Lumaktaw sa pangunahing nilalaman

Mga pangunahing konsepto ng quantum channel

Sa mathematical na termino, ang mga channel ay linear na mapping mula sa mga density matrix patungo sa mga density matrix na nakakatugon sa ilang mga kinakailangan. Sa buong aralin na ito, gagamitin natin ang malalaking Greek na titik, kasama ang Φ\Phi at Ψ,\Psi, pati na rin ang ilang ibang titik sa mga espesipikong kaso, para tumukoy sa mga channel.

Ang bawat channel na Φ\Phi ay may input system at output system, at karaniwang gagamitin natin ang pangalan X\mathsf{X} para sa input system at Y\mathsf{Y} para sa output system. Karaniwan na ang output system ng isang channel ay kapareho ng input system, at sa kasong ito magagamit natin ang parehong titik na X\mathsf{X} para sa dalawa.

Ang mga channel ay linear na mapping​

Ang mga channel ay inilalarawan ng linear na mga mapping, tulad ng mga probabilistic na operasyon sa standard na formulation ng classical information at mga unitary na operasyon sa simplified na formulation ng quantum information.

Kung ang isang channel na Φ\Phi ay isinasagawa sa isang input system na X\mathsf{X} na ang state ay inilarawan ng density matrix na ρ,\rho, kung gayon ang output system ng channel ay inilarawan ng density matrix na Φ(ρ).\Phi(\rho). Sa sitwasyon kung saan ang output system ng Φ\Phi ay X\mathsf{X} din, maaari nating tingnan na ang channel ay kumakatawan sa isang pagbabago sa state ng X,\mathsf{X}, mula sa ρ\rho patungo sa Φ(ρ).\Phi(\rho). Kung ang output system ng Φ\Phi ay ibang system, Y,\mathsf{Y}, sa halip na X,\mathsf{X}, dapat maintindihan na ang Y\mathsf{Y} ay isang bagong system na nililikha ng proseso ng pag-apply ng channel, at na ang input system, X,\mathsf{X}, ay hindi na available pagkatapos ma-apply ang channel — parang ang channel mismo ang nag-transform ng X\mathsf{X} papunta sa Y,\mathsf{Y}, na iniiwan ito sa state na Φ(ρ).\Phi(\rho).

Ang pagpapalagay na ang mga channel ay inilarawan ng linear na mga mapping ay maaaring ituring na isang axiom — o sa ibang salita, isang pangunahing postulate ng teorya sa halip na isang bagay na pinapatunayan. Maaari nating makita, gayunpaman, ang pangangailangan para sa mga channel na kumilos nang linearly sa mga convex combination ng mga density matrix na input upang maging consistent ang mga ito sa probability theory at sa natutunan na natin tungkol sa mga density matrix.

Para maging mas tiyak, ipagpalagay na mayroon tayong channel na Φ\Phi at ina-apply natin ito sa isang system kapag ito ay nasa isa sa dalawang state na kinakatawan ng mga density matrix na ρ\rho at σ.\sigma. Kung ina-apply natin ang channel sa ρ\rho ay makukuha natin ang density matrix na Φ(ρ)\Phi(\rho) at kung ina-apply natin ito sa σ\sigma ay makukuha natin ang density matrix na Φ(σ).\Phi(\sigma). Kaya, kung random nating pipiliin ang input state ng X\mathsf{X} na maging ρ\rho na may probabilidad na pp at σ\sigma na may probabilidad na 1−p,1-p, makukuha natin ang output state na Φ(ρ)\Phi(\rho) na may probabilidad na p,p, at Φ(σ)\Phi(\sigma) na may probabilidad na 1−p,1-p, na kinakatawan natin ng weighted average ng mga density matrix bilang pΦ(ρ)+(1−p)Φ(σ).p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).

