Mga representasyon ng channel

Susunod, tatalakayin natin ang mga matematikal na representasyon ng mga channel.

Ang mga linear na pagmamapa mula sa mga vector papunta sa mga vector ay maaaring ilarawan ng mga matris sa isang pamilyar na paraan, kung saan ang aksiyon ng linear na pagmamapa ay inilarawan sa pamamagitan ng matrix-vector na multiplikasyon. Ngunit ang mga channel ay linear na pagmamapa mula sa mga matris papunta sa mga matris, hindi mula sa mga vector papunta sa mga vector. Kaya, sa pangkalahatan, paano natin maipapahayag ang mga channel sa matematikal na terminolohiya?

Para sa ilang channel, maaari tayong magkaroon ng simpleng pormula na nagpapaliwanag sa kanila, tulad ng para sa tatlong halimbawa ng non-unitary qubit channel na inilarawan kanina. Ngunit ang isang arbitrary na channel ay maaaring walang ganoong magandang pormula, kaya hindi praktikal sa pangkalahatan na ipahayag ang isang channel sa ganitong paraan.

Bilang punto ng paghahambing, sa simplified na pormulasyon ng quantum information ginagamit natin ang mga unitary matrix upang kumatawan sa mga operasyon sa mga quantum state vector: bawat unitary matrix ay kumakatawan sa isang valid na operasyon at bawat valid na operasyon ay maaaring ipahayag bilang isang unitary matrix. Sa esensya, ang tanong na itinatanong ay: Paano tayo makakagawa ng katulad na bagay para sa mga channel?

Upang masagot ang tanong na ito, kakailanganin natin ng ilang karagdagang matematikal na kagamitan. Makikita natin na ang mga channel ay maaaring, sa katunayan, ilarawan sa matematika sa ilang magkaibang paraan, kabilang ang mga representasyong ipinangalan bilang karangalan sa tatlong indibidwal na may mahalagang papel sa kanilang pag-unlad: Stinespring, Kraus, at Choi. Magkasama, ang mga magkaibang paraan ng paglalarawan sa mga channel ay nag-aalok ng iba't ibang anggulo kung saan maaari silang masuri at masuri.

Mga representasyong Stinespring

Ang mga representasyong Stinespring ay nakabatay sa ideya na ang bawat channel ay maaaring ipatupad sa isang karaniwang paraan, kung saan ang isang input system ay unang pinagsama sa isang nasimulan na workspace system, na bumubuo ng isang compound system; pagkatapos ay isang unitary na operasyon ang isinasagawa sa compound system; at sa wakas ang workspace system ay itinatapon (o tina-trace out), na nag-iiwan ng output ng channel.

Ang sumusunod na pigura ay naglalarawan ng ganoong implementasyon, sa anyo ng isang circuit diagram, para sa isang channel na ang input at output system ay magkapareho, $\mathsf{X}.$

Sa diagram na ito, ang mga wire ay kumakatawan sa mga arbitrary na sistema, tulad ng ipinahiwatig ng mga label sa itaas ng mga wire, at hindi kinakailangang iisang qubit. Gayundin, ang simbolong ground na karaniwang ginagamit sa electrical engineering ay nagpapahiwatig nang malinaw na ang $\mathsf{W}$ ay itinatapon.

Sa salita, ang paraan ng pagtatrabaho ng implementasyon ay tulad ng sumusunod. Ang input system $\mathsf{X}$ ay nagsisimula sa ilang estado $\rho,$ habang ang isang workspace system $\mathsf{W}$ ay nasimulan sa standard basis state na $\vert 0\rangle.$ Isang unitary na operasyon $U$ ang isinasagawa sa pares $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ at sa wakas ang workspace system $\mathsf{W}$ ay tina-trace out, na nag-iiwan ng $\mathsf{X}$ bilang output.

Pansinin na ipinapalagay natin na ang $0$ ay isang classical state ng $\mathsf{W},$ at pinili nating maging ito ang simulated na estado ng sistemang ito, na tutulong sa pagpapasimple ng matematika. Maaari rin, gayunpaman, pumili ng anumang fixed pure state upang katawanin ang initialized na estado ng $\mathsf{W}$ nang hindi binabago ang mga pangunahing katangian ng representasyon.

Ang isang matematikal na ekspresyon ng resultang channel, $\Phi,$ ay tulad ng sumusunod.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Tulad ng karaniwan, ginagamit natin ang ordering convention ng Qiskit: ang sistema $\mathsf{X}$ ay nasa itaas sa diagram, at samakatuwid ay tumutugma sa kanang tensor factor sa pormula.

