Pagkakatumbas ng mga representasyon

Tinalakay na natin ang tatlong magkakaibang paraan ng pagsasalarawan ng mga channel sa matematiko, katulad ng mga Stinespring na representasyon, Kraus na representasyon, at Choi na representasyon. Mayroon din tayong kahulugan ng isang channel, na nagsasabing ang isang channel ay isang linear na pagmamapa na laging nagtatransporma ng mga density matrix patungo sa mga density matrix, kahit ilapat lamang ang channel sa isang bahagi ng mas malaking compound na sistema. Ang natitirang bahagi ng leksyon ay nakatuon sa matematikong patunay na ang tatlong representasyon ay magkatumbas at tiyak na sumasaklaw sa kahulugan.

Pangkalahatang-ideya ng patunay

Ang layunin natin ay maitatag ang pagkakatumbas ng koleksyon ng apat na pahayag, at magsisimula tayo sa pagsusulat ng mga ito nang tumpak. Sumusunod ang lahat ng apat na pahayag sa parehong mga kombensiyon na ginamit sa buong leksyon, katulad na ang $\Phi$ ay isang linear na pagmamapa mula sa mga square matrix patungo sa mga square matrix, ang mga hilera at kolumna ng mga input na matrix ay iniugnay sa mga klasikal na estado ng isang sistema $\mathsf{X}$ (ang input na sistema), at ang mga hilera at kolumna ng mga output na matrix ay iniugnay sa mga klasikal na estado ng isang sistema $\mathsf{Y}$ (ang output na sistema).

1. Ang $\Phi$ ay isang channel mula sa $\mathsf{X}$ patungo sa $\mathsf{Y}.$ Ibig sabihin, lagi nitong tinatransporma ang mga density matrix patungo sa mga density matrix, kahit na kumikilos ito sa isang bahagi lamang ng mas malaking compound na sistema.

2. Ang Choi matrix na $J(\Phi)$ ay positive semidefinite at nakakatugon sa kondisyon na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

3. May Kraus na representasyon para sa $\Phi$. Ibig sabihin, may mga matrix na $A_0,\ldots,A_{N-1}$ kung saan totoo ang ekwasyon na $\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$ para sa bawat input na $\rho$, at nakakatugon sa kondisyon na $\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

4. May Stinespring na representasyon para sa $\Phi$. Ibig sabihin, may mga sistema $\mathsf{W}$ at $\mathsf{G}$ kung saan ang mga pares na $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ at $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ ay may parehong bilang ng mga klasikal na estado, kasama ang isang unitary matrix na $U$ na kumakatawan sa isang unitary na operasyon mula sa $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ patungo sa $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$, na nagbibigay ng $\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}}\bigl( U (\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$.

Ang paraan ng patunay ay ang pagpapatunay ng isang siklo ng mga implikasyon: ang unang pahayag sa ating listahan ay nagpapahiwatig ng pangalawa, ang pangalawa ay nagpapahiwatig ng pangatlo, ang pangatlo ay nagpapahiwatig ng pang-apat, at ang pang-apat na pahayag ay nagpapahiwatig ng una. Itinatag nito na ang lahat ng apat na pahayag ay magkatumbas — ibig sabihin, lahat ay tama o lahat ay mali para sa isang naibigay na pagpili ng $\Phi$ — dahil ang mga implikasyon ay maaaring sundan nang transitive mula sa alinmang pahayag patungo sa iba.

Ito ay isang karaniwang estratehiya kapag pinapatunayan na ang isang koleksyon ng mga pahayag ay magkatumbas, at isang kapaki-pakinabang na trick na gamitin sa ganitong konteksto ay ang pagsasaayos ng mga implikasyon sa paraang pinakamaayos ang pagpapatunay ng mga ito. Ganoon ang kaso dito — at sa katunayan nakatagpo na tayo ng dalawa sa apat na implikasyon.

Mga channel patungo sa Choi matrix

Tumutukoy sa mga pahayag sa itaas ayon sa kanilang mga numero, ang unang implikasyon na dapat patunayan ay ang 1 $\Rightarrow$ 2. Napag-usapan na ang implikasyong ito sa konteksto ng Choi state ng isang channel. Dito ay ibubuod natin ang mga detalye ng matematika.