Sa kabilang banda, maaari nating isipin ang input state ng channel bilang kinakatawan ng weighted average na pρ+(1−p)σ,p\rho + (1-p)\sigma, kung saan ang output ay Φ(pρ+(1−p)σ).\Phi(p\rho + (1-p)\sigma). Iisa ang state kahit paano natin ito isipin, kaya kailangan nating mayroon

Φ(pρ+(1−p)σ)=pΦ(ρ)+(1−p)Φ(σ).\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).

Kapag mayroon tayong mapping na nakakatugon sa kondisyong ito para sa bawat pagpili ng mga density matrix na ρ\rho at σ\sigma at mga scalar na p∈[0,1],p\in [0,1], palagi itong may natatanging paraan para palawakin ang mapping na iyon sa bawat matrix na input (iyon ay, hindi lamang mga density matrix na input) upang ito ay linear.

Ang mga channel ay nagtatransform ng mga density matrix sa mga density matrix​

Natural na, bukod sa pagiging linear na mga mapping, ang mga channel ay kailangan ding mag-transform ng mga density matrix sa mga density matrix. Kung ang isang channel na Φ\Phi ay inilapat sa isang input system habang ang system na ito ay nasa state na kinakatawan ng density matrix na ρ,\rho, kung gayon makukuha natin ang isang system na ang state ay kinakatawan ng Φ(ρ),\Phi(\rho), na kailangang maging valid na density matrix upang maipaliwanag natin ito bilang isang state.

Napakahalaga, gayunpaman, na isaalang-alang natin ang mas pangkalahatang sitwasyon, kung saan ang isang channel na Φ\Phi ay nagtatransform ng isang system na X\mathsf{X} sa isang system na Y\mathsf{Y} sa presensya ng karagdagang system na Z\mathsf{Z} na walang nangyayari. Iyon ay, kung magsisimula tayo sa pares ng mga system na (Z,X)(\mathsf{Z},\mathsf{X}) sa isang state na inilarawan ng ilang density matrix, at pagkatapos ay i-apply ang Φ\Phi sa X\mathsf{X} lamang, na ina-transform ito sa Y,\mathsf{Y}, kailangan nating makakuha ng density matrix na naglalarawan ng state ng pares na (Z,Y).(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).

Maaari nating ilarawan sa mathematical na termino kung paano nagtatransform ang isang channel na Φ,\Phi, na may input system na X\mathsf{X} at output system na Y,\mathsf{Y}, ng state ng pares na (Z,X)(\mathsf{Z},\mathsf{X}) sa state ng (Z,Y)(\mathsf{Z},\mathsf{Y}) kapag walang ginagawa sa Z.\mathsf{Z}. Para maging simple, ipagpalagay natin na ang classical state set ng Z\mathsf{Z} ay {0,…,m−1}.\{0,\ldots,m-1\}. Nagpapahintulot ito sa atin na isulat ang anumang density matrix na ρ,\rho, na kumakatawan sa state ng (Z,X),(\mathsf{Z},\mathsf{X}), sa sumusunod na anyo.

ρ=∑a,b=0m−1∣a⟩⟨b∣⊗ρa,b=(ρ0,0ρ0,1⋯ρ0,m−1ρ1,0ρ1,1⋯ρ1,m−1⋮⋮⋱⋮ρm−1,0ρm−1,1⋯ρm−1,m−1)\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}

Sa kanang bahagi ng ekwasyong ito mayroon tayong block matrix, na maaari nating isipin bilang isang matrix ng mga matrix maliban na ang mga panloob na panaklong ay tinanggal. Nag-iiwan ito sa atin ng ordinaryong matrix na maaaring alternatibong ilarawan gamit ang Dirac notation tulad ng nasa gitnang ekspresyon. Ang bawat matrix na ρa,b\rho_{a,b} ay may mga row at column na naaayon sa mga classical state ng X,\mathsf{X}, at ang mga matrix na ito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng isang simpleng formula.

ρa,b=(⟨a∣⊗IX)ρ(∣b⟩⊗IX)\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)

Tandaan na ang mga ito ay hindi mga density matrix sa pangkalahatan — kapag inayos lamang ang mga ito nang magkakasama para mabuo ang ρ\rho makakakuha tayo ng density matrix.

