Quantum state discrimination at quantum state tomography

Sa huling bahagi ng aralin, titingnan natin nang maikli ang dalawang gawain na may kaugnayan sa mga sukat: ang quantum state discrimination at ang quantum state tomography.

1. Quantum state discrimination

   Sa quantum state discrimination, mayroon tayong kilalang koleksyon ng mga quantum state na $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$, kasama ang mga probabilidad na $p_0,\ldots,p_{m-1}$ na nauugnay sa mga state na ito. Isang maikling paraan ng pagsasabi nito ay ang sabihing mayroon tayong isang ensemble

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   ng mga quantum state.

   Isang bilang na $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ ang pinipili nang random ayon sa mga probabilidad na $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ at ang sistema $\mathsf{X}$ ay inihanda sa state na $\rho_a$. Ang layunin ay matukoy, sa pamamagitan ng isang sukat sa $\mathsf{X}$ lamang, kung aling halaga ng $a$ ang napili.

   Kaya, mayroon tayong limitadong bilang ng mga alternatibo, kasama ang isang prior — na siyang ating kaalaman sa probabilidad para sa bawat $a$ na mapili — at ang layunin ay matukoy kung aling alternatibo ang talagang nangyari. Maaaring madali ito para sa ilang pagpili ng mga state at probabilidad, at para sa iba ay maaaring hindi posible nang walang pagkakataon ng pagkakamali.

2. Quantum state tomography

   Para sa quantum state tomography, mayroon tayong isang hindi kilalang quantum state ng isang sistema — kaya hindi tulad ng quantum state discrimination, karaniwang walang prior o anumang impormasyon tungkol sa mga posibleng alternatibo.

   Sa pagkakataong ito, gayunpaman, hindi isang kopya ng state ang ibinibigay, kundi maraming independiyenteng mga kopya ang ginagawang available. Ibig sabihin, $N$ na magkaparehong sistema $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ ay bawat isa ay independiyenteng inihanda sa state na $\rho$ para sa ilang (posibleng malaking) bilang na $N.$ Ang layunin ay mahanap ang isang approximation ng hindi kilalang state, bilang isang density matrix, sa pamamagitan ng pagsukat sa mga sistema.

Pag-discriminate sa pagitan ng dalawang state

Ang pinakasimpleng kaso para sa quantum state discrimination ay ang pagkakaroon ng dalawang state na $\rho_0$ at $\rho_1,$ na dapat i-discriminate.

Isipin ang isang sitwasyon kung saan isang bit na $a$ ay pinipili nang random: $a = 0$ na may probabilidad na $p$ at $a = 1$ na may probabilidad na $1 - p.$ Ang sistema $\mathsf{X}$ ay inihanda sa state na $\rho_a,$ ibig sabihin $\rho_0$ o $\rho_1$ depende sa halaga ng $a,$ at ibinibigay sa atin. Ang ating layunin ay tamang hulaan ang halaga ng $a$ sa pamamagitan ng isang sukat sa $\mathsf{X}.$ Para maging tiyak, nilalayon nating i-maximize ang probabilidad na tama ang ating hula.

Isang optimal na sukat

Ang isang optimal na paraan upang malutas ang problemang ito ay nagsisimula sa isang spectral decomposition ng isang weighted na pagkakaiba sa pagitan ng $\rho_0$ at $\rho_1$, kung saan ang mga weight ay ang kaukulang mga probabilidad.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Pansinin na mayroon tayong minus sign kaysa plus sign sa expression na ito: ito ay isang weighted na pagkakaiba hindi isang weighted na sum.

Maaari tayong i-maximize ang probabilidad ng tamang hula sa pamamagitan ng pagpili ng projective measurement na $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ gaya ng sumusunod. Una, hatiin natin ang mga elemento ng $\{0,\ldots,n-1\}$ sa dalawang magkahiwalay na set na $S_0$ at $S_1$ depende kung ang kaukulang eigenvalue ng weighted na pagkakaiba ay hindi negatibo o negatibo.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Maaari tayong pumili ng projective measurement gaya ng sumusunod.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Hindi talaga mahalaga kung saang set na $S_0$ o $S_1$ ilalagay ang mga halaga ng $k$ kung saan $\lambda_k = 0$. Dito ay pinipili nating isama ang mga halagang ito sa $S_0$ nang arbitrary.)