Ipagpalagay na ang klasikal na set ng estado ng input na sistema $\mathsf{X}$ ay $\Sigma$ at hayaan ang $n = \vert\Sigma\vert$. Isaalang-alang ang sitwasyon kung saan ang $\Phi$ ay inilalapat sa pangalawa sa dalawang kopya ng $\mathsf{X}$ na magkasama sa estado

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a \in \Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle,$$

na, bilang isang density matrix, ay ibinibigay ng

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b \in \Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert.$$

Ang resulta ay maaaring isulat bilang

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n},$$

at dahil sa pagpapalagay na ang $\Phi$ ay isang channel, ito ay dapat na isang density matrix. Tulad ng lahat ng density matrix, ito ay dapat na positive semidefinite, at ang pagpaparami ng isang positive semidefinite matrix ng isang positibong tunay na bilang ay nagbubunga ng isa pang positive semidefinite matrix, kaya naman ang $J(\Phi) \geq 0$.

Bukod pa rito, sa ilalim ng pagpapalagay na ang $\Phi$ ay isang channel, kailangan nitong mapanatili ang trace, at samakatuwid

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert\\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

Mula sa Choi patungo sa Kraus na representasyon

Ang pangalawang implikasyon, muli na tumutukoy sa mga pahayag sa ating listahan ayon sa kanilang mga numero, ay ang 2 $\Rightarrow$ 3. Para maging malinaw, binabalewala natin ang ibang mga pahayag — at lalo na hindi natin maaaring ipalagay na ang $\Phi$ ay isang channel. Ang mayroon lamang tayong paggawa ay ang $\Phi$ ay isang linear na pagmamapa na ang Choi na representasyon ay nakakatugon sa $J(\Phi) \geq 0$ at $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$.

Ito, gayunpaman, ay sapat na para masabing may Kraus na representasyon ang $\Phi$

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

kung saan natutugunan ang kondisyon

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Nagsisimula tayo sa kritikal na pagpapalagay na ang $J(\Phi)$ ay positive semidefinite, na nangangahulugang maaari itong ipahayag sa anyo

Magsisimula tayo sa napakahalagang assumption na ang $J(\Phi)$ ay positive semidefinite, na nangangahulugang posible itong ipahayag sa anyong

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \tag{1}$$

para sa ilang paraan ng pagpili sa mga vector $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$. Sa pangkalahatan, magkakaroon ng maraming paraan upang gawin ito — at sa katunayan ito ay direktang sumasalamin sa kalayaan na mayroon tayo sa pagpili ng Kraus representation para sa $\Phi$.

Isang paraan upang makuha ang ganitong expression ay ang unang paggamit ng spectral theorem upang isulat

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \lambda_k \vert \gamma_k \rangle \langle \gamma_k \vert,$$

kung saan ang $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$ ay ang mga eigenvalue ng $J(\Phi)$ (na kinakailangang nonnegative real number dahil ang $J(\Phi)$ ay positive semidefinite) at ang $\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{N-1}\rangle$ ay unit eigenvectors na tumutugma sa mga eigenvalue na $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$.

Tandaan na, bagama't walang kalayaan sa pagpili ng mga eigenvalue (maliban sa kung paano ito ina-order), mayroon namang kalayaan sa pagpili ng mga eigenvector, lalo na kapag may mga eigenvalue na may multiplicity na mas malaki sa isa. Kaya, hindi ito natatanging expression ng $J(\Phi)$ — ipinapalagay lang natin na mayroon tayong ganitong expression. Gayunpaman, dahil ang mga eigenvalue ay nonnegative real number, mayroon silang nonnegative square root, kaya't maaari nating piliin ang

$$\vert\psi_k\rangle = \sqrt{\lambda_k} \vert \gamma_k\rangle$$

para sa bawat $k = 0,\ldots,N-1$ upang makuha ang isang expression na anyong $(1)$.

Hindi naman kinakailangan, gayunpaman, na ang expression $(1)$ ay nagmula sa isang spectral decomposition sa ganitong paraan, at sa partikular ang mga vector $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ ay hindi kailangang maging orthogonal sa pangkalahatan. Kapansin-pansin, gayunpaman, na maaari nating piliin ang mga vector na ito na maging orthogonal kung nais natin — at higit pa rito hindi natin kailanman kailangang gawing mas malaki ang $N$ kaysa sa $nm$ (inaalala na ang $n$ at $m$ ay tumutukoy sa bilang ng mga classical state ng $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$, ayon sa pagkakabanggit).