Ang sumusunod na ekwasyon ay naglalarawan ng state ng (Z,Y)(\mathsf{Z},\mathsf{Y}) na nakukuha kapag ang Φ\Phi ay inilapat sa X.\mathsf{X}.

∑a,b=0m−1∣a⟩⟨b∣⊗Φ(ρa,b)=(Φ(ρ0,0)Φ(ρ0,1)⋯Φ(ρ0,m−1)Φ(ρ1,0)Φ(ρ1,1)⋯Φ(ρ1,m−1)⋮⋮⋱⋮Φ(ρm−1,0)Φ(ρm−1,1)⋯Φ(ρm−1,m−1))\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}

Pansinin na, para ma-evaluate ang ekspresyong ito para sa isang ibinigay na pagpili ng Φ\Phi at ρ,\rho, kailangan nating maunawaan kung paano gumagana ang Φ\Phi bilang isang linear na mapping sa mga non-density matrix na input, dahil ang bawat ρa,b\rho_{a,b} sa pangkalahatan ay hindi magiging density matrix sa sarili nitong. Ang ekwasyon ay consistent sa ekspresyong (Id⁡Z⊗ Φ)(ρ),(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho), kung saan ang Id⁡Z\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} ay nagtatanda ng identity channel sa system na Z.\mathsf{Z}. Ipinagpapalagay nito na pinalawak na natin ang konsepto ng tensor product sa mga linear na mapping mula sa mga matrix patungo sa mga matrix, na madali — ngunit hindi talaga mahalaga sa aralin at hindi na ito ipapaliwanag pa.

Muling isinasaad ang pahayag na ginawa sa itaas, para maging valid na channel ang isang linear na mapping na Φ\Phi kailangan na, para sa bawat pagpili ng Z\mathsf{Z} at bawat density matrix na ρ\rho ng pares na (Z,X),(\mathsf{Z},\mathsf{X}), palagi tayong nakakakuha ng density matrix kapag ang Φ\Phi ay inilapat sa X.\mathsf{X}. Sa mathematical na termino, ang mga katangian na kailangan ng isang mapping para maging channel ay kailangan itong maging trace-preserving — upang ang matrix na nakukuha natin sa pag-apply ng channel ay may trace na katumbas ng isa — pati na rin completely positive — upang ang nagresultang matrix ay positive semidefinite. Ang dalawang ito ay parehong mahalagang katangian na maaaring isaalang-alang at pag-aralan nang hiwalay, ngunit hindi ito kritikal para sa layunin ng araling ito na isaalang-alang ang mga katangiang ito nang hiwalay.

Sa katunayan, mayroong mga linear na mapping na palaging nagbubunga ng density matrix kapag binigyan ng density matrix bilang input, ngunit nabibigo sa pag-map ng mga density matrix sa mga density matrix para sa mga compound system, kaya tinatanggal natin ang ilang linear na mapping mula sa klase ng mga channel sa ganitong paraan. (Ang linear na mapping na ibinibigay ng matrix transposition ang pinakasimpleng halimbawa.)

Mayroon tayong analogous na formula sa isa sa itaas sa kaso na ang dalawang system na X\mathsf{X} at Z\mathsf{Z} ay pinagpalitan, upang ang Φ\Phi ay inilapat sa system sa kaliwa sa halip na sa kanan.

(Φ⊗Id⁡Z)(ρ)=∑a,b=0m−1Φ(ρa,b)⊗∣a⟩⟨b∣\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert

Ipinagpapalagay nito na ang ρ\rho ay state ng (X,Z)(\mathsf{X},\mathsf{Z}) sa halip na (Z,X).(\mathsf{Z},\mathsf{X}). Sa pagkakataong ito ang block matrix na paglalarawan ay hindi gumagana dahil ang mga matrix na ρa,b\rho_{a,b} ay hindi nahuhulog sa magkakasunod na mga row at column sa ρ,\rho, ngunit iisa ang pinagbabatayan na mathematical na istraktura.