Sa pangkalahatan, ang input at output system ng isang channel ay hindi kailangang magkapareho. Narito ang isang pigura na naglalarawan ng implementasyon ng isang channel $\Phi$ na ang input system ay $\mathsf{X}$ at ang output system ay $\mathsf{Y}.$

Sa pagkakataong ito, ang unitary na operasyon ay nag-transform ng $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ sa isang pares $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ kung saan ang $\mathsf{G}$ ay isang bagong "basura" na sistema na tina-trace out, na nag-iiwan ng $\mathsf{Y}$ bilang output system. Upang maging unitary ang $U,$ ito ay dapat na square matrix. Nangangailangan ito na ang pares $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ ay may parehong bilang ng classical state tulad ng pares $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ kaya ang mga sistema $\mathsf{W}$ at $\mathsf{G}$ ay dapat piliin sa isang paraan na nagpapahintulot nito.

Nakakuha tayo ng matematikal na ekspresyon ng resultang channel, $\Phi,$ na katulad ng dati.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Kapag ang isang channel ay inilarawan sa ganitong paraan, bilang isang unitary na operasyon kasama ang detalye kung paano nasimulan ang workspace system at kung paano pinipili ang output system, sinasabi natin na ito ay nasa Stinespring form o na ito ay isang Stinespring na representasyon ng channel.

Hindi halatang totoo, ngunit ang bawat channel ay mayroon, sa katunayan, ng isang Stinespring na representasyon, tulad ng makikita natin sa katapusan ng aralin. Makikita rin natin na ang mga Stinespring na representasyon ay hindi natatangi; palagi itong magkakaroon ng iba't ibang paraan upang ipatupad ang parehong channel sa paraang inilarawan.

Paunawa

Sa konteksto ng quantum information, ang termino Stinespring representation ay karaniwang tumutukoy sa isang bahagyang mas pangkalahatang ekspresyon ng isang channel na may anyo

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

para sa isang isometry $A,$ na isang matris na ang mga kolum ay orthonormal ngunit maaaring hindi square matrix. Para sa mga Stinespring na representasyon na may anyo na aming pinagtibay bilang kahulugan, maaari tayong makakuha ng ekspresyon ng iba pang anyo sa pamamagitan ng pagkuha

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

Completely dephasing channel

Narito ang isang Stinespring na representasyon ng qubit dephasing channel $\Delta.$ Sa diagram na ito, ang parehong wire ay kumakatawan sa iisang qubit — kaya ito ay isang ordinaryong quantum circuit diagram.

Upang makita na ang epekto na mayroon ang circuit na ito sa input qubit ay inilarawan nga ng completely dephasing channel, maaari tayong dumaan sa circuit ng isa-isang hakbang, gamit ang eksplisitong matrix na representasyon ng partial trace na tinalakay sa nakaraang aralin. Tatawagin natin ang itaas na qubit bilang $\mathsf{X}$ — ito ang input at output ng channel — at ipapalagay nating ang $\mathsf{X}$ ay nagsisimula sa ilang arbitrary na estado $\rho.$

Ang unang hakbang ay ang pagpapakilala ng isang workspace qubit, $\mathsf{W}.$ Bago isagawa ang controlled-NOT gate, ang estado ng pares $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ ay kinakatawan ng sumusunod na density matrix.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ayon sa ordering convention ng Qiskit, ang itaas na qubit $\mathsf{X}$ ay nasa kanan at ang ibabang qubit $\mathsf{W}$ ay nasa kaliwa. Gumagamit tayo ng mga density matrix sa halip na mga quantum state vector, ngunit sila ay tine-tensor nang magkasama sa katulad na paraan sa ginagawa sa simplified na pormulasyon ng quantum information.

Ang susunod na hakbang ay ang pagsasagawa ng controlled-NOT na operasyon, kung saan ang $\mathsf{X}$ ang control at ang $\mathsf{W}$ ang target. Patuloy na inaalala ang Qiskit ordering convention, ang matrix na representasyon ng gate na ito ay tulad ng sumusunod.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Ito ay isang unitary na operasyon, at upang ilapat ito sa isang density matrix ay kino-conjugate natin sa pamamagitan ng unitary matrix. Ang conjugate-transpose ay hindi nagbabago ng partikular na matris na ito, kaya ang resulta ay tulad ng sumusunod.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Sa wakas, isinasagawa ang partial trace sa $\mathsf{W}.$ Alalahanin ang aksyon ng operasyong ito sa mga $4\times 4$ matris, na inilarawan sa nakaraang aralin, makukuha natin ang sumusunod na density matrix na output.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Maaari rin nating kalkulahin ang partial trace sa pamamagitan ng unang pag-convert sa Dirac notation.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