Ito ay isang optimal na sukat sa sitwasyong hawak natin na nagmi-minimize ng probabilidad ng maling pagtukoy sa napiling state.

Probabilidad ng kawastuhan

Ngayon ay tutukuyin natin ang probabilidad ng kawastuhan para sa sukat na $\{\Pi_0,\Pi_1\}$.

Sa simula ay hindi natin talaga kailangang mag-alala sa partikular na pagpili na ginawa natin para sa $\Pi_0$ at $\Pi_1$, kahit na maaaring makatulong na isaalang-alang ito. Para sa anumang sukat na $\{P_0,P_1\}$ (hindi kinakailangang projective) maaari nating isulat ang probabilidad ng kawastuhan gaya ng sumusunod.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Gamit ang katotohanan na ang $\{P_0,P_1\}$ ay isang sukat, kaya $P_1 = \mathbb{I} - P_0$, maaari nating isulat muli ang expression na ito gaya ng sumusunod.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

Sa kabilang banda, maaari sanang ginawa nating ang substitution na $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ sa halip. Hindi iyon magbabago ng halaga ngunit nagbibigay ito ng alternatibong expression.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Ang dalawang expression ay may parehong halaga, kaya maaari nating i-average ang mga ito upang makakuha ng isa pang expression para sa halagang ito. (Ang pag-average ng dalawang expression ay isang trick lamang upang mapasimple ang resultang expression.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Ngayon ay makikita natin kung bakit makatuwirang piliin ang mga projection na $\Pi_0$ at $\Pi_1$ (gaya ng tinukoy sa itaas) para sa $P_0$ at $P_1$, ayon sa pagkakasunod — dahil ganoon natin magagawang mas malaki ang trace sa panghuling expression. Sa partikular,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Kaya, kapag kinuha natin ang trace, nakukuha natin ang sum ng mga absolute value ng mga eigenvalue — na katumbas ng kilala bilang trace norm ng weighted na pagkakaiba.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Kaya, ang probabilidad na ang sukat na $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ ay humahantong sa tamang discrimination ng $\rho_0$ at $\rho_1$, na ibinibigay na may mga probabilidad na $p$ at $1-p$, ayon sa pagkakasunod, ay gaya ng sumusunod.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Ang katotohanang ito ang optimal na probabilidad para sa tamang discrimination ng $\rho_0$ at $\rho_1$, na ibinibigay na may mga probabilidad na $p$ at $1-p$, ay karaniwang tinutukoy bilang Helstrom–Holevo theorem (o minsan ay Helstrom's theorem lamang).

Pag-discriminate sa tatlo o higit pang state

Para sa quantum state discrimination kapag may tatlo o higit pang state, walang kilalang closed-form na solusyon para sa isang optimal na sukat, kahit na posible namang i-formulate ang problema bilang isang semidefinite program — na nagbibigay-daan sa mahusay na numerical approximation ng mga optimal na sukat sa tulong ng isang computer.

Posible rin na i-verify (o i-falsify) ang optimality ng isang ibinigay na sukat sa isang state discrimination task sa pamamagitan ng kondisyon na kilala bilang Holevo-Yuen-Kennedy-Lax condition. Sa partikular, para sa state discrimination task na tinukoy ng ensemble

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

ang sukat na $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ay optimal kung at tanging kung ang matrix na

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

ay positive semidefinite para sa bawat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$.

Halimbawa, isaalang-alang ang quantum state discrimination task kung saan isa sa apat na tetrahedral state na $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ ay pinipili nang pantay-pantay nang random. Ang tetrahedral measurement na $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ ay nagtatagumpay na may probabilidad na

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Ito ay optimal ayon sa Holevo-Yuen-Kennedy-Lax condition, gaya ng ipinapakita ng isang kalkulasyon na

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

for $a = 0,1,2,3$.