Susunod, ang bawat isa sa mga vector na $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ ay maaaring dagdag na i-decompose bilang

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle,$$

kung saan ang mga vector na $\{ \vert \phi_{k,a}\rangle \}$ ay may mga entries na tumutugma sa mga classical state ng $\mathsf{Y}$ at maaaring tuwirang matukoy sa pamamagitan ng equation

$$\vert \phi_{k,a}\rangle = \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}\bigr) \vert \psi_k\rangle$$

para sa bawat $a\in\Sigma$ at $k=0,\ldots,N-1$. Bagama't ang $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ ay hindi kinakailangang unit vector, ito ang parehong proseso na gagamitin natin upang suriin kung ano ang mangyayari kung isasagawa ang standard basis measurement sa system na $\mathsf{X}$ dahil sa isang quantum state vector ng pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

At ngayon dumating na tayo sa trick na gagawing gumana ang bahaging ito ng proof. Dinedefine natin ang ating mga Kraus matrix na $A_0,\ldots,A_{N-1}$ ayon sa sumusunod na equation.

$$A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

Maaari nating isipin ang formula na ito nang puro simbolikal: ang $\vert a\rangle$ ay epektibong napapabaligtad upang mabuo ang $\langle a\vert$ at inililipat sa right-hand side, na bumubuo ng matrix. Para sa layunin ng pagbe-verify sa proof, ang formula lamang ang kailangan natin.

Mayroon, gayunpaman, isang simple at intuitive na relasyon sa pagitan ng vector $\vert\psi_k\rangle$ at ng matrix $A_k$, na ang ibig sabihin ay sa pamamagitan ng pag-vectorize ng $A_k$ nakukuha natin ang $\vert\psi_k\rangle$. Ang ibig sabihin ng pag-vectorize ng $A_k$ ay pinagsasama-sama natin ang mga column nang paisa-isa sa ibabaw ng isa't isa (kung saan ang pinakakaliwang column ay nasa itaas hanggang sa pinakakanang nasa ibaba), upang bumuo ng isang vector. Halimbawa, kung ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay parehong qubit, at para sa ilang pagpili ng $k$ mayroon tayong

$$\begin{aligned} \vert\psi_k\rangle & = \alpha_{00} \vert 0\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{01} \vert 0\rangle \otimes \vert 1\rangle + \alpha_{10} \vert 1\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{11} \vert 1\rangle \otimes \vert 1\rangle\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} \\[1mm] \alpha_{01} \\[1mm] \alpha_{10} \\[1mm] \alpha_{11} \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

then

$$\begin{aligned} A_k & = \alpha_{00} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \alpha_{01} \vert 1\rangle\langle 0\vert + \alpha_{10} \vert 0\rangle\langle 1\vert + \alpha_{11} \vert 1\rangle\langle 1\vert\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{10}\\[1mm] \alpha_{01} & \alpha_{11} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

(Mag-ingat: minsan ang vectorization ng isang matrix ay depinado sa bahagyang ibang paraan, na kung saan ang mga row ng matrix ay tina-transpose at pinagsasama-sama sa ibabaw ng isa't isa upang bumuo ng column vector.)

Una nating i-verify na ang pagpiling ito ng mga Kraus matrix ay tama ang paglalarawan sa mapping na $\Phi$, pagkatapos nito ay i-verify natin ang iba pang kinakailangang kondisyon. Upang manatiling malinaw, tukuyin natin ang isang bagong mapping na $\Psi$ tulad ng sumusunod.

$$\Psi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Kaya, ang ating layunin ay i-verify na ang $\Psi = \Phi$.

Ang paraan na magagawa natin ito ay ihambing ang mga Choi representation ng mga mapping na ito. Ang mga Choi representation ay faithful, kaya mayroon tayong $\Psi = \Phi$ kung at kung tanging kung $J(\Phi) = J(\Psi)$. Sa puntong ito, maaari na lamang nating kalkulahin ang $J(\Psi)$ gamit ang mga expression

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle \quad\text{and}\quad A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

kasama ang bilinearity ng tensor products upang gawing simple.

$$\begin{aligned} J(\Psi) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \vert a\rangle \langle b \vert A_k^{\dagger}\\[2mm] & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a} \rangle\biggr) \biggl(\sum_{b\in\Sigma} \langle b\vert \otimes \langle \phi_{k,b} \vert\biggr)\\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \\[2mm] & = J(\Phi) \end{aligned}$$

Kaya, ang ating mga Kraus matrix ay tama ang paglalarawan sa $\Phi$.

Nananatiling suriin ang kinakailangang kondisyon sa $A_0,\ldots,A_{N-1}$, na lumalabas na katumbas ng assumption na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ (na hindi pa natin nagagamit). Ang ating ipapakita ay ang relasyon na ito:

$$\Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr)^{T} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) \tag{2}$$

(kung saan tinutukoy natin ang matrix transpose sa left-hand side).