Ang pag-trace out sa qubit sa kaliwang bahagi ay nagbibigay ng parehong sagot tulad ng dati.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

Ang isang intuitive na paraan upang mag-isip tungkol sa circuit na ito ay ang controlled-NOT na operasyon ay epektibong kinokopya ang classical state ng input qubit, at kapag ang kopya ay itinatapon sa basurahan ang input qubit ay "bumabagsak" nang probabilistiko sa isa sa dalawang posibleng classical state, na katumbas ng kumpletong dephasing.

Completely dephasing channel (alternatibo)

Ang circuit na inilarawan sa itaas ay hindi ang tanging paraan upang ipatupad ang completely dephasing channel. Narito ang ibang paraan para gawin ito.

Narito ang isang mabilis na pagsusuri na nagpapakita na gumagana ang implementasyong ito. Pagkatapos isagawa ang Hadamard gate, mayroon tayong two-qubit state na ito bilang density matrix:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Ang controlled-$\sigma_z$ gate ay gumagana sa pamamagitan ng conjugation tulad ng sumusunod.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Sa wakas ang workspace system $\mathsf{W}$ ay tina-trace out.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ang implementasyong ito ay nakabatay sa isang simpleng ideya: ang dephasing ay katumbas ng alinmang paggawa ng wala (ibig sabihin, pag-apply ng identity na operasyon) o pag-apply ng $\sigma_z$ gate, bawat isa na may probability na $1/2.$

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Ibig sabihin, ang completely dephasing channel ay isang halimbawa ng mixed-unitary channel, at mas partikular, isang Pauli channel.

Qubit reset channel

Ang qubit reset channel ay maaaring ipatupad tulad ng sumusunod.

Ang swap gate ay simpleng inililipat ang $\vert 0\rangle$ initialized state ng workspace qubit upang ito ay ma-output, habang ang input state $\rho$ ay inililipat sa ibabang qubit at pagkatapos ay tina-trace out.

Bilang alternatibo, kung hindi natin kailangang ang output ng channel ay manatili sa itaas, maaari nating gamitin ang napakasimpleng circuit na ito bilang ating representasyon.

Sa salita, ang pag-reset ng isang qubit sa estado $\vert 0\rangle$ ay katumbas ng pagtatapon ng qubit sa basurahan at pagkuha ng bago.

Mga representasyong Kraus

Ngayon ay tatalakayin natin ang mga representasyong Kraus, na nag-aalok ng isang maginhawang formulaic na paraan upang ipahayag ang aksyon ng isang channel sa pamamagitan ng matrix na multiplikasyon at karagdagan. Partikular, ang isang Kraus na representasyon ay isang detalye ng isang channel, $\Phi,$ sa sumusunod na anyo.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Dito, ang $A_0,\ldots,A_{N-1}$ ay mga matris na lahat ay may parehong dimensyon: ang kanilang mga kolum ay tumutugma sa mga classical state ng input system, $\mathsf{X},$ at ang kanilang mga row ay tumutugma sa mga classical state ng output system, maging ito man ay $\mathsf{X}$ o ilang ibang sistema $\mathsf{Y}.$ Upang maging valid channel ang $\Phi,$ ang mga matris na ito ay dapat sumunod sa sumusunod na kondisyon.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Ang kondisyong ito ay katumbas ng kondisyong ang $\Phi$ ay nagpapanatili ng trace. Ang iba pang katangian na kinakailangan ng isang channel — na siyang complete positivity — ay sumusunod mula sa pangkalahatang anyo ng ekwasyon para sa $\Phi,$ bilang kabuuan ng mga conjugation.

Minsan ay maginhawa na pangalanan ang mga matris na $A_0,\ldots,A_{N-1}$ sa ibang paraan. Halimbawa, maaari tayong bilang sila mula sa $1,$ o maaari tayong gumamit ng mga estado sa ilang arbitrary na classical state set $\Gamma$ sa halip na mga numero bilang mga subscript:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{where} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Ang mga magkaibang paraan ng pagpapangalan sa mga matris na ito, na tinatawag na mga Kraus matrix, ay lahat ay karaniwan at maaaring maging maginhawa sa iba't ibang sitwasyon — ngunit mananatili tayo sa mga pangalan $A_0,\ldots,A_{N-1}$ sa araling ito para sa kaginhawaan.

