Teorema ni Naimark

Ang teorema ni Naimark ay isang pundamental na katotohanan tungkol sa mga sukat. Sinasabi nito na ang bawat pangkalahatang sukat ay maaaring ipatupad sa isang simpleng paraan na katulad ng Stinespring representation ng mga channel:

1. Ang sistema na susukat ay unang pinagsama sa isang initialized na workspace system, na bumubuo ng isang compound system.
2. Pagkatapos ay isang unitary operation ang isinasagawa sa compound system.
3. Sa wakas, ang workspace system ay sinusukat ayon sa isang standard basis measurement, na nagbubunga ng resulta ng orihinal na pangkalahatang sukat.

Pahayag ng teorema at patunay

Hayaan ang $\mathsf{X}$ na isang sistema at ang $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ na isang koleksyon ng positive semidefinite matrices na nakakatugon sa

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

ibig sabihin, inilalarawan nila ang isang sukat ng $\mathsf{X}.$ Gayundin, hayaan ang $\mathsf{Y}$ na isang sistema na ang classical state set ay $\{0,\ldots,m-1\},$ na siyang hanay ng mga posibleng resulta ng sukat na ito.

Sinasabi ng teorema ni Naimark na may unitary operation $U$ sa compound system $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ upang ang implementasyon na iminumungkahi ng sumusunod na figure ay nagbubunga ng mga resulta ng sukat na sang-ayon sa ibinigay na sukat $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ ibig sabihin, ang mga probabilidad para sa iba't ibang posibleng resulta ng sukat ay eksaktong magkatugma.

Para maging malinaw, ang sistema $\mathsf{X}$ ay nagsisimula sa isang arbitraryong estado $\rho$ habang ang $\mathsf{Y}$ ay ini-initialize sa estado $\vert 0\rangle$. Ang unitary operation $U$ ay inilalapat sa $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ at pagkatapos ay sinusukat ang sistema $\mathsf{Y}$ gamit ang standard basis measurement, na nagbubunga ng ilang resulta $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Ang sistema $\mathsf{X}$ ay makikita bilang bahagi ng output ng circuit, ngunit sa ngayon hindi na natin pag-aabalahin ang estado ng $\mathsf{X}$ pagkatapos maisakatuparan ang $U$, at maaari nating isipin na ito ay na-trace out. Mamaya sa aralin, magiging interesado tayo sa estado ng $\mathsf{X}$ pagkatapos maisakatuparan ang $U.$

Ang implementasyon ng sukat sa ganitong paraan ay malinaw na katulad ng Stinespring representation ng isang channel, at ang matematikong pundasyon ay magkatulad din. Ang pagkakaiba dito ay ang workspace system ay sinusukat sa halip na ma-trace out tulad ng sa kaso ng Stinespring representation.

Ang katotohanang maaaring ipatupad ang bawat sukat sa ganitong paraan ay medyo simpleng patunayan, ngunit kailangan muna nating malaman ang isang katotohanang may kaugnayan sa positive semidefinite matrices.

Katotohanan

Ipagpalagay na ang $P$ ay isang $n \times n$ positive semidefinite matrix. May natatanging $n\times n$ positive semidefinite matrix $Q$ para sa $Q^2 = P.$ Ang natatanging positive semidefinite matrix na ito ay tinatawag na square root ng $P$ at tinutukoy bilang $\sqrt{P}.$

Isang paraan upang mahanap ang square root ng isang positive semidefinite matrix ay ang unang mag-compute ng spectral decomposition.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Dahil ang $P$ ay positive semidefinite, ang mga eigenvalue nito ay dapat na mga nonnegative real number, at sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ito ng kanilang mga square root, makukuha natin ang isang expression para sa square root ng $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Sa konseptong ito, handa na tayong patunayan ang teorema ni Naimark. Sa ilalim ng pagpapalagay na ang $\mathsf{X}$ ay may $n$ classical states, ang isang unitary operation $U$ sa pares $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ay maaaring katawanin ng isang $nm\times nm$ matrix, na maaari nating tingnan bilang isang $m\times m$ block matrix na ang mga bloke ay $n\times n.$ Ang susi sa patunay ay ang paggamit ng $U$ bilang anumang unitary matrix na tumutugma sa sumusunod na pattern.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Para maging posibleng punan ang mga blokeng may tanong upang maging unitary ang $U$, kailangan at sapat na ang unang $n$ na kolumna, na binubuo ng mga bloke $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ ay orthonormal. Maaari tayong gumamit ng Gram-Schmidt orthogonalization process upang punan ang natitirang mga kolumna, tulad ng natuklasan natin sa nakaraang aralin.

