Pagkakatumbas ng mga representasyon

Tinalakay na natin ang tatlong magkakaibang paraan ng pagsasalarawan ng mga channel sa matematiko, katulad ng mga Stinespring na representasyon, Kraus na representasyon, at Choi na representasyon. Mayroon din tayong kahulugan ng isang channel, na nagsasabing ang isang channel ay isang linear na pagmamapa na laging nagtatransporma ng mga density matrix patungo sa mga density matrix, kahit ilapat lamang ang channel sa isang bahagi ng mas malaking compound na sistema. Ang natitirang bahagi ng leksyon ay nakatuon sa matematikong patunay na ang tatlong representasyon ay magkatumbas at tiyak na sumasaklaw sa kahulugan.

Pangkalahatang-ideya ng patunay

Ang layunin natin ay maitatag ang pagkakatumbas ng koleksyon ng apat na pahayag, at magsisimula tayo sa pagsusulat ng mga ito nang tumpak. Sumusunod ang lahat ng apat na pahayag sa parehong mga kombensiyon na ginamit sa buong leksyon, katulad na ang $\Phi$ ay isang linear na pagmamapa mula sa mga square matrix patungo sa mga square matrix, ang mga hilera at kolumna ng mga input na matrix ay iniugnay sa mga klasikal na estado ng isang sistema $\mathsf{X}$ (ang input na sistema), at ang mga hilera at kolumna ng mga output na matrix ay iniugnay sa mga klasikal na estado ng isang sistema $\mathsf{Y}$ (ang output na sistema).

1. Ang $\Phi$ ay isang channel mula sa $\mathsf{X}$ patungo sa $\mathsf{Y}.$ Ibig sabihin, lagi nitong tinatransporma ang mga density matrix patungo sa mga density matrix, kahit na kumikilos ito sa isang bahagi lamang ng mas malaking compound na sistema.

2. Ang Choi matrix na $J(\Phi)$ ay positive semidefinite at nakakatugon sa kondisyon na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

3. May Kraus na representasyon para sa $\Phi.$ Ibig sabihin, may mga matrix na $A_0,\ldots,A_{N-1}$ kung saan totoo ang ekwasyon na $\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$ para sa bawat input na $\rho,$ at nakakatugon sa kondisyon na $\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

4. May Stinespring na representasyon para sa $\Phi.$ Ibig sabihin, may mga sistema $\mathsf{W}$ at $\mathsf{G}$ kung saan ang mga pares na $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ at $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ ay may parehong bilang ng mga klasikal na estado, kasama ang isang unitary matrix na $U$ na kumakatawan sa isang unitary na operasyon mula sa $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ patungo sa $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ na nagbibigay ng $\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}}\bigl( U (\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr).$

Ang paraan ng patunay ay ang pagpapatunay ng isang siklo ng mga implikasyon: ang unang pahayag sa ating listahan ay nagpapahiwatig ng pangalawa, ang pangalawa ay nagpapahiwatig ng pangatlo, ang pangatlo ay nagpapahiwatig ng pang-apat, at ang pang-apat na pahayag ay nagpapahiwatig ng una. Itinatag nito na ang lahat ng apat na pahayag ay magkatumbas — ibig sabihin, lahat ay tama o lahat ay mali para sa isang naibigay na pagpili ng $\Phi$ — dahil ang mga implikasyon ay maaaring sundan nang transitive mula sa alinmang pahayag patungo sa iba.

Ito ay isang karaniwang estratehiya kapag pinapatunayan na ang isang koleksyon ng mga pahayag ay magkatumbas, at isang kapaki-pakinabang na trick na gamitin sa ganitong konteksto ay ang pagsasaayos ng mga implikasyon sa paraang pinakamaayos ang pagpapatunay ng mga ito. Ganoon ang kaso dito — at sa katunayan nakatagpo na tayo ng dalawa sa apat na implikasyon.