Simula sa kaliwa, mapapansin muna natin na

$$\begin{aligned} \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T & = \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert b \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle a \vert\Biggr)^T\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

Ang huling equality ay galing sa katotohanan na ang transpose ay linear at nagma-map ng $\vert b\rangle\langle a \vert$ tungo sa $\vert a\rangle\langle b \vert$.

Papunta sa right-hand side ng ating equation, mayroon tayong

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k \vert = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert$$

at samakatuwid

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert \bigr)\, \vert a\rangle \langle b \vert\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

Nakuha natin ang parehong resulta, at samakatuwid ang equation $(2)$ ay na-verify na. Sumusunod, sa pamamagitan ng assumption na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$, na

$$\Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

at samakatuwid, dahil ang identity matrix ay sarili nitong transpose, ang kinakailangang kondisyon ay totoo.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Mula sa Kraus patungo sa Stinespring na representasyon

Ngayon ipagpalagay na mayroon tayong Kraus na representasyon ng isang pagmamapa

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

kung saan

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Ang ating layunin ay hanapin ang Stinespring representation para sa $\Phi$.

Ang unang gusto nating gawin ay piliin ang garbage system na $\mathsf{G}$ upang ang klasikal na set ng estado nito ay $\{0,\ldots,N-1\}$. Para sa $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ at $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ na magkaroon ng parehong laki, gayunpaman, kinakailangang hatiin ng $n$ ang $m N$, na nagbibigay-daan sa atin na kunin ang $\mathsf{W}$ upang magkaroon ng mga klasikal na estado $\{0,\ldots,d-1\}$ para sa $d = mN/n$.

Para sa isang arbitrary na pagpili ng $n$, $m$, at $N$, maaaring hindi integer ang $mN/n$, kaya hindi tayo talaga malaya na piliin ang $\mathsf{G}$ upang ang klasikal na set ng estado nito ay $\{0,\ldots,N-1\}$. Ngunit maaari nating palaging dagdagan ang $N$ nang arbitraryo sa Kraus na representasyon sa pamamagitan ng pagtatakda ng $A_k = 0$ para sa kahit ilang karagdagang halaga ng $k$ na gusto natin.

Kaya, kung tahasan nating ipagpalagay na ang $mN/n$ ay isang integer, na katumbas ng $N$ na multiple ng $n/\operatorname{gcd}(n,m)$, kung gayon malaya tayong kunin ang $\mathsf{G}$ upang ang classical state set nito ay $\{0,\ldots,N-1\}$. Sa partikular, kung ang kaso ay $N = nm$, maaari nating kunin ang $\mathsf{W}$ upang magkaroon ng $m^2$ classical state.

Nananatiling piliin ang $U$, at gagawin natin ito sa pamamagitan ng pagtutugma sa sumusunod na pattern.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{N-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Upang maging malinaw, ang pattern na ito ay ipinahihiwatig upang magmungkahi ng block matrix, kung saan ang bawat block (kasama ang $A_{0},\ldots,A_{N-1}$ pati na rin ang mga block na markado ng question mark) ay may $m$ row at $n$ column. Mayroong $N$ row ng mga block, na nangangahulugang mayroong $d = mN/n$ column ng mga block.

Sa mas formulaic na termino, i-definite natin ang $U$ bilang

$$\begin{aligned} U & = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{d-1} \vert k \rangle \langle j \vert \otimes M_{k,j} \\[4mm] & = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} & \cdots & M_{0,d-1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} & \cdots & M_{1,d-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] M_{N-1,0} & M_{N-1,1} & \cdots & M_{N-1,d-1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

kung saan ang bawat matrix na $M_{k,j}$ ay may $m$ row at $n$ column, at sa partikular kukunin natin ang $M_{k,0} = A_k$ para sa $k = 0,\ldots,N-1$.

Kailangan itong maging unitary matrix, at ang mga block na markado ng question mark, o katumbas na $M_{k,j}$ para sa $j>0$, ay dapat piliin nang may isip ito — ngunit maliban sa pagpapahintulot sa $U$ na maging unitary, ang mga block na markado ng question mark ay walang kaugnayan sa proof.