Ang unang $n$ na kolumna ng $U$ ay maaaring ipahayag bilang mga vector sa sumusunod na paraan, kung saan ang $c = 0,\ldots,n-1$ ay tumutukoy sa bilang ng kolumna simula sa $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Maaari nating kalkulahin ang inner product sa pagitan ng alinman sa dalawa sa mga ito tulad ng sumusunod.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Ipinakikita nito na ang mga kolumnang ito ay orthonormal nga, kaya maaari tayong punan ang natitirang mga kolumna ng $U$ sa isang paraan na ginagarantiyahan na ang buong matrix ay unitary.

Nananatiling suriin na ang mga probabilidad ng resulta ng sukat para sa simulation ay naaayon sa orihinal na sukat. Para sa isang ibinigay na paunang estado $\rho$ ng $\mathsf{X},$ ang sukat na inilalarawan ng koleksyon $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ ay nagbubunga ng bawat resulta $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ na may probabilidad $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Upang makuha ang mga probabilidad ng resulta para sa simulation, unang pangalanan natin ang $\sigma$ bilang estado ng $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ pagkatapos maisakatuparan ang $U.$ Ang estado na ito ay maaaring ipahayag tulad ng sumusunod.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

Katumbas nito, sa anyo ng block matrix, mayroon tayong sumusunod na equation.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Pansinin na ang mga entry ng $U$ na nasa mga blokeng may tanong ay walang impluwensya sa resulta dahil nagko-conjugate tayo ng matrix na may anyo $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — kaya ang mga entry na may tanong ay laging pinarami ng zero entries ng $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ kapag kinakalkula ang matrix product.

Ngayon ay maaari na nating suriin kung ano ang mangyayari kapag ang standard basis measurement ay isinagawa sa $\mathsf{Y}.$ Ang mga probabilidad ng mga posibleng resulta ay ibinibigay ng mga diagonal entry ng reduced state $\sigma_{\mathsf{Y}}$ ng $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

Sa partikular, gamit ang cyclic property ng trace, makikita natin na ang probabilidad na makuha ang isang ibinigay na resulta $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ ay tulad ng sumusunod.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Ito ay naaayon sa orihinal na sukat, na nagpapatunay ng kawastuhan ng simulation.

Mga non-destructive na sukat

Sa ngayon sa aralin, pag-aabalahin natin ang mga destructive na sukat, kung saan ang output ay binubuo lamang ng klasikal na resulta ng sukat at walang detalye tungkol sa post-measurement quantum state ng sinukat na sistema.

Ang mga non-destructive na sukat, sa kabilang banda, ay ginagawa nang tiyak ang bagay na ito. Konkretamente, inilalarawan ng mga non-destructive na sukat hindi lamang ang mga klasikal na probabilidad ng resulta ng sukat, kundi pati na rin ang estado ng sinukat na sistema na nakatali sa bawat posibleng resulta ng sukat. Pansinin na ang termino non-destructive ay tumutukoy sa sistema na sinusukat ngunit hindi kinakailangang sa estado nito, na maaaring magbago nang malaki bilang resulta ng sukat.

Sa pangkalahatan, para sa isang ibinigay na destructive na sukat, maraming (sa katunayan, walang katapusang marami) non-destructive na sukat ang compatible sa ibinigay na destructive na sukat, ibig sabihin, ang mga klasikal na probabilidad ng resulta ng sukat ay eksaktong tumutugma sa destructive na sukat. Kaya, walang natatanging paraan upang tukuyin ang post-measurement quantum state ng isang sistema para sa isang ibinigay na sukat.

Sa katunayan, posibleng higit pang pangkalahatan ang mga non-destructive na sukat, upang makagawa sila ng klasikal na resulta ng sukat kasama ang quantum state output ng isang sistema na hindi kinakailangang kapareho ng input system.

Ang konsepto ng non-destructive na sukat ay isang kawili-wili at kapaki-pakinabang na abstraction. Dapat, gayunpaman, kilalanin na ang mga non-destructive na sukat ay maaaring laging ilarawan bilang mga komposisyon ng mga channel at destructive na sukat — kaya may kahulugan kung saan ang konsepto ng destructive na sukat ay ang mas pundamental.