Mga channel patungo sa Choi matrix

Tumutukoy sa mga pahayag sa itaas ayon sa kanilang mga numero, ang unang implikasyon na dapat patunayan ay ang 1 $\Rightarrow$ 2. Napag-usapan na ang implikasyong ito sa konteksto ng Choi state ng isang channel. Dito ay ibubuod natin ang mga detalye ng matematika.

Ipagpalagay na ang klasikal na set ng estado ng input na sistema $\mathsf{X}$ ay $\Sigma$ at hayaan ang $n = \vert\Sigma\vert.$ Isaalang-alang ang sitwasyon kung saan ang $\Phi$ ay inilalapat sa pangalawa sa dalawang kopya ng $\mathsf{X}$ na magkasama sa estado

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a \in \Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle,$$

na, bilang isang density matrix, ay ibinibigay ng

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b \in \Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert.$$

Ang resulta ay maaaring isulat bilang

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n},$$

at dahil sa pagpapalagay na ang $\Phi$ ay isang channel, ito ay dapat na isang density matrix. Tulad ng lahat ng density matrix, ito ay dapat na positive semidefinite, at ang pagpaparami ng isang positive semidefinite matrix ng isang positibong tunay na bilang ay nagbubunga ng isa pang positive semidefinite matrix, kaya naman ang $J(\Phi) \geq 0.$

Bukod pa rito, sa ilalim ng pagpapalagay na ang $\Phi$ ay isang channel, kailangan nitong mapanatili ang trace, at samakatuwid

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert\\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

Mula sa Choi patungo sa Kraus na representasyon

Ang pangalawang implikasyon, muli na tumutukoy sa mga pahayag sa ating listahan ayon sa kanilang mga numero, ay ang 2 $\Rightarrow$ 3. Para maging malinaw, binabalewala natin ang ibang mga pahayag — at lalo na hindi natin maaaring ipalagay na ang $\Phi$ ay isang channel. Ang mayroon lamang tayong paggawa ay ang $\Phi$ ay isang linear na pagmamapa na ang Choi na representasyon ay nakakatugon sa $J(\Phi) \geq 0$ at $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

Ito, gayunpaman, ay sapat na para masabing may Kraus na representasyon ang $\Phi$

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

kung saan natutugunan ang kondisyon

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Nagsisimula tayo sa kritikal na pagpapalagay na ang $J(\Phi)$ ay positive semidefinite, na nangangahulugang maaari itong ipahayag sa anyo

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \tag{1}$$

para sa ilang paraan ng pagpili ng mga vector na $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle.$ Sa pangkalahatan, magkakaroon ng maraming paraan para gawin ito — at sa katunayan direktang salamin nito ang kalayaan na mayroon ang isa sa pagpili ng isang Kraus na representasyon para sa $\Phi.$

Isang paraan upang makuha ang naturang ekspresyon ay ang unang paggamit ng spectral theorem upang isulat

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \lambda_k \vert \gamma_k \rangle \langle \gamma_k \vert,$$

kung saan ang $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}$ ay ang mga eigenvalue ng $J(\Phi)$ (na puwersahang mga di-negatibong tunay na bilang dahil ang $J(\Phi)$ ay positive semidefinite) at ang $\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{N-1}\rangle$ ay mga unit eigenvector na katumbas ng mga eigenvalue na $\lambda_0,\ldots,\lambda_{N-1}.$

Pansinin na, habang walang kalayaan sa pagpili ng mga eigenvalue (maliban sa kung paano sila iniutos), may kalayaan sa pagpili ng mga eigenvector, lalo na kapag may mga eigenvalue na may multiplicity na higit sa isa. Kaya, hindi ito natatanging ekspresyon ng $J(\Phi)$ — ipinapalagay lamang natin na mayroon tayong isang ganoong ekspresyon. Gayon pa man, dahil ang mga eigenvalue ay mga di-negatibong tunay na bilang, mayroon silang mga di-negatibong square root, kaya naman maaari tayong pumili ng

$$\vert\psi_k\rangle = \sqrt{\lambda_k} \vert \gamma_k\rangle$$

para sa bawat $k = 0,\ldots,N-1$ upang makakuha ng isang ekspresyon sa anyo $(1).$

Hindi naman kailangang ang ekspresyon $(1)$ ay nagmumula sa spectral decomposition sa ganitong paraan, at lalo na ang mga vector na $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ ay hindi kailangang maging ortogonal sa pangkalahatan. Kapansin-pansin, bagaman, na maaari tayong piliin ang mga vector na ito na ortogonal kung nais natin — at bukod pa rito hindi natin kailangang gawing mas malaki ang $N$ kaysa sa $nm$ (tandaan na ang $n$ at $m$ ay kumakatawan sa mga bilang ng mga klasikal na estado ng $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y},$ ayon sa pagkakasunod).