Ang anumang linear na mapping na nakakatugon sa kinakailangan na ito na palaging nagtatransform ng mga density matrix sa mga density matrix, kahit na ito ay inilapat lamang sa isang bahagi ng isang compound system, ay kumakatawan sa isang valid na channel. Kaya, sa abstract na kahulugan, ang konsepto ng isang channel ay tinutukoy ng konsepto ng isang density matrix, kasama ang pagpapalagay na ang mga channel ay kumikilos nang linearly. Sa ganitong kahulugan, ang mga channel ay analogous sa mga unitary na operasyon sa simplified na formulation ng quantum information, na siyang mga linear na mapping na palaging nagtatransform ng mga quantum state vector sa mga quantum state vector para sa isang ibinigay na system; pati na rin sa mga probabilistic na operasyon (kinakatawan ng mga stochastic matrix) sa standard na formulation ng classical information, na siyang mga linear na mapping na palaging nagtatransform ng mga probability vector sa mga probability vector.

Mga unitary na operasyon bilang mga channel​

Ipagpalagay na ang X\mathsf{X} ay isang system at ang UU ay isang unitary matrix na kumakatawan sa isang operasyon sa X.\mathsf{X}. Ang channel na Φ\Phi na naglalarawan ng operasyong ito sa mga density matrix ay tinukoy tulad ng sumusunod para sa bawat density matrix na ρ\rho na kumakatawan sa isang quantum state ng X.\mathsf{X}.

Φ(ρ)=UρU†(1)\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}

Ang aksyong ito, kung saan pinararami tayo ng UU sa kaliwa at U†U^{\dagger} sa kanan, ay karaniwang tinutukoy bilang conjugation ng matrix na U.U.

Ang paglalarawang ito ay consistent sa katotohanan na ang density matrix na kumakatawan sa isang ibinigay na quantum state vector na ∣ψ⟩\vert\psi\rangle ay ∣ψ⟩⟨ψ∣.\vert\psi\rangle\langle\psi\vert. Sa partikular, kung ang unitary na operasyong UU ay isinasagawa sa ∣ψ⟩,\vert\psi\rangle, kung gayon ang output state ay kinakatawan ng vector na U∣ψ⟩,U\vert\psi\rangle, at kaya ang density matrix na naglalarawan sa state na ito ay katumbas ng

(U∣ψ⟩)(U∣ψ⟩)†=U∣ψ⟩⟨ψ∣U†.(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.

Kapag nalaman na natin na, bilang isang channel, ang operasyong UU ay may aksyon na ∣ψ⟩⟨ψ∣↦U∣ψ⟩⟨ψ∣U†\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger} sa mga pure state, maaari nating tapusin sa pamamagitan ng linearity na kailangan itong gumana tulad ng itinukoy ng ekwasyon (1)(1) sa itaas para sa anumang density matrix na ρ.\rho.

Ang partikular na channel na nakukuha natin kapag kinuha natin ang U=IU = \mathbb{I} ay ang identity channel  Id⁡,\;\operatorname{Id}, na maaari rin nating bigyan ng subscript (tulad ng Id⁡Z,\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}, na nakaranas na tayo) kapag gusto nating tukuyin nang malinaw kung aling system ang kinakatawan ng channel na ito. Ang output nito ay palaging katumbas ng input nito: Id⁡(ρ)=ρ.\operatorname{Id}(\rho) = \rho. Maaaring mukhang hindi ito isang kawili-wiling channel, ngunit ito ay talagang napakahalagang isa — at angkop na ito ang ating unang halimbawa. Ang identity channel ay ang perpektong channel sa ilang konteksto, na kumakatawan sa isang ideal na memorya o isang perpekto, walang ingay na pagpapadala ng impormasyon mula sa nagpapadala patungo sa tatanggap.