Kalimutan muna natin sandali ang alalahanin na ang $U$ ay unitary at magtuon sa expression

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

na naglalarawan ng output state ng $\mathsf{Y}$ dahil sa input state $\rho$ ng $\mathsf{X}$ para sa ating Stinespring representation. Maaari nating alternatibong isulat

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho (\langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) U^{\dagger},$$

at makikita natin mula sa ating pagpili ng $U$ na

$$U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}}) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k.$$

Kaya't makikita natin na

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \vert k\rangle\langle j\vert \otimes A_k \rho A_j^{\dagger},$$

and so

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger}\bigr) & = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl(\vert k\rangle\langle j\vert\bigr) \, A_k \rho A_j^{\dagger} \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger} \\ & = \Phi(\rho). \end{aligned}$$

Kaya mayroon na tayong tamang representasyon para sa mapping na $\Phi$, at nananatiling i-verify na maaari nating piliin ang $U$ upang maging unitary.

Isaalang-alang ang unang $n$ column ng $U$ kapag ito ay pinili ayon sa pattern sa itaas. Kung kukunin lamang ang mga column na ito, mayroon tayong block matrix

$$\begin{pmatrix} A_0\\[1mm] A_1\\[1mm] \vdots\\[1mm] A_{N-1} \end{pmatrix}.$$

Mayroong $n$ column, isa para sa bawat classical state ng $\mathsf{X}$, at bilang mga vector tawagin natin ang mga column bilang $\vert \gamma_a \rangle$ para sa bawat $a\in\Sigma$. Narito ang isang formula para sa mga vector na ito na maaaring itugma sa block matrix representation sa itaas.

$$\vert \gamma_a\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k \vert a \rangle$$

Ngayon, kalkulahin natin ang inner product sa pagitan ng anumang dalawa sa mga vector na ito, ibig sabihin ang mga tumutugma sa anumang pagpili ng $a,b\in\Sigma$.

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \langle k \vert j \rangle \, \langle a \vert A_k^{\dagger} A_j \vert b\rangle = \langle a \vert \Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr) \vert b\rangle$$

Sa pamamagitan ng assumption

$$\sum_{k = 0}^{m-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

napagpapasyahan natin na ang $n$ column vector na $\{\vert\gamma_a\rangle\,:\,a\in\Sigma\}$ ay bumubuo ng orthonormal set:

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

para sa lahat ng $a,b\in\Sigma$.

Ipinapahiwatig nito na posibleng punuin ang natitirang mga column ng $U$ upang ito ay maging unitary matrix. Sa partikular, ang Gram-Schmidt orthogonalization process ay maaaring gamitin upang piliin ang natitirang mga column. May katulad na ginawa sa Quantum circuits lesson ng "Basics of quantum information" sa konteksto ng state discrimination problem.

Mula sa Stinespring na representasyon pabalik sa kahulugan

Ang huling implikasyon ay 4 $\Rightarrow$ 1. Ibig sabihin, ipinapalagay natin na mayroon tayong isang unitary na operasyon na nagtatransporma ng isang pares ng mga sistema $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ patungo sa isang pares $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$, at ang ating layunin ay masabing ang pagmamapa

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

ay isang wastong channel. Mula sa anyo nito, malinaw na ang $\Phi$ ay linear, at nananatili na i-verify na lagi nitong tinatransporma ang mga density matrix patungo sa mga density matrix. Ito ay medyo diretso at napag-usapan na natin ang mga pangunahing punto.

Lalo na, kung magsimula tayo sa isang density matrix na $\sigma$ ng isang compound na sistema $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$, at pagkatapos ay magdagdag ng karagdagang workspace system na $\mathsf{W}$, tiyak na maiiwan tayo ng isang density matrix. Kung muling iayos natin ang mga sistema $(\mathsf{W},\mathsf{Z},\mathsf{X})$ para sa kaginhawaan, maaari tayong isulat ang estado na ito bilang

$$\vert 0\rangle\langle 0\vert_{\mathsf{W}} \otimes \sigma.$$

Inilalapat natin ang unitary na operasyon na $U$, at tulad ng napag-usapan na natin ito ay isang wastong channel, at kaya nagmamapa ng mga density matrix patungo sa mga density matrix. Sa wakas, ang partial trace ng isang density matrix ay isa pang density matrix.

Isa pang paraan upang sabihin ito ay ang unang pagmamasid na ang bawat isa sa mga bagay na ito ay isang wastong channel:

1. Ang pagpapakilala ng isang initialized workspace system.

2. Ang pagsasagawa ng isang unitary na operasyon.

3. Ang pag-trace out ng isang sistema.

At sa wakas, ang anumang komposisyon ng mga channel ay isa pang channel — na agarang sumusunod mula sa kahulugan, ngunit isa ring katotohanang kapaki-pakinabang na mapansin sa sarili nito.

Tinapos nito ang patunay ng huling implikasyon, at kaya naitatag na natin ang pagkakatumbas ng apat na pahayag na nakalista sa simula ng seksyon.