Susunod, ang bawat isa sa mga vector na $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ ay maaaring palawakin bilang

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle,$$

kung saan ang mga vector na $\{ \vert \phi_{k,a}\rangle \}$ ay may mga entry na katumbas ng mga klasikal na estado ng $\mathsf{Y}$ at maaaring matukoy nang tiyak ng ekwasyon

$$\vert \phi_{k,a}\rangle = \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}\bigr) \vert \psi_k\rangle$$

para sa bawat $a\in\Sigma$ at $k=0,\ldots,N-1.$ Kahit na ang $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ ay hindi naman kailangang mga unit vector, ito ang parehong proseso na gagamitin natin upang suriin kung ano ang mangyayari kapang isinagawa ang standard basis measurement sa sistema $\mathsf{X}$ na may ibinigay na quantum state vector ng pares na $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

At ngayon ay darating na tayo sa trick na nagpapatakbo ng bahaging ito ng patunay. Tinutukoy natin ang ating mga Kraus matrix na $A_0,\ldots,A_{N-1}$ ayon sa sumusunod na ekwasyon.

$$A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

Maaari tayong mag-isip tungkol sa formula na ito nang puro simboliko: ang $\vert a\rangle$ ay epektibong binabago upang maging $\langle a\vert$ at inililipat sa kanang bahagi, na bumubuo ng isang matrix. Para sa layunin ng pag-verify ng patunay, ang formula lamang ang kailangan natin.

May simple at intuitive na relasyon, gayunpaman, sa pagitan ng vector na $\vert\psi_k\rangle$ at ng matrix na $A_k,$ na sa pamamagitan ng pag-vectorize sa $A_k$ ay makukuha natin ang $\vert\psi_k\rangle.$ Ang ibig sabihin ng pag-vectorize sa $A_k$ ay ang pagtatambak ng mga kolumna isa sa ibabaw ng isa (na ang pinakakaliwang kolumna sa itaas at nagpapatuloy hanggang sa pinakakananang kolumna sa ibaba), upang bumuo ng isang vector. Halimbawa, kung ang $\mathsf{X}$ at $\mathsf{Y}$ ay parehong mga qubit, at para sa ilang pagpili ng $k$ mayroon tayong

$$\begin{aligned} \vert\psi_k\rangle & = \alpha_{00} \vert 0\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{01} \vert 0\rangle \otimes \vert 1\rangle + \alpha_{10} \vert 1\rangle \otimes \vert 0\rangle + \alpha_{11} \vert 1\rangle \otimes \vert 1\rangle\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} \\[1mm] \alpha_{01} \\[1mm] \alpha_{10} \\[1mm] \alpha_{11} \end{pmatrix}, \end{aligned}$$

saka

$$\begin{aligned} A_k & = \alpha_{00} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \alpha_{01} \vert 1\rangle\langle 0\vert + \alpha_{10} \vert 0\rangle\langle 1\vert + \alpha_{11} \vert 1\rangle\langle 1\vert\\[2mm] & = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{10}\\[1mm] \alpha_{01} & \alpha_{11} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

(Mag-ingat: kung minsan ang vectorization ng isang matrix ay tinukoy sa bahagyang magkaibang paraan, na ang mga hilera ng matrix ay ini-transpose at itinambak isa sa ibabaw ng isa upang bumuo ng isang column vector.)