Mula sa teorema ni Naimark

Isaalang-alang ang simulation ng isang pangkalahatang sukat tulad ng mayroon tayo sa teorema ni Naimark. Isang simpleng paraan upang makakuha ng non-destructive na sukat mula sa simulation na ito ay inihahayag ng figure mula kanina, kung saan ang sistema $\mathsf{X}$ ay hindi nai-trace out, ngunit bahagi ng output. Nagbubunga ito ng parehong klasikal na resulta ng sukat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ at isang post-measurement quantum state ng $\mathsf{X}.$

Ilalarawan natin ang mga estado na ito sa matematikong termino. Ipinapalagay natin na ang paunang estado ng $\mathsf{X}$ ay $\rho,$ kaya pagkatapos maipakilala ang initialized na sistema $\mathsf{Y}$ at maisakatuparan ang $U$, mayroon tayong $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ na nasa estado

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Ang mga probabilidad para sa iba't ibang klasikal na resulta ay katulad ng dati — hindi sila maaaring magbago bilang resulta ng ating pagpapasya na balewalain o hindi balewalain ang $\mathsf{X}.$ Ibig sabihin, makukuha natin ang bawat $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ na may probabilidad $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Nakatali sa pagkakakuha ng isang partikular na resulta ng sukat $a,$ ang nagresultang estado ng $\mathsf{X}$ ay ibinibigay ng expression na ito.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Isang paraan upang makita ito ay ang katawanin ang isang standard basis measurement ng $\mathsf{Y}$ sa pamamagitan ng completely dephasing channel $\Delta_m,$ kung saan ang channel output ay naglalarawan ng mga klasikal na resulta ng sukat bilang (diagonal) density matrices. Ang isang expression ng estado na nakukuha natin ay tulad ng sumusunod.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Maaari nating isulat ang estado na ito bilang isang convex combination ng mga product state,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

na naaayon sa expression na nakuha natin para sa estado ng $\mathsf{X}$ na nakatali sa bawat posibleng resulta ng sukat.

Mula sa isang Kraus representation

May mga alternatibong pagpili para sa $U$ sa konteksto ng teorema ni Naimark na nagbubunga ng parehong mga probabilidad ng resulta ng sukat ngunit nagbibigay ng ganap na magkaibang mga output state ng $\mathsf{X}.$

Halimbawa, isang opsyon ay palitan ang $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ para sa $U,$ kung saan ang $V$ ay anumang unitary operation sa $\mathsf{X}.$ Ang aplikasyon ng $V$ sa $\mathsf{X}$ ay nag-commute sa sukat ng $\mathsf{Y}$ kaya ang mga klasikal na probabilidad ng resulta ay hindi nagbabago, ngunit ngayon ang estado ng $\mathsf{X}$ na nakatali sa resulta $a$ ay nagiging

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Sa mas pangkalahatang paraan, maaari nating palitan ang $U$ ng unitary matrix

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

para sa anumang pagpili ng unitary operations $V_0,\ldots,V_{m-1}$ sa $\mathsf{X}.$ Muli, hindi nagbabago ang mga klasikal na probabilidad ng resulta, ngunit ngayon ang estado ng $\mathsf{X}$ na nakatali sa resulta $a$ ay nagiging

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Isang katumbas na paraan upang ipahayag ang kalayaang ito ay konektado sa mga Kraus representation. Ibig sabihin, maaari nating ilarawan ang isang $m$-outcome non-destructive na sukat ng isang sistema na may $n$ classical states sa pamamagitan ng pagpili ng $n\times n$ Kraus matrices $A_0,\ldots,A_{m-1}$ na nakakatugon sa karaniwang kondisyon para sa Kraus matrices.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Sa pagpapalagay na ang paunang estado ng $\mathsf{X}$ ay $\rho,$ ang klasikal na resulta ng sukat ay $a$ na may probabilidad

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

at nakatali sa resulta na $a$ ang estado ng $\mathsf{X}$ ay nagiging

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Pansinin na ito ay katumbas ng pagpili ng unitary operation $U$ sa teorema ni Naimark tulad ng sumusunod.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Sa nakaraang aralin, napansin natin na ang mga kolumnang nabuo ng mga bloke $A_0,\ldots,A_{m-1}$ ay kinakailangang orthogonal, dahil sa kondisyon $(1).$

Mga generalization

Mayroon pang mas pangkalahatang mga paraan upang buuin ang mga non-destructive na sukat kaysa sa mga pinag-usapan natin. Ang konsepto ng isang quantum instrument (na hindi ilalarawan dito) ay kumakatawan sa isang paraan upang gawin ito.