Ang bilang $N$ ay maaaring maging isang arbitrary na positibong integer, ngunit hindi ito kailangang maging masyadong malaki: kung ang input system $\mathsf{X}$ ay may $n$ classical state at ang output system $\mathsf{Y}$ ay may $m$ classical state, kung gayon ang anumang channel mula sa $\mathsf{X}$ papunta sa $\mathsf{Y}$ ay palaging magkakaroon ng isang Kraus na representasyon kung saan ang $N$ ay hindi hihigit sa produkto $nm.$

Completely dephasing channel

Nakakakuha tayo ng Kraus na representasyon ng completely dephasing channel sa pamamagitan ng pagkuha ng $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ at $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ang mga matris na ito ay nakakatugon sa kinakailangang kondisyon.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Bilang alternatibo, maaari tayong kumuha ng $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ at $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z,$ upang

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

tulad ng nakalkula kanina. Sa pagkakataong ito, ang kinakailangang kondisyon ay maaaring ma-verify tulad ng sumusunod.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Qubit reset channel

Nakakakuha tayo ng Kraus na representasyon ng qubit reset channel sa pamamagitan ng pagkuha ng $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ at $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

Ang mga matris na ito ay nakakatugon sa kinakailangang kondisyon.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Completely depolarizing channel

Isang paraan upang makakuha ng Kraus na representasyon para sa completely depolarizing channel ay ang pagpili ng mga Kraus matrix na $A_0,\ldots,A_3$ tulad ng sumusunod.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

Para sa anumang qubit density matrix $\rho$ mayroon tayong

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

Isang alternatibong Kraus na representasyon ang nakukuha sa pamamagitan ng pagpili ng mga Kraus matrix tulad nito.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

Upang ma-verify na ang mga Kraus matrix na ito ay talagang kumakatawan sa completely depolarizing channel, unang obserbahan natin na ang pag-conjugate ng isang arbitrary na $2\times 2$ matris sa pamamagitan ng isang Pauli matrix ay gumagana tulad ng sumusunod.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Nagbibigay-daan ito sa atin na ma-verify ang kawastuhan ng ating Kraus na representasyon.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

Ang Kraus na representasyong ito ay nagpapahayag ng isang mahalagang ideya, na ang estado ng isang qubit ay maaaring ganap na ma-randomize sa pamamagitan ng pag-apply dito ng isa sa apat na Pauli matrix (kasama ang identity matrix) na pinili nang pantay-pantay nang random. Kaya, ang completely depolarizing channel ay isa pang halimbawa ng isang Pauli channel.

Hindi posible na mahanap ang isang Kraus na representasyon para sa completely depolarizing channel $\Omega$ na may tatlo o mas kaunting Kraus matrix; kailangan ng kahit apat para sa channel na ito.

Mga unitary channel

Kung mayroon tayong isang unitary matrix $U$ na kumakatawan sa isang operasyon sa isang sistema $\mathsf{X},$ maaari nating ipahayag ang aksyon ng unitary na operasyong ito bilang isang channel:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

Ang ekspresyong ito ay isang valid na Kraus na representasyon na ng channel $\Phi$ kung saan mayroon tayong isang Kraus matrix lamang $A_0 = U.$ Sa kasong ito, ang kinakailangang kondisyon

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

ay kumukuha ng mas simpleng anyo na $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ na alam nating totoo dahil ang $U$ ay unitary.

Mga representasyong Choi

Ngayon ay tatalakayin natin ang ikatlong paraan kung paano maaaring ilarawan ang mga channel, sa pamamagitan ng Choi na representasyon. Ang paraan ng pagtatrabaho nito ay ang bawat channel ay kinakatawan ng isang matris na kilala bilang Choi matrix nito. Kung ang input system ay may $n$ classical state at ang output system ay may $m$ classical state, kung gayon ang Choi matrix ng channel ay magkakaroon ng $nm$ row at $nm$ kolum.

Ang mga Choi matrix ay nagbibigay ng isang tapat na representasyon ng mga channel, ibig sabihin ang dalawang channel ay magkapareho kung at tanging kung mayroon silang parehong Choi matrix. Isang dahilan kung bakit ito mahalaga ay nagbibigay ito sa atin ng paraan ng pag-determine kung ang dalawang magkaibang paglalarawan ay tumutugma sa parehong channel o sa iba't ibang channel: simpleng kinakalkula natin ang mga Choi matrix at inihahambing ang mga ito upang makita kung sila ay pantay. Sa kabaligtaran, ang mga Stinespring at Kraus na representasyon ay hindi natatangi sa ganitong paraan, tulad ng ating nakita.