Ang bawat channel na tinukoy ng isang unitary na operasyon sa ganitong paraan ay talagang isang valid na channel: ang conjugation ng isang matrix na UU ay nagbibigay sa atin ng linear na mapa; at kung ang ρ\rho ay isang density matrix ng isang system na (Z,X)(\mathsf{Z},\mathsf{X}) at ang UU ay unitary, kung gayon ang resulta, na maaari nating ipahayag bilang

(IZ⊗U)ρ(IZ⊗U†),(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),

ay density matrix din. Sa partikular, ang matrix na ito ay kailangan maging positive semidefinite, sapagkat kung ρ=M†M\rho = M^{\dagger} M kung gayon

(IZ⊗U)ρ(IZ⊗U†)=K†K(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K

para sa K=M(IZ⊗U†),K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}), at kailangan nitong magkaroon ng unit trace ayon sa cyclic property ng trace.

Tr⁡((IZ⊗U)ρ(IZ⊗U†))=Tr⁡((IZ⊗U†)(IZ⊗U)ρ)=Tr⁡((IZ⊗IX)ρ)=Tr⁡(ρ)=1\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1

Mga convex combination ng mga channel​

Ipagpalagay na mayroon tayong dalawang channel, Φ0\Phi_0 at Φ1,\Phi_1, na nagbabahagi ng parehong input system at parehong output system. Para sa anumang tunay na bilang na p∈[0,1],p\in[0,1], maaari tayong magpasya na i-apply ang Φ0\Phi_0 na may probabilidad na pp at Φ1\Phi_1 na may probabilidad na 1−p,1-p, na nagbibigay sa atin ng bagong channel na maaaring isulat bilang pΦ0+(1−p)Φ1.p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1. Nang malinaw, ang paraan ng aksyon ng channel na ito sa isang ibinigay na density matrix ay tinukoy ng sumusunod na simpleng ekwasyon.

(pΦ0+(1−p)Φ1)(ρ)=pΦ0(ρ)+(1−p)Φ1(ρ)(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)

Sa pangkalahatan, kung mayroon tayong mga channel na Φ0,…,Φm−1\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1} at isang probability vector na (p0,…,pm−1),(p_0,\ldots, p_{m-1}), maaari nating i-average ang mga channel na ito nang magkasama para makakuha ng bagong channel.

∑k=0m−1pkΦk\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k

Ito ay isang convex combination ng mga channel, at palagi tayong nakakakuha ng valid na channel sa pamamagitan ng prosesong ito. Isang simpleng paraan para sabihin ito sa mathematical na termino ay ang, para sa isang ibinigay na pagpili ng input at output system, ang set ng lahat ng channel ay isang convex set.

Bilang halimbawa, maaari tayong pumili na mag-apply ng isa sa isang koleksyon ng mga unitary na operasyon sa isang partikular na system. Makukuha natin ang tinatawag na isang mixed unitary channel, na isang channel na maaaring ipahayag sa sumusunod na anyo.

Φ(ρ)=∑k=0m−1pkUkρUk†\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}

Ang mga mixed unitary channel kung saan ang lahat ng unitary na operasyon ay mga Pauli matrix (o mga tensor product ng mga Pauli matrix) ay tinatawag na Pauli channel, at karaniwang nakikita sa quantum computing.

Mga halimbawa ng qubit channel​

Ngayon ay titingnan natin ang ilang partikular na halimbawa ng mga channel na hindi unitary. Para sa lahat ng mga halimbawang ito, ang input at output system ay parehong mga solong qubit, na ibig sabihin ay mga halimbawa ng qubit channel.

Ang qubit reset channel​

Ang channel na ito ay gumagawa ng napakasimpleng bagay: nagre-reset ito ng isang qubit sa ∣0⟩\vert 0\rangle na state. Bilang isang linear na mapping ang channel na ito ay maaaring ipahayag tulad ng sumusunod para sa bawat qubit density matrix na ρ.\rho.

