang mga tensor product ng mga density matrix ay kumakatawan sa pagiging independiyente ng mga estado ng maramihang sistema. Halimbawa, kung ang $\mathsf{X}$ ay inihanda sa estado na kinakatawan ng density matrix na $\rho$ at ang $\mathsf{Y}$ ay hiwalay na inihanda sa estado na kinakatawan ng $\sigma$, ang density matrix na naglalarawan ng estado ng $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ay ang tensor product na $\rho\otimes\sigma$.

Ang parehong terminolohiya ay ginagamit dito tulad ng sa simplified na pormulasyon ng quantum information: ang mga estado ng ganitong anyo ay tinutukoy bilang mga product state.

Mga correlated at entangled na estado

Ang mga estado na hindi maaaring ipahayag bilang mga product state ay kumakatawan sa mga korelasyon sa pagitan ng mga sistema. Sa katunayan, may iba't ibang uri ng mga korelasyon na maaaring katawanin ng mga density matrix. Narito ang ilang halimbawa.

1. Mga correlated classical state. Halimbawa, maaari nating ipahayag ang sitwasyon kung saan nagbabahagi sina Alice at Bob ng isang random na bit tulad nito:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Mga ensemble ng quantum state. Ipagpalagay na mayroon tayong $m$ na density matrix na $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$, lahat ay kumakatawan sa mga estado ng isang sistema $\mathsf{X}$, at pumipili tayo ng isa sa mga estado na ito nang random ayon sa isang probability vector na $(p_0,\ldots,p_{m-1})$. Ang ganitong proseso ay kinakatawan ng isang ensemble ng mga estado, na kinabibilangan ng pagtukoy sa mga density matrix na $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$, pati na rin ang mga probabilidad na $(p_0,\ldots,p_{m-1})$. Maaari nating iugnay ang isang ensemble ng mga estado sa isang density matrix, na naglalarawan ng parehong random na pagpili ng $k$ at ang kaukulang density matrix na $\rho_k$, tulad nito:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Para maging malinaw, ito ang estado ng isang pares $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ kung saan ang $\mathsf{Y}$ ay kumakatawan sa classical na pagpili ng $k$ — kaya ipinapalagay natin na ang classical state set nito ay $\{0,\ldots,m-1\}$. Ang mga estado ng ganitong anyo ay tinatawag minsan na classical-quantum states.

3. Mga separable state. Maaari nating isipin ang mga sitwasyon kung saan mayroon tayong classical na korelasyon sa mga quantum state ng dalawang sistema tulad nito:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Sa madaling salita, para sa bawat $k$ mula $0$ hanggang $m-1$, mayroon tayong na may probabilidad na $p_k$ ang sistema sa kaliwa ay nasa estado na $\rho_k$ at ang sistema sa kanan ay nasa estado na $\sigma_k$. Ang mga estado na ganito ay tinatawag na mga separable state. Ang konseptong ito ay maaari ding palawakin sa mahigit dalawang sistema.

4. Mga entangled na estado. Hindi lahat ng estado ng mga pares ng sistema ay separable. Sa pangkalahatang pormulasyon ng quantum information, ito ang kahulugan ng entanglement: ang mga estado na hindi separable ay sinasabing entangled.

   Tandaan na ang terminolohiyang ito ay pare-pareho sa terminolohiyang ginamit natin sa kursong "Basics of quantum information". Doon ay sinabi natin na ang mga quantum state vector na hindi mga product state ay kumakatawan sa mga entangled na estado — at katotohanan, para sa anumang quantum state vector na $\vert\psi\rangle$ na hindi isang product state, makikita natin na ang estado na kinakatawan ng density matrix na $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ ay hindi separable. Ang entanglement ay mas kumplikado kaysa rito para sa mga estado na hindi pure.

Mga reduced state at ang partial trace

May isang simpleng ngunit mahalagang bagay na maaari nating gawin gamit ang mga density matrix sa konteksto ng maramihang sistema, at ito ay ang paglalarawan ng mga estado na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagbabale-wala sa ilang mga sistema. Kapag ang maramihang sistema ay nasa quantum state at itinapon natin o pinipiling balewalain ang isa o higit pang mga sistema, ang estado ng mga natitirang sistema ay tinatawag na reduced state ng mga sistemang iyon. Ang mga paglalarawan ng density matrix ng mga reduced state ay madaling makuha sa pamamagitan ng isang mapping, na kilala bilang partial trace, mula sa density matrix na naglalarawan ng estado ng buong sistema.

Halimbawa: mga reduced state para sa isang e-bit

Ipagpalagay na mayroon tayong isang pares ng mga qubit na $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ na magkasamang nasa estado

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Maaari nating isipin na hawak ni Alice ang qubit na $\mathsf{A}$ at hawak ni Bob ang $\mathsf{B}$, ibig sabihin, magkasamang nagbabahagi sila ng isang e-bit. Gusto nating magkaroon ng paglalarawan ng density matrix ng qubit ni Alice na $\mathsf{A}$ nang mag-isa, na parang nagpasya si Bob na dalhin ang kanyang qubit at maglakbay sa mga bituin, hindi na muling makikita.