Una ay ibe-verify natin na ang pagpiling ito ng mga Kraus matrix ay wastong naglalarawan ng pagmamapa na $\Phi,$ pagkatapos nito ay ibe-verify natin ang iba pang kinakailangang kondisyon. Para mapanatiling malinaw ang mga bagay, tukuyin natin ang isang bagong pagmamapa na $\Psi$ tulad ng sumusunod.

$$\Psi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Kaya, ang ating layunin ay i-verify na ang $\Psi = \Phi.$

Ang paraan ng paggawa nito ay ang paghahambing ng mga Choi na representasyon ng mga pagmamapang ito. Ang mga Choi na representasyon ay tapat, kaya mayroon tayong $\Psi = \Phi$ kung at tanging kung $J(\Phi) = J(\Psi).$ Sa puntong ito maaari tayong magsimula sa pag-compute ng $J(\Psi)$ gamit ang mga ekspresyon

$$\vert\psi_k\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a}\rangle \quad\text{at}\quad A_k = \sum_{a\in\Sigma} \vert \phi_{k,a}\rangle\langle a \vert$$

kasama ang bilinearity ng mga tensor product upang pasimplehin.

$$\begin{aligned} J(\Psi) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \vert a\rangle \langle b \vert A_k^{\dagger}\\[2mm] & = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle \otimes \vert \phi_{k,a} \rangle\biggr) \biggl(\sum_{b\in\Sigma} \langle b\vert \otimes \langle \phi_{k,b} \vert\biggr)\\[2mm] & = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \\[2mm] & = J(\Phi) \end{aligned}$$

Kaya, ang ating mga Kraus matrix ay wastong naglalarawan ng $\Phi.$

Nananatiling suriin ang kinakailangang kondisyon sa $A_0,\ldots,A_{N-1},$ na lumalabas na katumbas ng pagpapalagay na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ (na hindi pa natin nagagamit). Ipapakita natin ang relasyong ito:

$$\Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr)^{T} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) \tag{2}$$

(kung saan tinutukoy natin ang matrix transpose sa kaliwang bahagi).

Nagsisimula sa kaliwa, maaari muna tayong mapansin na

$$\begin{aligned} \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T & = \Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert b \rangle \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \langle a \vert\Biggr)^T\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

Ang huling pagkakapantay-pantay ay sumusunod mula sa katotohanan na ang transpose ay linear at nagmamapa ng $\vert b\rangle\langle a \vert$ sa $\vert a\rangle\langle b \vert.$

Lumilipat sa kanang bahagi ng ating ekwasyon, mayroon tayong

$$J(\Phi) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k \vert = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert$$

at samakatuwid

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(J(\Phi)) & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert\phi_{k,a}\rangle\langle \phi_{k,b} \vert \bigr)\, \vert a\rangle \langle b \vert\\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \sum_{a,b\in\Sigma} \langle \phi_{k,b} \vert \phi_{k,a} \rangle \vert a \rangle \langle b \vert. \end{aligned}$$

Nakakuha tayo ng parehong resulta, at samakatuwid napatunayan na ang ekwasyon $(2).$ Sumusunod, sa pamamagitan ng pagpapalagay na $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ na

$$\Biggl(\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k\Biggr)^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

at samakatuwid, dahil ang identity matrix ay ang sarili nitong transpose, ang kinakailangang kondisyon ay totoo.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Mula sa Kraus patungo sa Stinespring na representasyon

Ngayon ipagpalagay na mayroon tayong Kraus na representasyon ng isang pagmamapa

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

kung saan

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Ang ating layunin ay mahanap ang isang Stinespring na representasyon para sa $\Phi.$

Ang nais muna nating gawin ay ang pagpili ng garbage system na $\mathsf{G}$ upang ang klasikal na set ng estado nito ay $\{0,\ldots,N-1\}.$ Para magkaroon ng parehong sukat ang $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ at $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ kailangan ng $n$ na hatiin ang $m N,$ na nagbibigay-daan sa atin na kunin ang $\mathsf{W}$ na may mga klasikal na estado na $\{0,\ldots,d-1\}$ para sa $d = mN/n.$

Para sa isang arbitrary na pagpili ng $n,$ $m,$ at $N,$ maaaring hindi integer ang $mN/n,$ kaya hindi tayo talaga malaya na piliin ang $\mathsf{G}$ upang ang klasikal na set ng estado nito ay $\{0,\ldots,N-1\}.$ Ngunit maaari nating palaging dagdagan ang $N$ nang arbitraryo sa Kraus na representasyon sa pamamagitan ng pagpili ng $A_k = 0$ para sa kung gaano karaming karagdagang halaga ng $k$ ang nais natin.