Quantum state tomography

Sa wakas, tatalakayin natin nang maikli ang problema ng quantum state tomography. Para sa problemang ito, binibigyan tayo ng malaking bilang na $N$ ng mga independiyenteng kopya ng isang hindi kilalang quantum state na $\rho$, at ang layunin ay muling buuin ang isang approximation na $\tilde{\rho}$ ng $\rho$. Para maging malinaw, nangangahulugan ito na nais nating mahanap ang isang classical na paglalarawan ng isang density matrix na $\tilde{\rho}$ na kasing lapit hangga't maaari sa $\rho$.

Maaari rin nating ilarawan ang setup sa sumusunod na paraan. Isang hindi kilalang density matrix na $\rho$ ang pinipili, at binibigyan tayo ng access sa $N$ na quantum system na $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$, bawat isa ay independiyenteng inihanda sa state na $\rho$. Kaya, ang state ng compound system na $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ ay

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ times)}$$

Ang layunin ay magsagawa ng mga sukat sa mga sistema $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ at, batay sa mga resulta ng mga sukat na iyon, mag-compute ng density matrix na $\tilde{\rho}$ na malapit na nagha-approximate sa $\rho$. Ito ay lumabas na isang kapanapanabik na problema at may patuloy na pananaliksik dito.

Iba't ibang uri ng estratehiya para sa pag-approach sa problema ang maaaring isaalang-alang. Halimbawa, maaari nating isipin ang isang estratehiya kung saan ang bawat sistema sa $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ ay sinusukat nang hiwalay, isa-isa, na nagpo-produce ng isang sequence ng mga resulta ng sukat. Iba't ibang partikular na pagpili para sa kung aling mga sukat ang ginagawa ang maaaring gawin, kasama ang mga adaptive at non-adaptive na pagpili. Sa ibang salita, ang pagpili ng kung aling sukat ang ginagawa sa isang partikular na sistema ay maaaring depende o hindi depende sa mga resulta ng mga nakaraang sukat. Batay sa sequence ng mga resulta ng sukat, isang hula na $\tilde{\rho}$ para sa state na $\rho$ ang nai-derive — at muli, mayroon ding iba't ibang metodolohiya para dito.

Ang isang alternatibong pamamaraan ay ang magsagawa ng isang joint measurement ng buong koleksyon, kung saan inisip natin ang $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ bilang isang sistema at pumili ng isang sukat na ang output ay isang hula na $\tilde{\rho}$ para sa state na $\rho$. Maaari itong humantong sa isang pinahusay na estimate kaysa sa posible para sa mga hiwalay na sukat ng mga indibidwal na sistema, kahit na ang isang joint measurement sa lahat ng mga sistema nang magkasama ay malamang na mas mahirap ipatupad.

Qubit tomography gamit ang Pauli measurements

Ngayon ay isaalang-alang natin ang quantum state tomography sa simpleng kaso kung saan ang $\rho$ ay isang qubit density matrix. Ipagpalagay natin na binibigyan tayo ng mga qubit na $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ na bawat isa ay independiyenteng nasa state na $\rho$, at ang ating layunin ay mag-compute ng approximation na $\tilde{\rho}$ na malapit sa $\rho$.

Ang ating estratehiya ay hatiin ang $N$ na qubit na $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ sa tatlong halos pantay na laki ng mga koleksyon, isa para sa bawat isa sa tatlong Pauli matrix na $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ at $\sigma_z.$ Ang bawat qubit ay sinusukat nang independiyente gaya ng sumusunod.

1. Para sa bawat isa sa mga qubit sa koleksyon na nauugnay sa $\sigma_x$ ay nagsasagawa tayo ng $\sigma_x$ measurement. Nangangahulugan ito na ang qubit ay sinusukat kaugnay ng basis na $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ na isang orthonormal na basis ng mga eigenvector ng $\sigma_x,$ at ang kaukulang mga resulta ng sukat ay ang mga eigenvalue na nauugnay sa dalawang eigenvector: $+1$ para sa state na $\vert + \rangle$ at $-1$ para sa state na $\vert -\rangle.$ Sa pamamagitan ng pag-average ng mga resulta sa lahat ng mga state sa koleksyon na nauugnay sa $\sigma_x,$ nakakakuha tayo ng approximation ng expected value