Λ(ρ)=Tr⁡(ρ)∣0⟩⟨0∣\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert

Kahit na ang trace ng bawat density matrix na ρ\rho ay katumbas ng 1,1, ang pagsulat ng channel sa ganitong paraan ay nagpapalinaw na ito ay isang linear na mapping na maaaring ilapat sa anumang 2×22\times 2 na matrix, hindi lamang sa isang density matrix. Tulad ng napansin na natin, kailangan nating maunawaan kung paano gumagana ang mga channel bilang mga linear na mapping sa mga non-density matrix na input para ilarawan ang nangyayari kapag inilapat ang mga ito sa isang bahagi lamang ng isang compound system.

Halimbawa, ipagpalagay na ang A\mathsf{A} at B\mathsf{B} ay mga qubit at ang pares na (A,B)(\mathsf{A},\mathsf{B}) ay nasa Bell state na ∣ϕ+⟩.\vert \phi^+\rangle. Bilang density matrix, ang state na ito ay ibinibigay ng

∣ϕ+⟩⟨ϕ+∣=(12001200000000120012).\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Gamit ang Dirac notation maaari nating alternatibong ipahayag ang state na ito tulad ng sumusunod.

∣ϕ+⟩⟨ϕ+∣=12∣0⟩⟨0∣⊗∣0⟩⟨0∣+12∣0⟩⟨1∣⊗∣0⟩⟨1∣+12∣1⟩⟨0∣⊗∣1⟩⟨0∣+12∣1⟩⟨1∣⊗∣1⟩⟨1∣\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert

Sa pamamagitan ng pag-apply ng qubit reset channel sa A\mathsf{A} at walang ginagawa sa B\mathsf{B} ay makukuha natin ang sumusunod na state.

12Λ(∣0⟩⟨0∣)⊗∣0⟩⟨0∣+12Λ(∣0⟩⟨1∣)⊗∣0⟩⟨1∣+12Λ(∣1⟩⟨0∣)⊗∣1⟩⟨0∣+12Λ(∣1⟩⟨1∣)⊗∣1⟩⟨1∣=12∣0⟩⟨0∣⊗∣0⟩⟨0∣+12∣0⟩⟨0∣⊗∣1⟩⟨1∣=∣0⟩⟨0∣⊗I2\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}

Maaaring matuksuhan na sabihin na ang pag-reset ng A\mathsf{A} ay may epekto sa B,\mathsf{B}, na nagdudulot nito na maging completely mixed — ngunit sa isang kahulugan ay kabaligtaran pa ito. Bago na-reset ang A,\mathsf{A}, ang reduced state ng B\mathsf{B} ay ang completely mixed state, at hindi ito nagbabago bilang resulta ng pag-reset ng A.\mathsf{A}.

Ang completely dephasing channel​

Narito ang isang halimbawa ng qubit channel na tinatawag na Δ,\Delta, na inilarawan ng aksyon nito sa mga 2×22\times 2 na matrix:

Δ(α00α01α10α11)=(α0000α11).\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.

Sa madaling salita, ang Δ\Delta ay nagse-set ng zero sa mga off-diagonal na entry ng isang 2×22\times 2 na matrix. Ang halimbawang ito ay maaaring i-generalize sa mga arbitrary na system, kumpara sa mga qubit: para sa anumang density matrix na pinasok, ang channel ay nagse-set ng zero sa lahat ng off-diagonal na entry at iniiwan ang diagonal nang walang pagbabago.

Ang channel na ito ay tinatawag na completely dephasing channel, at maaaring isipin bilang kumakatawan sa isang matinding anyo ng prosesong kilala bilang decoherence — na mahalagang sinisira ang mga quantum superposition at ginagawa itong mga classical probabilistic state.

Isa pang paraan para isipin ang channel na ito ay naglalarawan ito ng isang standard basis measurement sa isang qubit, kung saan ang isang input qubit ay sinusukat at pagkatapos ay itinapon, at kung saan ang output ay isang density matrix na naglalarawan ng measurement outcome. Bilang alternatibo, ngunit katumbas, maaari nating isipin na ang measurement outcome ay itinapon, na iniiwan ang qubit sa post-measurement state nito.