Kaya, kung ipapalagay nating ang $mN/n$ ay isang integer, na katumbas ng pagiging multiple ng $n/\operatorname{gcd}(n,m)$ ng $N,$ malaya tayong kunin ang $\mathsf{G}$ upang ang klasikal na set ng estado nito ay $\{0,\ldots,N-1\}.$ Lalo na, kung ang $N = nm,$ maaari tayong kunin ang $\mathsf{W}$ na may $m^2$ na mga klasikal na estado.

Nananatili pa tayong pumili ng $U,$ at gagawin natin ito sa pamamagitan ng pagtutugma ng sumusunod na pattern.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{N-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Para maging malinaw, ang pattern na ito ay inilaan upang iminungkahi ang isang block matrix, kung saan ang bawat block (kasama ang $A_{0},\ldots,A_{N-1}$ pati na rin ang mga block na may tandang pananong) ay may $m$ na mga hilera at $n$ na mga kolumna. Mayroong $N$ na mga hilera ng mga block, na nangangahulugang mayroon $d = mN/n$ na mga kolumna ng mga block.

Ipinahahayag sa mas formulaic na termino, tutukuyin natin ang $U$ bilang

$$\begin{aligned} U & = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{d-1} \vert k \rangle \langle j \vert \otimes M_{k,j} \\[4mm] & = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} & \cdots & M_{0,d-1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} & \cdots & M_{1,d-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] M_{N-1,0} & M_{N-1,1} & \cdots & M_{N-1,d-1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

kung saan ang bawat matrix na $M_{k,j}$ ay may $m$ na mga hilera at $n$ na mga kolumna, at lalo na kukuha tayo ng $M_{k,0} = A_k$ para sa $k = 0,\ldots,N-1.$

Ito ay dapat na isang unitary matrix, at ang mga block na may label na tandang pananong, o katumbas ang $M_{k,j}$ para sa $j>0,$ ay dapat na piliin nang may isaalang-alang dito — ngunit bukod sa pagbibigay-daan sa $U$ na maging unitary, ang mga block na may label na tandang pananong ay walang kaugnayan sa patunay.

Sandali nating balewalain ang alalahanin na ang $U$ ay unitary at tumuon sa ekspresyon

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

na naglalarawan ng output state ng $\mathsf{Y}$ na may ibinigay na input state na $\rho$ ng $\mathsf{X}$ para sa ating Stinespring na representasyon. Maaari rin nating isulat

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho (\langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) U^{\dagger},$$

at nakikita natin mula sa ating pagpili ng $U$ na

$$U(\vert 0\rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}}) = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k.$$

Samakatuwid natuklasan natin na

$$U(\vert 0\rangle\langle 0 \vert \otimes \rho)U^{\dagger} = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \vert k\rangle\langle j\vert \otimes A_k \rho A_j^{\dagger},$$

at kaya

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger}\bigr) & = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl(\vert k\rangle\langle j\vert\bigr) \, A_k \rho A_j^{\dagger} \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger} \\ & = \Phi(\rho). \end{aligned}$$

Mayroon na tayong wastong representasyon para sa pagmamapa ng $\Phi,$ at nananatili na i-verify na maaari nating piliin ang $U$ na unitary.