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Para sa bawat isa sa mga qubit sa koleksyon na nauugnay sa $\sigma_y$ ay nagsasagawa tayo ng $\sigma_y$ measurement. Ang ganitong sukat ay katulad ng isang $\sigma_x$ measurement, maliban na ang measurement basis ay $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\}$, ang mga eigenvector ng $\sigma_y$. Sa pag-average ng mga resulta sa lahat ng mga state sa koleksyon na nauugnay sa $\sigma_y$, nakakakuha tayo ng approximation ng expected value

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Para sa bawat isa sa mga qubit sa koleksyon na nauugnay sa $\sigma_z$ ay nagsasagawa tayo ng $\sigma_z$ measurement. Sa pagkakataong ito ang measurement basis ay ang standard basis na $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\}$, ang mga eigenvector ng $\sigma_z$. Sa pag-average ng mga resulta sa lahat ng mga state sa koleksyon na nauugnay sa $\sigma_z$, nakakakuha tayo ng approximation ng expected value

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Kapag nakakuha na tayo ng mga approximation

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

sa pamamagitan ng pag-average ng mga resulta ng sukat para sa bawat koleksyon, maaari nating i-approximate ang $\rho$ bilang

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

Sa limitasyon habang lumalapit ang $N$ sa infinity, ang approximation na ito ay nagko-converge sa probabilidad sa tunay na density matrix na $\rho$ ayon sa law of large numbers, at kilalang mga statistical bound (tulad ng Hoeffding's inequality) ang maaaring gamitin upang i-bound ang probabilidad na ang approximation na $\tilde{\rho}$ ay lumalayo sa $\rho$ ng iba't ibang halaga.

Isang mahalagang bagay na dapat kilalanin, gayunpaman, ay ang matrix na $\tilde{\rho}$ na nakukuha sa ganitong paraan ay maaaring mabigo na maging isang density matrix. Sa partikular, kahit palagi itong magkakaroon ng trace na katumbas ng $1$, maaari itong mabigo na maging positive semidefinite. Mayroong iba't ibang kilalang estratehiya para sa "pag-round" ng ganitong approximation na $\tilde{\rho}$ sa isang density matrix, isa sa kanila ay ang mag-compute ng spectral decomposition, palitan ang anumang negatibong eigenvalue ng $0$, at pagkatapos ay i-renormalize (sa pamamagitan ng paghati ng matrix na nakukuha natin sa pamamagitan ng nito nitong trace).

Qubit tomography gamit ang tetrahedral measurement

Ang isa pang opsyon para sa pagsasagawa ng qubit tomography ay ang sukat sa bawat qubit na $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ gamit ang tetrahedral measurement $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ na inilarawan kanina. Ibig sabihin,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

para sa

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Ang bawat resulta ay nakukuha nang ilang beses, na ating itatanotasyon bilang $n_a$ para sa bawat $a\in\{0,1,2,3\}$, upang ang $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N$. Ang ratio ng mga bilang na ito sa $N$ ay nagbibigay ng estimate ng probabilidad na nauugnay sa bawat posibleng resulta:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Sa wakas, gagamitin natin ang sumusunod na kahanga-hangang formula:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Upang maitatag ang formula na ito, maaari nating gamitin ang sumusunod na equation para sa mga absolute value squared ng mga inner product ng mga tetrahedral state, na maaaring ma-check sa pamamagitan ng direktang kalkulasyon.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Ang apat na matrix

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

ay linearly independent, kaya sapat na patunayan na totoo ang formula kapag $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ para sa $b = 0,1,2,3$. Sa partikular,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

at samakatuwid

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Nakakamit natin ang isang approximation ng $\rho$:

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Ang approximation na ito ay palaging magiging isang Hermitian matrix na may trace na katumbas ng isa, ngunit maaari itong mabigo na maging positive semidefinite. Sa kasong ito, ang approximation ay dapat "i-round" sa isang density matrix, katulad ng estratehiyang kinasasangkutan ng Pauli measurements.