Ang mga Choi matrix ay kapaki-pakinabang din sa iba pang aspeto para sa pag-uncover ng iba't ibang matematikal na katangian ng mga channel.

Kahulugan

Hayaan $\Phi$ na maging isang channel mula sa isang sistema $\mathsf{X}$ papunta sa isang sistema $\mathsf{Y},$ at ipagpalagay na ang classical state set ng input system $\mathsf{X}$ ay $\Sigma.$ Ang Choi na representasyon ng $\Phi,$ na tinutukuyan ng $J(\Phi),$ ay tinukuyan ng sumusunod na ekwasyon.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

Kung ipapalagay natin na ang $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ para sa ilang positibong integer $n,$ kung gayon maaari nating ipahayag ang $J(\Phi)$ bilang isang block matrix:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

Ibig sabihin, bilang isang block matrix, ang Choi matrix ng isang channel ay may isang bloke $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ para sa bawat pares $(a,b)$ ng mga classical state ng input system, na ang mga bloke ay nakaayos sa natural na paraan.

Pansinin na ang set $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ ay bumubuo ng isang basis para sa espasyo ng lahat ng $n\times n$ matris. Dahil ang $\Phi$ ay linear, sumusunod na ang aksyon nito ay maaaring ma-recover mula sa Choi matrix nito sa pamamagitan ng pagkuha ng mga linear na kombinasyon ng mga bloke.

Ang Choi state ng isang channel

Isa pang paraan upang pag-isipan ang Choi matrix ng isang channel ay ang ito ay isang density matrix kung hahati tayo sa $n = \vert\Sigma\vert.$ Tumuon tayo sa sitwasyong ang $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ para sa kaginhawaan, at isipin na mayroon tayong dalawang magkaparehong kopya ng $\mathsf{X}$ na magkasama sa entangled na estado

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

Bilang density matrix, ang estado na ito ay tulad ng sumusunod.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

Kung ilalapat natin ang $\Phi$ sa kopya ng $\mathsf{X}$ sa kanang bahagi, makukuha natin ang Choi matrix na hinati sa $n.$

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

Sa salita, hanggang sa isang normalization factor na $1/n,$ ang Choi matrix ng $\Phi$ ay ang density matrix na makukuha natin sa pamamagitan ng pagsusuri ng $\Phi$ sa kalahati ng isang maximally entangled na pares ng mga input system, tulad ng inilalarawan ng sumusunod na pigura.

Pansinin nang partikular na ipinahihiwatig nito na ang Choi matrix ng isang channel ay palaging dapat na positive semidefinite.

Nakikita rin natin na, dahil ang channel $\Phi$ ay inilalapat sa kanang/itaas na sistema lamang, hindi nito maaaring maapektuhan ang reduced state ng kaliwa/ibabang sistema. Sa kasong ito, ang estado na iyon ay ang completely mixed state na $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n,$ at samakatuwid

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

Ang pag-clear ng denominator $n$ mula sa magkabilang panig ay nagbibigay ng $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

Maaari rin nating maibigay ang parehong konklusyon sa pamamagitan ng paggamit ng katotohanan na ang mga channel ay palaging dapat magpanatili ng trace, at samakatuwid

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

Sa buod, ang Choi na representasyon $J(\Phi)$ para sa anumang channel $\Phi$ ay dapat na positive semidefinite at dapat sumunod sa

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Tulad ng makikita natin sa katapusan ng aralin, ang dalawang kondisyong ito ay hindi lamang kinakailangan kundi sapat din, ibig sabihin ang anumang linear na pagmamapa $\Phi$ mula sa mga matris papunta sa mga matris na nakakatugon sa mga kinakailangang ito ay, sa katunayan, isang channel.

Completely dephasing channel

Ang Choi na representasyon ng completely dephasing channel $\Delta$ ay

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Completely depolarizing channel

Ang Choi na representasyon ng completely depolarizing channel ay

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Qubit reset channel

Ang Choi na representasyon ng qubit reset channel $\Phi$ ay

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Ang identity channel

Ang Choi na representasyon ng qubit identity channel $\operatorname{Id}$ ay

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Pansinin nang partikular na ang $J(\operatorname{Id})$ ay hindi ang identity matrix. Ang Choi na representasyon ay hindi direktang naglalarawan ng aksyon ng isang channel sa karaniwang paraan na ang isang matris ay kumakatawan sa isang linear na pagmamapa.