Isaalang-alang ang unang $n$ na mga kolumna ng $U$ kapag ito ay pinili ayon sa pattern sa itaas. Kinukuha ang mga kolumnang ito lamang, mayroon tayong isang block matrix

$$\begin{pmatrix} A_0\\[1mm] A_1\\[1mm] \vdots\\[1mm] A_{N-1} \end{pmatrix}.$$

Mayroong $n$ na mga kolumna, isa para sa bawat klasikal na estado ng $\mathsf{X},$ at bilang mga vector pangalanan natin ang mga kolumna bilang $\vert \gamma_a \rangle$ para sa bawat $a\in\Sigma.$ Narito ang isang formula para sa mga vector na ito na maaaring itugma sa block matrix na representasyon sa itaas.

$$\vert \gamma_a\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \vert k\rangle \otimes A_k \vert a \rangle$$

Ngayon kalkulahin natin ang inner product sa pagitan ng alinmang dalawa sa mga vector na ito, ibig sabihin ang mga katumbas ng alinmang pagpili ng $a,b\in\Sigma.$

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \sum_{j,k = 0}^{N-1} \langle k \vert j \rangle \, \langle a \vert A_k^{\dagger} A_j \vert b\rangle = \langle a \vert \Biggl( \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \Biggr) \vert b\rangle$$

Sa pamamagitan ng pagpapalagay

$$\sum_{k = 0}^{m-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

nanatuklasan natin na ang $n$ na mga column vector na $\{\vert\gamma_a\rangle\,:\,a\in\Sigma\}$ ay bumubuo ng isang orthonormal set:

$$\langle \gamma_a \vert \gamma_b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

para sa lahat ng $a,b\in\Sigma.$

Ito ay nagpapahiwatig na posible ang pagpuno ng natitirang mga kolumna ng $U$ upang ito ay maging isang unitary matrix. Lalo na, ang proseso ng Gram-Schmidt orthogonalization ay maaaring gamitin upang piliin ang natitirang mga kolumna. Isang bagay na katulad nito ang ginawa sa leksyon ng Quantum circuits ng "Basics of quantum information" sa konteksto ng problemang state discrimination.

Mula sa Stinespring na representasyon pabalik sa kahulugan

Ang huling implikasyon ay 4 $\Rightarrow$ 1. Ibig sabihin, ipinapalagay natin na mayroon tayong isang unitary na operasyon na nagtatransporma ng isang pares ng mga sistema $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ patungo sa isang pares $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ at ang ating layunin ay masabing ang pagmamapa

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho)U^{\dagger}\bigr)$$

ay isang wastong channel. Mula sa anyo nito, malinaw na ang $\Phi$ ay linear, at nananatili na i-verify na lagi nitong tinatransporma ang mga density matrix patungo sa mga density matrix. Ito ay medyo diretso at napag-usapan na natin ang mga pangunahing punto.

Lalo na, kung magsimula tayo sa isang density matrix na $\sigma$ ng isang compound na sistema $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ at pagkatapos ay magdagdag ng karagdagang workspace system na $\mathsf{W},$ tiyak na maiiwan tayo ng isang density matrix. Kung muling iayos natin ang mga sistema $(\mathsf{W},\mathsf{Z},\mathsf{X})$ para sa kaginhawaan, maaari tayong isulat ang estado na ito bilang

$$\vert 0\rangle\langle 0\vert_{\mathsf{W}} \otimes \sigma.$$

Inilalapat natin ang unitary na operasyon na $U,$ at tulad ng napag-usapan na natin ito ay isang wastong channel, at kaya nagmamapa ng mga density matrix patungo sa mga density matrix. Sa wakas, ang partial trace ng isang density matrix ay isa pang density matrix.

Isa pang paraan upang sabihin ito ay ang unang pagmamasid na ang bawat isa sa mga bagay na ito ay isang wastong channel:

1. Ang pagpapakilala ng isang initialized workspace system.
2. Ang pagsasagawa ng isang unitary na operasyon.
3. Ang pag-trace out ng isang sistema.

At sa wakas, ang anumang komposisyon ng mga channel ay isa pang channel — na agarang sumusunod mula sa kahulugan, ngunit isa ring katotohanang kapaki-pakinabang na mapansin sa sarili nito.

Tinapos nito ang patunay ng huling implikasyon, at kaya naitatag na natin ang pagkakatumbas ng apat na pahayag na nakalista sa simula ng seksyon.