Una, pag-isipan natin kung ano ang mangyayari kung nagpasya si Bob na sukatin ang kanyang qubit gamit ang isang standard basis measurement sa ilang punto ng kanyang paglalakbay. Kung gagawin niya ito, makukuha niya ang kinalabasan na $0$ na may probabilidad

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

kung saan ang estado ng qubit ni Alice ay nagiging $\vert 0\rangle$; at makukuha niya ang kinalabasan na $1$ na may probabilidad

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

kung saan ang estado ng qubit ni Alice ay nagiging $\vert 1\rangle$.

Kaya, kung babalewalain natin ang kinalabasan ng pagsukat ni Bob at magtuon sa qubit ni Alice, maaari nating tapusin na nakukuha niya ang estado na $\vert 0\rangle$ na may probabilidad na $1/2$ at ang estado na $\vert 1\rangle$ na may probabilidad na $1/2$. Dahil dito, inilalarawan natin ang estado ng qubit ni Alice nang mag-isa sa pamamagitan ng density matrix

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

Ibig sabihin, ang qubit ni Alice ay nasa completely mixed state. Para maging malinaw, ang paglalarawang ito ng estado ng qubit ni Alice ay hindi kasama ang kinalabasan ng pagsukat ni Bob; binabalewala natin si Bob nang buo.

Ngayon, maaaring mukhang ang paglalarawan ng density matrix ng qubit ni Alice nang mag-isa na nakuha natin ay nakasalalay sa pagpapalagay na sinukat ni Bob ang kanyang qubit, ngunit hindi talaga ganoon. Ang ginawa natin ay gamitin ang posibilidad na sinukat ni Bob ang kanyang qubit upang patunayan na ang completely mixed state ay lumabas bilang estado ng qubit ni Alice, batay sa natutunan na natin. Siyempre, walang nagsasabing kailangan ni Bob na sukatin ang kanyang qubit — ngunit walang nagsasabing hindi rin niya ito gagawin. At kung siya ay ilang light-year ang layo, walang ginagawa o hindi ginagawa niya ang maaaring makaimpluwensiya sa estado ng qubit ni Alice na tiningnan nang mag-isa. Ibig sabihin, ang paglalarawang nakuha natin para sa estado ng qubit ni Alice ay ang tanging paglalarawang pare-pareho sa imposibilidad ng komunikasyong mas mabilis kaysa sa liwanag.

Maaari rin nating isaalang-alang ang estado ng qubit ni Bob na $\mathsf{B}$, na nangyayaring ding completely mixed state. Sa katunayan, para sa lahat ng apat na Bell state, makikita natin na ang reduced state ng parehong qubit ni Alice at qubit ni Bob ay ang completely mixed state.

Mga reduced state para sa isang pangkalahatang quantum state vector

Ngayon, gawing pangkalahatan ang halimbawang natutalakay lamang sa dalawang arbitrary na sistema $\mathsf{A}$ at $\mathsf{B}$, hindi kinakailangang mga qubit sa estado na $\vert \phi^+\rangle$. Ipapalagay natin na ang mga classical state set ng $\mathsf{A}$ at $\mathsf{B}$ ay $\Sigma$ at $\Gamma$, ayon sa pagkakasunod. Ang isang density matrix na $\rho$ na kumakatawan sa isang estado ng kombinadong sistema $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ay may mga indeks ng hanay at kolum na tumutugma sa Cartesian product na $\Sigma\times\Gamma$.

Ipagpalagay na ang estado ng $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ay inilalarawan ng quantum state vector na $\vert\psi\rangle$, kaya ang density matrix na naglalarawan ng estadong ito ay $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$. Makukuha natin ang paglalarawan ng density matrix ng estado ng $\mathsf{A}$ nang mag-isa, na karaniwang tinutukoy bilang $\rho_{\mathsf{A}}$. (Ang superscript ay ginagamit din minsan sa halip na subscript.)

Ang state vector na $\vert\psi\rangle$ ay maaaring ipahayag sa anyo

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

para sa isang natatanging koleksyon ng mga vector na $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$. Sa partikular, ang mga vector na ito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang simpleng formula.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Gamit ang katulad na pangangatwiran sa nakaraang halimbawa ng e-bit, kung susukatin natin ang sistemang $\mathsf{B}$ gamit ang standard basis measurement, makukuha natin ang bawat kinalabasan na $b\in\Gamma$ na may probabilidad na $\|\vert\phi_b\rangle\|^2$, kung saan ang estado ng $\mathsf{A}$ ay nagiging

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Bilang density matrix, ang estadong ito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Sa pag-a-average ng iba't ibang estado ayon sa mga probabilidad ng mga kaukulang kinalabasan, nakaabot tayo sa density matrix

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

Ang partial trace

Ang formula

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

ay nagdadala sa atin sa paglalarawan ng reduced state ng $\mathsf{A}$ para sa anumang density matrix na $\rho$ ng pares $(\mathsf{A},\mathsf{B})$, hindi lamang isang pure state.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Ang formula na ito ay dapat gumana, simplemente sa pamamagitan ng linearity kasama ang katotohanang ang bawat density matrix ay maaaring isulat bilang isang convex na kombinasyon ng mga pure state.