Isaalang-alang natin muli ang isang e-bit, at tingnan kung ano ang nangyayari kapag ang Δ\Delta ay inilapat sa isa lamang sa dalawang qubit. Sa partikular, mayroon tayong mga qubit na A\mathsf{A} at B\mathsf{B} kung saan ang (A,B)(\mathsf{A},\mathsf{B}) ay nasa state na ∣ϕ+⟩,\vert\phi^+\rangle, at sa pagkakataong ito i-apply natin ang channel sa pangalawang qubit. Narito ang state na makukuha natin.

12∣0⟩⟨0∣⊗Δ(∣0⟩⟨0∣)+12∣0⟩⟨1∣⊗Δ(∣0⟩⟨1∣)+12∣1⟩⟨0∣⊗Δ(∣1⟩⟨0∣)+12∣1⟩⟨1∣⊗Δ(∣1⟩⟨1∣)=12∣0⟩⟨0∣⊗∣0⟩⟨0∣+12∣1⟩⟨1∣⊗∣1⟩⟨1∣\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}

Bilang alternatibo maaari nating ipahayag ang ekwasyong ito gamit ang mga block matrix.

(Δ(12000)Δ(01200)Δ(00120)Δ(00012))=(120000000000000012)\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}

Maaari rin tayong isaalang-alang ang isang qubit channel na bahagya lamang nag-dedephase ng isang qubit, kumpara sa completely dephasing nito, na isang hindi gaanong matinding anyo ng decoherence kaysa sa kinakatawan ng completely dephasing channel. Sa partikular, ipagpalagay na ang ε∈(0,1)\varepsilon \in (0,1) ay isang maliit ngunit hindi zero na tunay na bilang. Maaari tayong tumukoy ng isang channel

Δε=(1−ε)Id⁡+εΔ,\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,

na nagtatransform ng isang ibinigay na qubit density matrix na ρ\rho ganito:

Δε(ρ)=(1−ε)ρ+εΔ(ρ).\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).

Ibig sabihin, walang nangyayari na may probabilidad na 1−ε,1-\varepsilon, at may probabilidad na ε,\varepsilon, ang qubit ay dephases. Sa mga termino ng mga matrix, ang aksyong ito ay maaaring ipahayag tulad ng sumusunod, kung saan ang mga diagonal na entry ay iniiwan nang walang pagbabago at ang mga off-diagonal na entry ay pinarami ng 1−ε.1-\varepsilon.

ρ=(⟨0∣ρ∣0⟩⟨0∣ρ∣1⟩⟨1∣ρ∣0⟩⟨1∣ρ∣1⟩)↦(⟨0∣ρ∣0⟩(1−ε)⟨0∣ρ∣1⟩(1−ε)⟨1∣ρ∣0⟩⟨1∣ρ∣1⟩)\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}

Ang completely depolarizing channel​

Narito ang isa pang halimbawa ng qubit channel na tinatawag na Ω.\Omega.

Ω(ρ)=Tr⁡(ρ)I2\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}

Dito ang I\mathbb{I} ay nagtatanda ng 2×22\times 2 identity matrix. Sa madaling salita, para sa anumang density matrix input na ρ,\rho, ang channel na Ω\Omega ay nagbubunga ng completely mixed state. Wala nang mas maingay pa kaysa dito! Ang channel na ito ay tinatawag na completely depolarizing channel, at tulad ng completely dephasing channel ay maaaring i-generalize sa mga arbitrary na system sa halip na mga qubit.

Maaari rin nating isaalang-alang ang isang hindi gaanong matinding variant ng channel na ito kung saan ang depolarizing ay nangyayari na may probabilidad na ε,\varepsilon, katulad ng nakita natin para sa dephasing channel.

Ωε(ρ)=(1−ε)ρ+εΩ(ρ).\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).