Ang operasyong ginagawa sa $\rho$ upang makuha ang $\rho_{\mathsf{A}}$ sa equation na ito ay kilala bilang partial trace, at mas tumpak naming sinasabi na ang partial trace ay ginagawa sa $\mathsf{B}$, o na ang $\mathsf{B}$ ay ni-trace out. Ang operasyong ito ay tinutukoy bilang $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$, kaya maaari tayong sumulat

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Maaari rin nating tukuyin ang partial trace sa $\mathsf{A}$, kaya ang sistema $\mathsf{A}$ ang na-trace out sa halip na $\mathsf{B}$, tulad nito.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Binibigyan tayo nito ng paglalarawan ng density matrix na $\rho_{\mathsf{B}}$ ng estado ng $\mathsf{B}$ nang mag-isa sa halip na $\mathsf{A}$.

Upang ibuod, kung ang $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ay anumang pares ng mga sistema at mayroon tayong density matrix na $\rho$ na naglalarawan ng estado ng $(\mathsf{A},\mathsf{B})$, ang mga reduced state ng mga sistema $\mathsf{A}$ at $\mathsf{B}$ ay ang mga sumusunod.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Kung ang $\rho$ ay isang density matrix, ang $\rho_{\mathsf{A}}$ at $\rho_{\mathsf{B}}$ ay kinakailangang magiging mga density matrix din.

Ang mga konsepto na ito ay maaaring gawing pangkalahatan sa anumang bilang ng mga sistema sa halip na dalawa sa natural na paraan. Sa pangkalahatan, maaari nating ilagay ang mga pangalan ng anumang mga sistema na pipiliin natin sa subscript ng isang density matrix na $\rho$ upang ilarawan ang reduced state ng mga sistemang iyon lamang. Halimbawa, kung ang $\mathsf{A},$ $\mathsf{B},$ at $\mathsf{C}$ ay mga sistema at ang $\rho$ ay isang density matrix na naglalarawan ng estado ng $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ maaari nating tukuyin

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

at katulad nito para sa iba pang pagpipilian ng mga sistema.

Alternatibong paglalarawan ng partial trace

Ang alternatibong paraan upang ilarawan ang mga partial trace mapping na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ at $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ ay ang mga ito ang natatanging linear mapping na tumutugon sa mga formula

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

Sa mga formula na ito, ang $N$ at $M$ ay mga square matrix ng angkop na laki: ang mga hanay at kolum ng $M$ ay tumutugma sa mga classical state ng $\mathsf{A}$ at ang mga hanay at kolum ng $N$ ay tumutugma sa mga classical state ng $\mathsf{B}.$

Ang katangian na ito ng partial trace ay hindi lamang pundamental mula sa matematikong pananaw, kundi maaari rin itong magbigay-daan sa mabilis na mga kalkulasyon sa ilang sitwasyon. Halimbawa, isaalang-alang ang estadong ito ng isang pares ng mga qubit na $(\mathsf{A},\mathsf{B})$.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Upang kalkulahin ang reduced state na $\rho_{\mathsf{A}}$ halimbawa, maaari nating gamitin ang linearity kasama ang katotohanang ang $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ at $\vert +\rangle\langle +\vert$ ay may unit trace.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Ang reduced state na $\rho_{\mathsf{B}}$ ay maaaring kalkulahin nang katulad.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

Ang partial trace para sa dalawang qubit

Ang partial trace ay maaari ring ilarawan nang malinaw sa mga tuntunin ng mga matrix. Dito gagawin natin ito para sa dalawang qubit lamang, ngunit maaari rin itong gawing pangkalahatan para sa mas malalaking sistema. Ipagpalagay na mayroon tayong dalawang qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$, kaya ang anumang density matrix na naglalarawan ng estado ng dalawang qubit na ito ay maaaring isulat bilang

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

para sa ilang pagpipilian ng mga kumplikadong numero na $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}$.

Ang partial trace sa unang sistema ay may sumusunod na formula.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Ang isang paraan upang pag-isipan ang formula na ito ay nagsisimula sa pagtingin sa mga $4\times 4$ matrix bilang mga $2\times 2$ block matrix, kung saan ang bawat block ay $2\times 2$. Ibig sabihin,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

para sa

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Pagkatapos ay mayroon tayo

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Narito ang formula kapag ang pangalawang sistema ang na-trace out sa halip na ang una.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Sa mga tuntunin ng mga block matrix ng katulad na anyo tulad ng dati, mayroon tayong formula na ito.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Ang mga paglalarawang block matrix ng mga function na ito ay maaaring palawakin sa mga sistemang mas malaki kaysa sa mga qubit sa natural at direktang paraan.

Upang tapusin ang aralin, ilapat natin ang mga formula na ito sa parehong estado na isinaalang-alang natin sa itaas.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Ang reduced state ng unang sistema $\mathsf{A}$ ay

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

at ang reduced state ng pangalawang sistema $\mathsf{B}$ ay

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$